Gliederung. Kapitel 4. Lokale Suchverfahren. Meta-Heuristiken. Simulated Annealing. Lokale Suchverfahren. Optimierungsalgorithmen

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1 Kapitel Optimierungsalgorithmen Gunnar Klau Institut für Computergraphik und Algorithmen Gliederung Kombinatorische vs. Ganzzahlige Optimierung Exakte Verfahren Branch-and-Bound Schnittebenenverfahren Branch-and-Cut Spaltengenerierung Programmieraufgabe Metaheuristiken Flüsse in Netzwerken 1 2 Meta-Heuristiken Lokale Suchverfahren Wiederholung (Algodat I): Heuristik:Verfahren, das zulässige Lösung für ein Optimierungsproblem findet. Approximationsalgorithmus: Heuristik mit Gütegarantie Konstruktive Heuristik: startet mit nichts Verbesserungsheuristik: startet mit Lösung, meist lokale Verbesserungen (local search methods) Generell anwendbar, flexibel Benötigen Darstellung der zulässigen Lösungen beliebige Zielfunktion, effizient berechenbar Nachbarschaftsfunktion Z.B. Austauschverfahren (k-opt beim TSP) Entferne k Elemente aus aktueller Lsg. Wähle beste Ergänzung HuGS demo Lokale Suchverfahren Simulated Annealing Problem: lokale Optima Methode 1: Wende Verbesserungsheuristik auf verschiedene, zufällige, Anfangslösungen an Methode 2: Wende Zufall bei Verbesserungsverfahren an Beide Methoden nutzen Zufall nicht systematisch - Keine Konvergenzaussagen Metaheuristiken hier(kurz) Simulated Annealing, Evolutionäre Algorithmen, Tabu Search Analogie: physikalischer Prozess, bei dem Metall erhitzt und langsam abgekühlt wird Am Anfang viel Änderungen möglich, am Ende wenig Idee: akzeptiere ab und zu schlechtere Lösung Hoffnung: mit skalierbarem Aufwand lokalen Optima zu entkommen 6 1

2 Simulated Annealing t = 0; T = T init ; x = Ausganglösung; repeat Zufallszahl [0, 1) wähle x aus N(x); if (x besser als x) (Z < e - f(x )-f(x) /T ) then x = x ; T = g(t, t); t = t + 1; until Abbruchkriterium erfüllt; Simulated Annealing e - f(x )-f(x) /T Zeit abgelaufen, Lösung gut genug, keine Verbesserung etc. f(x )-f(x) T 8 Evolutionäre Algorithmen Evolutionäre Algorithmen Metaheuristiken, die Grundprinzipien der natürlichen Evolution nachahmen Selektion Rekombination Mutation Arbeitet auf Menge von Lösungen (Population) Startpopulation sollte vielfältig sein wiederhole bis Abbruchkriterium erfüllt P = Startpopulation bewerte(p) Q s = Selektion(P) Q r = Rekombination(Q s ) P = Mutation Q r 9 Tabu-Suche steuert Verbesserungsheuristiken mittels Gedächtnis akzeptiert auch schlechtere Lösungen Tabu-Suche generiere Startlösung x; k = 0; repeat k = k + 1; generiere Untermenge V * N(x, k); wähle beste Lösung x V * ; until Abbruchkriterium erfüllt; return beste gefundene Lösung; HuGS demo Menge der erlaubten Lösungen in der Nachbarschaft, abhängig von memory Zum Beispiel: N(x, k+1) = k begrenzt keine Verbesserungen mehr seit einigen Iterationen Optimallösung erreicht (wenn Schranken bekannt) 2

3 Tabu-Suche Wichtig: effiziente Generierung von N(x, k) und Auswahl von V * gute Datenstruktur für V * Strategien gegen Kreiseln (cycling) Kapitel Flüsse in Netzwerken 1 1 Netzwerke Netzwerke Stromnetz Telefonnetz Warenfluss zwischen Herstellern und Konsumenten Verkehr (Straßen, Züge, Flugzeuge,...) Oft wollen wir Güter von einem Punkt zu einem anderen schicken Ziel So viel/effizient/billig wie möglich Maximale Flüsse (diese VL) Gerichteter Graph mit Kapazitäten zwei speziellen Knoten: Quelle s und Senke t Maximales Flussproblem: schicke maximal großen Fluss von s nach t ohne die Kapazitätsgrenzen zu verletzen Klassisches Problem der Algorithmenforschung Bsp.: Ölproduktion 1 16 Beispielnetzwerk N 16 9 s 20 t 1 1 Mathematische Formulierung Ein Netzwerk N = (V, E, c, s, t) besteht aus einem gerichteten Graphen (V, E) mit n Knoten und m gerichteten Kanten (Bögen), den oberen Schranken (Kapazitäten) c: V V R 0 und zwei ausgezeichneten Knoten: Quelle s und Senke t Vereinbarungen: c(e) = 0 e (V V) \ E keine isolierten Knoten 1 18

4 Mathematische Formulierung Ein Fluss f ist eine reellwertige Funktion f: V V R mit den drei Eigenschaften Sein Wert f ist die totale Flussmenge, die t erreicht, also f ist maximal, wenn es kein g mit g > f gibt 19 /16 8/1 Ein Fluss f in N? 1/ /9 /1 1/20 / 20 Restgraph Sei f ein Fluss in N. Die Restkapazität einer Kante e bzglch. f ist r f (e) > 0 e ist Restkante um wieviel kann r f (e) = 0 e ist saturiert ich f auf e erhöhen, Der Graph G = (V, E f ) ist ohne die Kapazität Graph der Restkanten c(e) zu überschreiten? (Residualgraph) Ein s-t-pfad in G heißt augmentierender Pfad Residualgraph für f 8 /16 /9 1/ 8/1 /1 1 1/20 / Flusserhöhung Push um x auf einer Kante e = (u,v): erhöhe f(u,v) um x erniedrige f(v,u) um x Sei P s-t-pfad in G Sei x minimale Restkapazität auf P push(e,x) für alle e auf P Neuer Fluss f mitwert f = f + x 2 Beispiel 8 /16 8/1 1/ /9 / /20 /

5 Beispiel Push um x = auf den roten Kanten /16 8/1 1/ 0/9 /1 19 1/20 / 2 Korrektheit Ist f Fluss? Schiefsymmetrie? Durch Definition der push-operation Kapazitätsbeschränkung? Durch Definition des Restgraphen Flusserhaltung Für innere Knoten wir sowohl eingehender als ausgehende Fluss um x erhöht, die Bilanz bleibt gleich (Null) 26 Schnitt Ein Schnitt ist eine Knotenmenge Die Kapazität eines Schnittes S in N ist Lemma Kein Fluss f in N kann einen Wert haben, der die Kapazität eines beliebigen Schnittes S übersteigt. Beweis: Kapazitätsbeschränkung Flusserhaltung Schiefsymmetrie Gilt, dann saturiert f den Schnitt S Max-Flow-Min-Cut-Theorem Max-Flow-Min-Cut-Theorem Sei f ein Fluss. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent: (1) Es gibt einen Schnitt S, den f saturiert (2) Fluss f ist maximal () Es gibt keinen augmentierenden Pfad im Restgraphen Beweis: (Ringschluss) (1) (2): Für jeden Fluss g gilt (2) (): Wenn es einen augmentierenden Pfad P gäbe, könnten wir entlang P augmentieren, [Ford/Fulkerson 196, Elias/Feinstein/Shannon 196] 29 Sei f ein Fluss. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent: (1) Es gibt einen Schnitt S, den f saturiert (2) Fluss f ist maximal () Es gibt keinen augmentierenden Pfad im Restgraphen Beweis: (Ringschluss) () (1): Sei S die Menge aller Knoten, die in G f von s aus erreicht werden können. Klar: s S und t S, also ist S Schnitt. Nach Def. von S gilt für alle e = (u, v) mit u S und v S, dass f(e) = c(e). Damit ist S von f saturierter Schnitt. Warum? 0

6 1 2 6

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