Mathematische Modelle in den Naturwissenschaften Proseminar

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1 Mathematische Modelle in den Naturwissenschaften Proseminar Johannes Kepler Universität Linz Technische Mathematik Der Algorithmus von Ford und Fulkerson Ausgearbeitet von Julia Eder, Markus Eslitzbichler, Peter Gangl, Stefan Holzbauer, Daniela Saxenhuber

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Beweis Ford und Fulkerson 3 3 Beispiele 4 4 Komplexitätsanalyse 9 5 Quellenangaben 11 1 Einleitung Der Satz bzw. Algorithmus von Ford-Fulkerson beschreibt in der Graphentheorie eine Möglichkeit, den maximalen Fluss in einem Netzwerk zu bestimmen. Bevor wir diesen Satz exakt formulieren und beweisen können, müssen wir ein paar grundlegende Begriffe definieren: Netwerk: Der Begriff eines Netzwerks in der Graphentheorie wird am einfachsten verständlich, wenn man es sich anhand eines anschaulichen Beispiels vorstellt, etwa an einem elektrischen Stromnetzwerk: Es gibt eine Stromquelle q und einen Verbraucher s, zu dem der ganze elektrische Strom, der in q erzeugt wird, über ein System von Leitungen transportiert werden soll.dabei kann jede dieser Leitungen nur Ströme bis zu einer gewissen Stromstärke übertragen. Da wir im Algorithmus auch sogenannte Rückflüsse berücksichtigen werden (siehe später), müssen wir auch Mehrfachkanten zwischen zwei Knoten des Graphen erlauben, wir betrachten also einen Multigraphen. Da in einem Multigraphen eine Kante nicht mehr eindeutig durch zwei Knoten bestimmt ist, müssen wir eine Kante als Tripel (e, x, y) =: e auffassen, das für die Kante e, welche die Knoten x und y verbindet, steht. Die Menge aller Kanten im Graphen ist somit definiert als: E := {(e, x, y) e = xy} Jede Kante e = xy hat somit die zwei Richtungen (e, x, y) und (e, y, x) 1

3 Definition Ein Netzwerk ist ein endlicher gerichteter Multigraph (V, E ) zusammen mit zwei ausgezeichneten Knoten, der Quelle q und der Senke s, und einer Kapazitätsfunktion c : E R + 0, die jeder Kante eine nichtnegative Zahl als Kapazität zuordnet. Ein Strom auf einem Netzwerk ist eine Abbildung, die jeder Kante zuweist wieviel Strom, Daten etc. durch sie hindurchfließt. Der Strom einer Kante darf somit nicht größer sein als ihre Kapazität. Definition Ein Strom (Fluss) auf einem Netzwerk N ist eine Abbildung f : E R + 0 mit den folgenden 3 Eigenschaften: - f( e ) c( e ) e E - f(e, x, y) = f(e, y, x) (e, x, y) E mit x y - e:s(e)=u f(e) = e:q(e)=u f(e) u V \{q, s} Die Stärke eines Stroms, welche wir im Folgenden maximieren wollen, ist definiert als die Summe all jener Ströme, die von der Quelle q wegführen, also f := f(e) e:q(e)=q Als Schnitt in einem Netwerk N werden wir im Folgenden ein Tupel (S, S) bezeichnen, wobei S eine Teilmenge der Knotenmenge V des Graphen ist und die Quelle q in S liegt, nicht aber die Senke s. Für einen solchen Schnitt können wir nun die Kapazität sowie den Strom definieren: c(s, S) := c(e) c(e) f(s, S) := e E(S,S) c( e ) = e E(S,S) f( e ) = e:q(e) S S(e)/ S e:q(e) S S(e)/ S f(e) e:q(e)/ S S(e) S e:q(e)/ S S(e) S f(e) Aus der ersten Eigenschaft in der Definition eines Stromes f folgt sofort für alle Schnitte (S, S), dass f(s, S) c(s, S). Außerdem gilt für jeden Schnitt (S, S) in einem Netzwerk N, dass f(s, S) = f (siehe Beweis Vorlesung). 2

4 Insgesamt wissen wir nun also, dass die Stärke eines Flusses höchstens so groß sein kann, wie die kleinste Kapazität eines Schnittes in N: f inf{c(s, S) : (S, S) ist Schnitt in N} Der Satz von Ford-Fulkerson besagt, dass in dieser Zeile Gleichheit gilt: Satz ( Ford - Fulkerson 1956) In jedem Netzwerk ist die größte Stärke eines Flusses gleich der kleinsten Kapazität eines Schnittes. 2 Beweis Ford und Fulkerson In jedem Netzwerk ist die größte Stärke eines Flusses gleich der kleinsten Kapazität eines Schnittes. Beweis: Es sei N = (G, q, s, c) ein beliebiges Netzwerk, mit G =: (V, E). Wir werden eine Folge f 0, f 1, f 2,... ganzzahliger Flüsse in N von streng wachsender Stärke definieren, also mit f 0 < f 1 < f 2 <... Da mit einem Fluss auch seine Stärke ganzzahlig ist, gilt dann jeweils f n+1 f n + 1. Da überdies die Stärke aller Flüsse in N durch die Kapazität eines jeden Schnittes nach oben beschränkt ist, wird unsere Folge mit einem Fluss f n abbrechen. Wir werden dazu dann einen Schnitt der Kapazität c n = f n finden; da trivialerweise in N jede Flussstärke nach oben durh c n und jede Schnittkapazität nach unten durch f n beschränkt ist, ist f n damit ein Fluss größter Stärke und c n eine kleinste Schnittkapazität, und die Behauptung folgt. Als f 0 wählen wir den Nullfluss, setzen also f 0 ( e) := 0 für alle e E. Ist für ein n N bereits ein Fluss f n ganzzahliger Stärke in N definiert, so bezeichne S n die Menge aller Ecken v, für die G einen q v-kantenzug x 0 e 0...e l 1 x l mit f n ( e i ) < c( e i ) für alle i < l enthält; hier sei e i := (e i, x i, x i+1 ), und natürlich x 0 = q und x l = v. Ist s S n, so sei W = x 0 e 0...e l 1 x l der entsprechende q s-kantenzug, obda ohne Eckenwiederholung, und ɛ := min {c( e i ) f n ( e i ) i < l}. 3

5 Offenbar ist ɛ > 0, und da f n (wie c) nach Annahme ganzzahlig ist, ist ɛ N. Wir setzen f n ( e) + ɛ für e = (e i, x i, x i+1 ), i = 0,..., l 1; f n+1 : e f n ( e) ɛ für e = (e i, x i+1, x i ), i = 0,..., l 1; f n ( e) für e W. Anschaulich entsteht f n+1 aus f n, indem wir einen zusätzlichen Fluss der Stärke ɛ entlang W von q nach s schicken. Offenbar ist f n+1 wieder ein ganzzahliger Fluss in N. Zur Bestimmung von f n+1 betrachten wir den Wert f n+1 = f n+1 (q, V ). Da W die Ecke q nur einmal enthält, ist e 0 das einzige Tripel (e, x, y) mit x = q und y Y, dessen Wert geändert wurde. Dieser Wert, und somit der von f n+1 (q, V ), wurde erhöht. Es gilt also f n+1 f n wie erwünscht. Ist s / S n, so ist (Sn, S n ) ein Schnitt in N. Da f( e) c( e) für alle e E gilt für f n und nach Definition von S n für alle e E(S n, S n ). Damit gilt wie gewünscht. f n ( e) = c( e) f n = f n (S n, S n ) = c(s n, S n ) 3 Beispiele Die Restkapazität einer Kante (u, v) ist definiert als rest(u, v) := c(u, v) f(u, v) und das im Beweis bereits erwähnte ɛ verstehen wir als ɛ = min(rest(u, v) wobei (u, v) Kanten im gewählten Kantenzug von q nach s sind) Unter einem Zunahmepfad oder auch augmentierten Pfad verstehen wir einen Kantenzug von q nach s mit positiven Kantenkapazitäten. Der Algorithmus von Ford un Fulkerson startet nun in einem beliebigen Netzwerk mit gegebenen Kapazitäten der Kanten und initialisiert den Fluss 4

6 f 0 = 0 an allen Kanten. In jedem Schritt des Algorithmus wird das Restnetzwerk berechnet und ein Zunahmepfad darin gesucht. Auf diesem wird der Fluss nun um ɛ erhöht und erneut das Restnetzwerk betrachtet. Der Algorithmus von Ford und Fulkerson terminiert wenn kein Zunahmepfad im Restnetzwerk mehr gefunden werden kann. Somit ist der maximale Fluss erreicht und erspricht der Summe der Flüsse aller Kanten, die von der Quelle wegführen bzw. zur Senke hinführen. Zur Veranschaulichung zwei Beispiele: 5

7 Einfaches Beispiel 6

8 Beispiel mit Rückfluss Der Rückfluss kann dann bedeutend werden, wenn dadurch ein besseres Ergebnis erzielt werden kann: 7

9 8

10 4 Komplexitätsanalyse Wir wollen nun noch einen kurzen informellen Blick auf die Laufzeitkomplexität des Algorithmus werfen. Ohne Beweis stellen wir fest, dass der Algorithmus von Ford-Fulkerson eine Laufzeitkomplexität von O( E f ) besitzt, wobei f den maximalen Fluss bezeichnet. Die Abhängigkeit von der Größe des Flusses sieht man sehr gut im Beispiel in Abbildung (1). Klarerweise ist solches Verhalten nicht erwünschenswert. Abbildung 1: Ford Fulkerson 9

11 Wie man leicht sieht, liegt das Problem bei der Wahl der augmentierenden Pfade. Diese ist im Algorithmus von Ford-Fulkerson nicht näher spezifiziert und kann somit zu solchen Flaschenhals-Fällen fuehren. Um diese zu vermeiden, führen wir eine zusätzliche Forderung in die Spezifikation des Algorithmus ein: Wir wählen als augmentierenden Pfad in jedem Schleifendurchlauf jeweils den kürzesten verfügbaren Pfad. Nehmen wir uniforme Kantenlängen an, so können wir dazu eine Breitensuche verwenden, was uns zum Algorithmus von Edmonds und Karp führt. Dieser besitzt eine Laufzeitkomplexität von O( V E 2 ). Wenden wir diese Variante auf dasselbe Netzwerk wie zuvor an, terminiert der Algorithmus bereits nach zwei Iterationen, und nicht erst nach 2000 (siehe Abbildung (2)). Abbildung 2: Edmond Karps Satz 1 Der Algorithmus von Edmonds und Karp terminiert nach O( V E ) Iterationen. Die Breitensuche die in jeder Iteration durchgeführt wird, weist eine Komplexität von O( E ) auf, womit wir auf das bereits erwähnte Laufzeitverhalten von O( V E 2 ) kommen. Einen Beweis der Komplexität findet man in der einschlägigen Literatur. 10

12 5 Quellenangaben Diestel, Reinhard: Graphentheorie. S , Springer-Verlag, Berlin, Edmonds, Jack and Karp, Richard M.: Theoretical Improvements in Algorithmic Efficiency for Network Flow Problems. J. ACM, Vol. 19, No. 2, S , ( Screenshots des Kapitels Beispiel mit Rückfluss von hu-berlin.de/forschung/gebiete/algorithmenii/lehre/ss09/theo3/skript/ thi3-bsp-ff.pdf 11