7 Poisson-Punktprozesse

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1 Poisson-Punktprozesse sind natürliche Modelle für zufällige Konfigurationen von Punkten im Raum Wie der Name sagt, spielt die Poisson-Verteilung eine entscheidende Rolle Wir werden also mit der Definition der Poisson-Verteilung anfangen 71 Poisson-Verteilung Man betrachte n Bernoulli-Experimente mit Erfolgswahrscheinlichkeit p Bezeichnet man mit S n,p die Anzahl der Erfolge in diesen Experimenten, so ist S n,p eine binomialverteilte Zufallsvariable, dh ( ) n P[S n,p = k] = p k (1 p) n k, k = 0,, n k Der Poisson-Grenzwertsatz behandelt die Situation, in der die Anzahl der Experimente sehr groß, die Erfolgswahrscheinlichkeit jedoch sehr gering ist Theorem 71 Es sei p n eine Folge mit lim n np n = λ, wobei λ > 0 Dann gilt lim P[S n,p n = k] = e n λ λk, k = 0, 1, k! Definition 72 Eine Zufallsvariable S heißt Poisson-verteilt mit Parameter λ > 0, falls P[S = k] = e λ λk, k = 0, 1, k! Wir benutzen die Schreibweise S Poi(λ) Die obige Definition kann man etwas erweitern Wir sagen, dass S Poi(0) falls S = 0 fast sicher Außerdem sagen wir, dass S Poi(+ ), falls S = + fast sicher 72 Beispiel zu Poisson-Prozessen Wir betrachten nun wieder eine sehr große Zahl von unabhängigen Experimenten mit sehr kleinen Erfolgswahrscheinlichkeiten Diesmal stellen wir uns aber vor, dass jedes 1

2 Experiment außerdem eine Position im Raum besitzt Die Positionen der Experimente, die mit einem Erfolg ausgehen, bilden eine zufällige Konfiguration von Punkten im Raum Diese Konfiguration beschreibt man mit einem Poisson-Punktprozess Wir werden versuchen, ein stochastisches Modell für die Verteilung der Sterne im Himmel zu finden Ist A ein Gebiet (ein Teil des Himmels), so bezeichnen wir mit π(a) die Anzahl der Sterne in A Diese Anzahl fassen wir als eine Zufallsvariable mit Werten in N 0 auf Wir gehen davon aus, dass folgende Eigenschaft gilt: Für disjunkte Gebiete A 1,, A n sind die Zufallsvariablen π(a 1 ),, π(a n ) unabhängig Außerdem machen wir folgende Annahme Ist Q ein kleines Gebiet mit Fläche ɛ 0, so gilt P[ Es gibt einen Stern in Q ] λɛ, ε 0 Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, einen Stern in einem sehr kleinen Gebiet zu finden, ist proportional zum Flächeninhalt dieses Gebiets Der Koeffizient λ > 0 beschreibt dabei die Intensität der Sterne im Himmel Wie ist nun π(a) für ein beliebiges Gebiet A verteilt? Dazu unterteilen wir A in kleine Gebiete mit Fläche ɛ Die Anzahl dieser Gebiete ist Fläche(A)/ɛ Aus unseren Voraussetzungen und dem Poisson-Grenzwertsatz folgt, dass ( ) Fläche(A) π(a) Bin, λɛ Poi (λ Fläche(A)) für ɛ 0 ɛ Es gilt also: Für jedes gebiet A ist π(a) Poisson-verteilt mit Parameter λ Fläche(A) Eine zufällige Konfiguration von Punkten im Raum, die die beiden oben genannten Eigenschaften hat, bezeichnen wir als einen Poisson-Punktprozess 73 Definition der Poisson-Prozesse Wir werden nun eine mathematische Definition der Poisson-Punktprozesse geben 731 Zählmaße Die erste Frage ist, wie man eine Punktekonfiguration definiert Wir bezeichnen mit B d die σ-algebra der Borel-Mengen in und mit B0 d die Familie der beschränkten Borel-Mengen Definition 73 Ein Maß µ auf heißt Zählmaß, falls für alle A B d 0, µ(a) eine nichtnegative ganze Zahl ist 2

3 Beispiel 74 Sei x Das Dirac Maß δ x ist definiert durch 1, x A, δ x (A) = 0, sonst Offensichtlich ist δ x ein Zählmaß Man kann sich δ x als eine Punktekonfiguration vorstellen, die aus einem Punkt x besteht Etwas allgemeiner, jede endliche oder abzählbare Summe µ = n δ x i, wobei n N und x 1, x 2,, ist ein Zählmaß, wenn man zusätzlich fordert, dass die Folge x 1, x 2, keine Häufungspunkte besitzt Beispiel 75 Kein Zählmaß hingegen ist: µ = n=1 δ 1/n, denn hier ist µ([0, 1]) = Umgekehrt kann man zeigen, dass jedes Zählmaß µ sich als µ = n δ xi darstellen lässt, wobei n N und x 1, x 2, eine endliche oder abzählbar unendliche Folge von Punkten in ist, die keine Häufungspunkte besitzt Zählmaße sind somit (deterministische) Punktekonfigurationen ohne Häufungspunkte 732 Punktprozesse Wir wollen nun definieren, was eine zufällige Punktekonfiguration ohne Häufungpunkte (ein zufälliges Zählmaß) ist Solche zufällige Punktekonfigurationen heißen Punktprozesse Wir bezeichnen mit M die Menge aller Zählmaße Definition 76 Sei M 2 M definiert als die σ-algebra erzeugt von Mengen der Form µ M : µ(a i ) = k i, i = 1,, n, wobei n N, k 1,, k n N 0 und A 1,, A n B d Definition 77 Ein Punktprozess ist eine messbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) nach (M, M) Bezeichnet π einen Punktprozess, so sei π(a) definiert als die Anzahl der Punkte in einer Menge A B d Somit ist π(a) ist eine Zufallsvariable mit Werten in N 0 Beispiel 78 Es seien X 1,, X N uiv Zufallsvektoren mit Werten in Der Punktprozess N π = wird der Binomialpunktprozess genannt, denn die Anzahl der Punkte in einer Menge A B d ist binomialverteilt: π(a) Bin(N, P[X 1 A]) δ Xi 3

4 733 Poisson-Punktprozesse Definition 79 Sei µ ein Maß auf mit µ(a) < für alle A B d 0 (Radon-Maß) Ein Punktprozess π auf heißt Poisson-Punktprozess mit Intensitätsmaß µ, falls folgende zwei Bedingugnen gelten: 1 für alle A B d : π(a) Poi(µ(A)) 2 für alle A 1,, A n B d sind die Zufallsvariablen π(a 1 ),, π(a n ) unabhängig Wir benutzen die Schreibweise π PPP(µ) Bemerkung 710 Aus der ersten Eigenschaft folgt, dass Eπ(A) = µ(a) Das Intensitätsmaß beschreibt also die erwartete Anzahl der Punkte in einem Poisson-Punktprozess Bemerkung 711 Eine messbare Funktion f : R heißt lokal integrierbar, falls f(t) dt < für jede Menge B B Bd 0 Ist nun f 0 eine lokal-integrierbare Funktion, so kann man ein Radon-Maß µ mit µ(b) = f(t)dt definieren Die Funktion f heißt die B Dichte von µ und wir schreiben µ(dt) = f(t)dt Einen Poisson-Punktprozess π PPP(µ) werden wir dann auch mit PPP(f(t)dt) bezeichnen Die Funktion f nennen wir dann die Intensität von π Beispiel 712 Im Beispiel mit dem Sternenhimmel haben wir einen Poisson-Punktprozess mit einer konstanten Intensität f(t) = λ > 0 betrachtet Ein solcher Poisson-Punktprozess heißt homogen Beispiel 713 Seien E 1, E 2, unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit P[E i > t] = e λt, t > 0 Dann ist n=1 δ E 1 ++E n ein Poisson-Punktprozess mit Intensität λ1 (0, ) Um nun den eindimensionale homogenen Poisson-Punktprozess mit Intensität λ zu konstruieren, muss man auf die gleiche Weise unabhängig einen Poisson- Punktprozess auf (, 0) erzeugen und die Vereinigung der beiden Punktprozesse nehmen 74 Eigenschaften der Poisson-Punktprozesse 741 Superpositionssatz Die Poisson-Verteilung ist faltungsstabil: sind X 1 Poi(λ 1 ),, X n Poi(λ n ) unabhängige Zufallsvariablen, so gilt X X n Poi(λ λ n ) Wir beweisen, dass diese Eigenschaft auf unendliche Summen erweitert werden kann 4

5 Theorem 714 Seien X i Poi(λ i ), i N, unabhängige Zufallvariablen mit λ i [0, ] Dann gilt: ( ) S := X i Poi λ i Bemerkung 715 Wenn λ i =, dann gilt S = fast sicher Beweis Sei S n = X X n und σ n = λ λ n Bekannt ist bereits, dass S n Poi(σ n ) Sei r N 0, dann gilt Deshalb gilt: S 1 r S 2 r und S i r = S r P[S r] = lim n P[S n r] = lim n r k=0 da S n Poi(σ n ) Man kann hier zwei Fälle unterscheiden: e σn σk n k!, Fall 1: σ n σ, σ < Dann gilt: P[S r] = r σk k=0 e σ und daher ist S Poi(σ) k! Fall 2: σ n Dann gilt: P[S r] = 0 und dann ist S = fast sicher Die Superposition π = π 1 +π 2 der Punktprozesse π 1, π 2, ist die Vereinigung aller Punkte dieser Punktprozesse Hierbei ist π nicht immer ein Zählmaß Im nächsten Satz beweisen wir, dass die Superposition von unabhängigen Poisson-Punktprozessen wieder ein Poisson-Punktprozess ist Theorem 716 Seien π i PPP(µ i ), i N, unabhängige Poisson-Punktprozesse Ist µ = µ i ein Radon-Maß, so gilt: π := π i PPP(µ) Beweis Sei A B d Es gilt π i (A) Poi(µ i (A)), weil π i PPP(µ i ) Mit Theorem 814 folgt ( ) π(a) = π i (A) Poi µ i (A) = Poi(µ(A)), Damit ist die Eigenschaft 1 aus der Definition gezeigt 5

6 Seien nun A 1,, A n B d disjunkt Es gilt für jedes i N, dass π i (A 1 ),, π i (A n ) sind unabhängig, da π i PPP(µ i ) Außerdem sind Punktprozesse π 1, π 2, unabhängig Es folgt, dass π(a 1 ) = π i (A 1 ),, π(a n ) = π i (A n ) unabhängig sind Daher ist auch die zweite Eigenschaft aus der Definition nachgewiesen, woraus die Behauptung folgt Bemerkung 717 Aus A B d 0 folgt, dass π(a) Poi(µ(A)) <, woraus folgt, dass π ein Punktprozess ist 742 Abbildungssatz Definition 718 Sei T : 1 2 von ν ist ein Maß T ν auf 2 mit eine Borel-Abbildung Sei ν Maß auf 1 Das Bild (T ν)(a) = ν(t 1 (A)), A B d 2 Beispiel 719 Sei δ ein Zählmaß, mit δ = i δ x i Dann ist T δ = i δ T x i Beispiel 720 Wir konstruieren ein Radon-Maß ν und eine Abbildung T mit der Eigenschaft, dass T ν kein Radon-Maß ist Sei T : R 2 R mit T (x, y) = x und sei ν Lebesgue-Maß auf R 2 Dann folgt T ν((a, b)) = für alle a < b Somit ist T ν kein Radon-Maß Theorem 721 Sei T : 1 2 eine Borel Abbildung und π PPP(µ) Sei T µ ein Radon-Maß auf 2 Dann gilt T π PPP(T µ) Beweis Wir überprüfen, ob die Bedingungen aus Definition 89 erfüllt sind Sei A B d 2 Es gilt: (T π)(a) = π(t 1 (A)) Poi(µ(T 1 (A))) = Poi((T µ)(a)) Für A B d 2 0 folgt außerdem, dass (T π)(a) Poi((T µ)(a)) < fast sicher, weshalb T π ein Punktprozess ist Seien nun A 1,, A n B d 2 disjunkt, dann sind auch die Urbilder T 1 (A 1 ),, T 1 (A n ) disjunkt Es folgt, dass die Zufallsvariablen π(t 1 (A 1 )),, π(t 1 (A n )) unabhängig sind, da π PPP(µ) Deshalb sind die Zufallsvariablen (T π)(a 1 ),, (T π)(a n ) unabhängig 6

7 743 Laplacefunktionale Definition 722 Es sei B( ) die Menge aller Borel-Funktionen f : R Es sei B + ( ) die Menge aller f B( ) mit f 0 Definition 723 Sei π ein Punktprozess auf Für f B + ( ) definiere die Zufallsvariable S f = x π f(x) Dann heißt das Laplace-Funktional von π ψ π : B( ) [0, ) mit ψ π (f) = E[e S f ] Im nächsten Satz berechnen wir das Laplace-Funktional eines Poisson-Prozesses Theorem 724 Sei π ein Poisson-Punktprozess auf mit Intensität µ, dann ist E[e S f ] = exp (1 e f(x) )dµ(x) (71) Beweis Schritt 1 (Indikatorfunktionen) Sei zuerst f(x) = c 1 A (x), mit c > 0, A B d 0 Dann ist S f = c π(a) Es gilt π(a) Poi(µ(A)) Es fogt E[e S f ] = E[e cπ(a) ] = e k=0 µ(a) µ(a)k k! e ck = e µ(a) k=0 (µ(a)e c ) k k! = e µ(a)(1 e c) Somit gilt die Behauptung für f(x) = c 1 A (x) Schritt 2 (Einfache Funktionen) Sei nun f(x) = c 1 1 A1 (x) + + c n 1 An (x) mit A 1,, A n B d 0, disjunkt, und c 1,, c n > 0 Dann gilt: E[e S f ] = E[e c 1π(A 1) e cnπ(an) ] = n E[e c iπ(a i ) ], da π ein Poisson-Punktprozess und daher die π(a i ) unabhängig sind Da wir die Gültigkeit der Behauptung für diese Art von Funktion bereits im ersten Schritt gezeigt haben, folgt: n E[e c iπ(a i ) ] = exp n µ(a i )(1 e c i ) = exp (1 e f(x) )dµ(x) Schritt 3 Sei nun f 0 eine beliebige Borel-Funktion Dann gibt es einfache Funktionen f i, die punktweise von unten gegen f konvergieren Da wir die Richtigkeit der 7

8 Behauptung für einfache Funktionen bereits bewiesen haben, folgt mit der Monotonen Konvergenz, dass sie auch für f gilt Bemerkung 725 Die Formel (81) gilt auch in folgender leicht allgemeiner Form: E[e θs f ] = exp (1 e θf(x) )dµ(x), θ 0 Die Richtigkeit dieser Behauptung lässt sich nachweisen, indem man θf(x) in (81) einsetzt Korollar 726 (Campbell) Sei π PPP(µ) auf und f B + ( ), dann gilt: E[S f ] = f(x)dµ(x) Beweis Wegen Satz 824 gilt: E[S f ] = d dθ log E[eθθS f ] θ=0 = d dθ (1 e θf(x) )dµ(x) θ=0 Durch vertauschen von Integral und Ableitung lässt sich der Ausdruck wie folgt schreiben und vereinfachen: d E[S f ] = θ (1 e θf(x) )dµ(x) θ=0 = f(x)dµ(x) d Aufgabe 727 Zeigen Sie: E[Sf] 2 = f 2 (x)dµ(x) + f(x)dµ(x) Im nächsten Satz zeigen wir, dass man einen Poisson-Punktprozess an seinem Laplace- Funktional erkennen kann Theorem 728 Sei π ein Punktprozess auf mit E[e S f ] = e (1 e f(x) )dµ(x) für alle Funktionen f B + ( ) und ein Radon-Maß µ, dann ist π PPP(µ) Beweis Wir zeigen, dass π(a) Poi(µ(A)) für alle A B d Sei f(x) = θ1 A (x) mit θ 0 Einsetzen liefert: E[e θπ(a) ] = exp µ(a)(1 e θ ), für alle θ 0 8

9 Da es sich bei exp µ(a)(1 e θ ) um die Laplace-Transformierte einer Poi(µ(A))- verteilten Zufallsvariable handelt, folgt mit der Eindeutigkeit der Laplace-Transformierten, dass π(a) Poisson-verteilt ist mit Intensität µ(a) Seien nun A 1,, A n B d disjunkt Wir zeigen, dass dann π(a 1 ),, π(a n ) unabhängig sind Sei f(x) = θ 1 1 A1 (x) + + θ n 1 An (x), mit θ 1,, θ n 0 Einsetzen liefert: E[e θ 1π(A 1) e θnπ(an) ] = exp (1 e f(x) )dµ(x) = exp n µ(a i )(1 e θ i ) Weiterhin gilt: n exp µ(a 1 )(1 e θ i ) = n e µ(a i)(1 e θi) = n E[e θ iπ(a i ) ], woraus folgt, dass π(a 1 ),, π(a n ) unabhängig sind 75 Markierungen von Poissonpunktprozessen Sei π ein Poisson-Punktprozess mit Intensität µ auf 1 Erzeuge für jeden Punkt x 1 eine Zufallsvariable m x mit Werten in 2 Wir bezeichnen die Verteilung von m x mit λ x (λ x ist Wahrscheinlichkeitsmaß auf 2 und darf von x abhängen) Wir brauchen folgende drei Annahmen: 1 m x, x 1, sind unabhängige Zufallsvariablen 2 m x, x 1, sind unabhängig von π 3 x λ x (B) ist Borel-Funktion für alle B B d 2 Wir definieren den markierten Poisson-Punktprozess π auf 1+d 2 wie folgt: π = x π δ (x,mx) Die Schreibweise x π bedeutet, dass die Summe über alle Punkte im Punktprozess π gebildet wird 9

10 Theorem 729 π ist Poisson-Punktprozess mit Intensität µ auf 1+d 2, wobei µ (C) = dµ(x)λ x (dm), für C B d 1+d 2 (x,m) C Beweis Sei f : 1 2 R mit f 0 eine Borel-Funktion Wir schreiben S = (x,m) π f(x, m) Wir wollen zuerst folgenden bedingten Erwartungswert berechnen: E[e S π] = x π E[e f(x,mx) π] = x π 2 e f(x,m) dλ x (m) Mit Hilfe einer einfachen Transformation lässt sich obiger Ausdruck wie folgt darstellen: e f(x,m) dλ x (m) = exp log e f(x,m) dλ x (m) =: exp f (x) x π 2 x π 2 x π Es folgt: E[e S ] = E π [exp ] f (x), x π was sich mit Hilfe von Satz 824 wie folgt umformen lässt E π [exp ] f (x) = exp (1 e f (x) )dµ(x) x π Einsetzen von f leifert nun folgendes: exp (1 e f (x) )dµ(x) = exp (1 e f(x,m) )dµ(x)λ(dm), 1 2 wobei man dµ(x)λ(dm) = dµ (x, m) setzt Mit Satz 828 folgt schließlich, das π Poisson- Punktprozess mit Intensität µ ist Beispiel 730 Sei π PPP(µ) Färbe die Punkte x des Poisson-Punktprozesses mit verschiedenen Farben ein, wobei gelten soll, dass x mit Wahrscheinlichkeit p i mit Farbe i N gefärbt wird und sich die Wahrscheinlichkeiten zu 1 summieren ( p i = 1) Alle Punkte werden unabhängig voneinander gefärbt Sei π i der Punktprozess der Punkte der Farbe i Dann gilt π i PPP(p i µ) und die Punktprozesse π i, i N, sind unabhängig 10