Sandro Pirkwieser, (Bin Hu, Jakob Puchinger) SS 2010

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1 Lösungsverfahren für Ganzzahlige Optimierung Sandro Pirkwieser, (Bin Hu, Jakob Puchinger) Fortgeschrittene Algorithmen und Datenstrukturen Arbeitsbereich für Algorithmen und Datenstrukturen Institut für Computergraphik und Algorithmen Technische Universität Wien SS 2010

2 Problem der Ganzzahligen Optimierung

3 Teil I

4 ist eine allgemeine Klasse von Verfahren. Generell für viele Problemen einsetzbar. Prinzipielle Idee: Schema zur Zerlegung eines Problems in Teilprobleme divide and conquer Verfahren zur Berechnung oberer und unterer Schranken Unterschied zu vollständiger Enumeration Praktische Umsetzung nicht einfach: weitergehende Überlegungen und effiziente Datenstrukturen.

5 Prinzip von 1/2 Versuch gegebenes Problem zu lösen Relaxierungen Obere Schranken Zulässige Lösungen Untere Schranken Sind die Schranken gleich ist das Problem (bewiesenermaßen) optimal gelöst Gelingt dies nicht: Zerlegen in Teilprobleme

6 Prinzip von 2/2 Lösen eines Teilproblems: (a) Bestimmen einer optimalen Lösung (b) Feststellung der Unzulässigkeit (c) Bestimmung einer oberen Schranke, die nicht besser als die bisher beste gefundene Lösung ist (d) Zerlegung in weitere Teilprobleme Bei endlicher Lösungsmenge und vernünftiger Aufteilungsstrategie führt das Verfahren zum Ziel.

7 -Baum Dem Ablauf des Verfahrens entspricht der -Baum Jeder Knoten repräsentiert ein Teilproblem, die Wurzel das Ausgangsproblem Direkte Nachfolger entsprechen der Zerlegung des Problems Blätter repräsentieren gelöste Probleme.

8 LP-basiertes LP-Relaxierung für obere Schranken Die LP-Relaxierung für das IP z IP = max{cx : x P Z n } ist das LP z LP = max{cx : x P} Es gilt: z LP z IP

9 für Ganzzahlige Optimierung Algorithm 1: LP-basiertes Startproblem S 0 hat Formulierung P 0 Liste nicht bearbeiteter Probleme L = {P 0 } Globale Untere Schranke z = Zähler k = 0 repeat Wähle Problem S i mit Formulierung P i aus Liste L Löse LP-Relaxierung über P i, mit Lösung xi LP Obere Schranke z i = LP-Zielfunktionswert if LP-Relaxierung unbeschränkt oder unlösbar then z i = Abschneiden oder Zerlegen until L = Beste zulässige Lösung x ist optimale Lösung von S

10 für Ganzzahlige Optimierung Algorithm 2: Abschneiden oder Zerlegen if P i = then Abschneiden wegen Unzulässigkeit // (b) else if z i z then Abschneiden wegen Schranke // (c) else if xi LP Z n then z = z i Beste zulässige Lösung x = xi LP Abschneiden durch optimale Lösung // (a) else Zerlege: Füge Subprobleme S k+1 und S k+2 mit Formulierungen P k+1 und P k+2 zu Liste L hinzu // (d) k = k + 2

11 für Ganzzahlige Optimierung Offene Fragen Wie erzeugt man die Subprobleme? Wie wählt man das nächste Subproblem aus?

12 Erzeugen der Subprobleme Erzeugen der Subprobleme Suchraum wird üblicherweise in zwei Teile aufgeteilt. Im Schritt Zerlege ist eine Lösung xi LP mit zumindest einem fraktionalen Wert x j (xi LP ) gegeben. Wähle fraktionale Variable x j um Suchraum aufzuteilen. Die zwei neuen Subprobleme: P k+1 = P i {x : x j x j (xi LP ) } P k+2 = P i {x : x j x j (xi LP ) }

13 Erzeugen der Subprobleme Variante zur Auswahl der fraktionalen Variable Menge C an fraktionalen Variablen Am meisten fraktionale Variable: arg max j C min[f j, 1 f j ] mit f j = x j (xi LP ) x j (xi LP ) Variable mit f j = 0.5 ist optimal

14 Erzeugen der Subprobleme Aufwändigere Auswahl der fraktionalen Variable Menge C an fraktionalen Variablen Full strong branching: betrachte alle Variablen in C, löse entsprechende LPs, und wähle beste aus Strong branching: betrachte Teilmenge aller Variablen, löse LPs eventuell mit (Iterations-)Limit Auch problemspezifische Zerlegung möglich/sinnvoll!

15 Auswahl des nächsten Subproblems Depth-First Search (DFS) Motivation: Vorhandensein einer zulässigen Lösung ermöglicht oft verstärktes Beschneiden des Lösungsbaumes. Das nächste Subproblem ist immer direkter Nachfolger des aktuellen Problems (Vorteil: LP Warmstart). Best-First Search (BFS) Motivation: Gesamtanzahl der betrachteten Subprobleme soll minimiert werden. Es wird immer Subproblem mit größter oberer Schranke ausgewählt.

16 Auswahl des nächsten Subproblems Konflikt Finden (guter) ganzzahliger Lösung Beweis der Optimalität Gezielte Kombination der genannten Strategien 1 DFS bis eine Lösung gefunden wird 2 Wechsel zu BFS

17 Branch and Bound für Ganzzahlige Optimierung Beispiel Wir betrachten das ganzzahlige Programm max 7x 1 3x 2 4x 3 x 1 + 2x 2 + 3x 3 x 4 = 8 3x 1 + x 2 + x 3 x 5 = 5 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 Z

18 Branch and Bound für Ganzzahlige Optimierung Beispiel Die LP-Relaxierung liefert optimale Lösung x 3 = x 4 = x 5 = 0, x 1 = 2 5, x 2 = 19 5 mit Zielfunktionswert c = 71 5 (= 14, 2). Wir erhalten als obere Schranke 15.

19 Branch and Bound für Ganzzahlige Optimierung Beispiel Verzweigen nach Variable x 2 : P 1 = P 0 {x x 2 3} P 2 = P 0 {x x 2 4} P 1 : Nächstes Problem. Die Optimallösung der LP-Relaxierung LP 1 ist x 4 = x 5 = 0, x 1 = 1 2, x 2 = 3, x 3 = 1 2 und c = 29 2 (obere Schranke -15).

20 Branch and Bound für Ganzzahlige Optimierung Beispiel P 1 muss weiter zerlegt werden: P 3 = P 1 {x x 1 0} P 4 = P 1 {x x 1 1} Die aktiven Probleme sind: K = {P 2, P 3, P 4 }. Lösung von LP 3 liefert x 1 = x 5 = 0, x 2 = 3, x 3 = 2, x 4 = 4 und c = 17. P 3 ist gelöst bisher beste Lösung hat Wert 17.

21 Branch and Bound für Ganzzahlige Optimierung Beispiel Lösung von LP 4 liefert: x 4 = 0, x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 1 3, x 5 = 4 3 und c = 52 3 = Obere Schranke ( 18) ist schlechter als die beste Lösung, damit ist auch P 4 gelöst.

22 Branch and Bound für Ganzzahlige Optimierung Beispiel Lösen von P 2 : LP-Relaxierung hat Optimum x 3 = x 5 = 0, x 1 = 1 3, x 2 = 4, x 4 = 1 3 und c = 43 3 = (obere Schranke 15). P 2 ist noch nicht gelöst, verzweigen: P 5 = P 2 {x x 1 0} P 6 = P 2 {x x 1 1}

23 Branch and Bound für Ganzzahlige Optimierung Beispiel Die Lösung von LP 5 liefert x 1 = x 3 = x 5 = 0, x 2 = 5, x 4 = 2 und c = 15. Dies ist eine neue beste Lösung mit Wert 15. P 5 ist gelöst. P 6 braucht nicht mehr betrachtet zu werden, da wegen LP 0 keine bessere Lösung als 15 möglich ist.

24 Branch and Bound für Ganzzahlige Optimierung U = c = 15 x 2 3 P 1 P 0 U = c = 15 x 1 0 x 2 4 P 2 U = 17 c = 15 x 1 0 x 1 1 x 1 1 U = 17 P 3 c = 18 P 4 U = 15 P 5 c = 15 P 6