Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis

Transkript

1 Diskrete Optimierung: Fallstudien aus der Praxis Branh and Bound Grundlagen Barbara Langfeld, Mihael Ritter, Barbara Wilhelm Tehnishe Universität Münhen 20A

2 Ganzzahlige Programmierung max T x Ax b x 0 x Z n P

3 Ganzzahlige Programmierung max T x Ax b x 0 x Z n P P I

4 Branhing LP-Relaxation: x (0) = ( ) P x (0)

5 Branhing LP-Relaxation: x (0) = ( ) x (0) 1 / Z Teilprobleme: P x (0)

6 Branhing LP-Relaxation: x (0) = x (0) ( ) / Z Teilprobleme: = 1 x (0) 1 P x (0) P (1)

7 Branhing LP-Relaxation: x (0) = x (0) ( ) / Z Teilprobleme: x (0) 1 = 1 oder = 2 x (0) 1 P x (0) P (2)

8 Branhing LP-Relaxation: x (0) = x (0) ( ) / Z Teilprobleme: x (0) 1 = 1 oder = 2 x (0) 1 für jedes Teilproblem: Prozedur wiederholen P (1) P (2)

9 Branhing LP-Relaxation: x (0) = x (0) ( ) / Z Teilprobleme: x (0) 1 = 1 oder = 2 x (0) 1 für jedes Teilproblem: Prozedur wiederholen P (1) P (2) Branhing

10 Bounding P x (0) beste Lösung:?? Zielfunktionswert:??

11 Bounding P (1) P (2) beste Lösung:?? Zielfunktionswert:??

12 Bounding x (2) P (2) beste Lösung:?? Zielfunktionswert:??

13 Bounding x (2) P (2) beste Lösung:?? Zielfunktionswert:??

14 Bounding x (3) P (3) beste Lösung:?? Zielfunktionswert:??

15 Bounding x (3) P (3) beste Lösung:?? Zielfunktionswert:??

16 Bounding x (5) P (5) beste Lösung:?? Zielfunktionswert:??

17 Bounding x (5) P (5) beste Lösung: (2, 1) T Zielfunktionswert: 3

18 Bounding x (1) P (1) beste Lösung: (2, 1) T Zielfunktionswert: 3

19 Bounding x (1) T x (1) = 2.5 P (1) beste Lösung: (2, 1) T Zielfunktionswert: 3

20 Bounding x (1) T x (1) = 2.5 P (1) Bounding

21 Branh & Bound: Überblik Initialisieren Knotenauswahl Ja Ende Nein Knoten übrig? Shranken bestimmen Knoten abshneiden? Ja Nein Branhing

22 Branh & Bound: Bestandteile Knotenauswahl: Welhes Teilproblem zuerst? Shranken: Woher gute globale und lokale Shranken? Abshneiden: Baum möglihst klein halten! Branhing: Wieviele und welhe Teilprobleme?

23 Branh & Bound für ILP Knotenauswahl Shranken Abshneiden Branhing allgemein zulässige Lösung finden Shranken verbessern Baum klein halten gute Lösung finden für ILP Teilproblem Teil-Polyeder Güteshätzung: Dualitätslüke

24 Branh & Bound für ILP Knotenauswahl Shranken Abshneiden Branhing allgemein globale untere Shranke: Mindestwert der Lösung lokale obere Shranken: Höhstwert der Lösung in Teilproblem gute Shranken Rehenaufwand kleiner Baum für ILP global: zulässige ganzzahlige Lösung, Heuristik lokal: LP-Relaxation

25 Branh & Bound für ILP Knotenauswahl Shranken Abshneiden Branhing allgemein lokale Shranke < globale Shranke Abshneiden Baum klein halten evtl. vorzeitiger Abbruh Güte der Lösung? für ILP Vergleih der Shranken

26 Branh & Bound für ILP Knotenauswahl Shranken Abshneiden Branhing allgemein wenige Zweige, kleiner Baum shnell Lösung finden gute Shranken für ILP fraktionelle Komponente wählen auf- und abrunden, evtl. mehrere Zweige andere Ideen kommende Stunden

27 Zusammenfassung: Branh & Bound allgemein exakter Algorithmus Prototyp, Details müssen festgelegt werden entsheidend: gute Shranken, Branhing, Knotenauswahl

28 Zusammenfassung: Branh & Bound allgemein für ILP exakter Algorithmus Prototyp, Details müssen festgelegt werden entsheidend: gute Shranken, Branhing, Knotenauswahl wihtigster ILP-Algorithmus in der Praxis Performanegarantie: Dualitätslüke problemangepasste Strategien hilfreih Kombinationen mit Heuristiken, Approximationsalgorithmen, Shnittebenen-Verfahren