Optimierung. Vorlesung 9

Transkript

1 Optimierung Vorlesung 9

2 Heute Facility location problem 1. Komplemetärer Schlupf 2. Das Facility Location Problem 3. Problemstellung LP, Duales, Schlupf Eine Approximationsalgorithmus Analyse und Beweis 2

3 Komplementärer Schlupf x und y sind optimal, genau dann wenn y i = 0 oder a i T x = b i x j = 0 oder A j T y = c j für alle i = 1,, m für alle j = 1,, n. Und wir wissen das gilt: c T x = b T y. Was wissen wir über Lösungen x, y, die diese Bedingungen fast erfüllen? 3

4 Relaxierter Komplementärer Schlupf x und y Lösungen für das primale bzw duale LP mit y i = 0 oder b i γ a i T x b i für alle i = 1,, m x j = 0 oder c j A j T y δc j für alle j = 1,, n für feste γ, δ 1, dann gilt c T x γδ b T y. Ein Algorithms der Lösungen berechnet, die diese Bedingungen erfüllen, berechnet eine γδ-approximation. 4

5 Facility Location Menge von Facilities F (z.b. Standorte für Krankenhäuser) Betriebskosten c j Menge von Clients C (z.b. Patienten) Verbindungskosten zu Facility j: a ij (z.b. Entfernungskosten zum Krankenhaus) Wähle eine Teilmenge der Facilities und weise jedem Client einer dieser Facilities zu, so dass die Summe aus Betriebskosten und Verbindungskosten minimiert wird. 5

6 Metric Facility Location Wir nehmen an, dass die Verbindungskosten die Dreiecksungleichung erfüllen. 6

7 Unser Ziel Das Problem ist NP-schwer. Unser Ziel: Ein Algorithmus für eine 3- Approximation. Problem verstehen: Wir beschreiben das Problem als ILP. Wir betrachten das relaxierte LP und sein duales. Wir relaxieren die komplementären Schlupfbedingungen. Ein Algorithmus der eine duale Lösung berechnet und daraus eine ganzzahlige primale. Mit relaxierter Schlupfbedingung zeigen wir Approximationsfaktor. 7

8 Facility Location ILP min i F,j C c ij x ij + f i y i i F Unter x ij 1 i F j C y i x ij 0 x ij {0,1} y i {0,1} i F, j C i F, j C i F 8

9 Das relaxierte LP und sein Duales min i F,j C c ij x ij + f i y i i F Unter x ij 1 i F j C y i x ij 0 x ij 0 y i 0 Duales siehe Tafel i F, j C i F, j C i F 9

10 Interpretation des Dualen LPs Jede Facility i bekommt von Client j ein Zahlung von β ij Insgesamt höchsten so viel wie die Kosten für die Facility Jeder Client j hat Kosten von α j die gedeckelt sind durch die Zahlung(en) an die Facilities β ij und Entfernungskosten c ij α j ist der Teil der Gesamtkosten die Client j übernimmt. 10

11 Die Schlupfbedingungen und Interpretation Nehmen wir an es gibt eine optimale ganzzahlige primale Lösung (x, y) und eine entsprechende optimale duale Lösung α, β. (2) Alle offenen Facilities werden genau bezahlt. (1) Insgesamt zahlt Client j genau α j = c ij + β ij (3) Er ist dabei genau einer Facility zugeordnet. (2) Und diese muss auch geöffnet sein. 11

12 Die relaxierten Schlupfbedingungen Wir werden eine 3-Approximation entwickeln, die Lösungen produzieret, die folgende Bedingungen erfüllen: i F, j C: x ij c ij α j β ij c ij i F: y i f i j C β ij f i 12

13 Algorithmus Es gibt 2 Phasen: Phase 1: Wir erzeugen eine duale Lösung (α, β). Öffnen von (zu viele) Facilities. Phase 2: Primale Lösung erzeugen (x, y) Nur einen Teil der Facilities aus Phase 1 öffnen. Analyse: Benutze die relaxierten Schlupfbedingungen mit (α, β) und (x, y). 13

14 Phase 1 Erhöhe Schrittweise α j für jeden Client j. Sobald α j = c ij für einen Client j und eine Facility j gilt, erhöhe β ij um die Nebenbedingung α j β ij c ij nicht zu verletzen. Markiere die Verbindung. Sobald j C β ij = f i : Öffne Facility i, verbinde alle markierten Clients mit i. Stoppe diese Clients (α j nicht weiter erhöhen). Verfahre ebenso später, wenn ein Verbindung zu einer bereits geöffneten Facility markiert wird. 14

15 Phase 2 Probleme der Lösung aus Phase 1 Zu viele geöffnete Facilities. β ij > 0 für zu viel Facilities, ein Client zahlt für mehrere Facilities. Erstelle einen Graph H Knoten: Die geöffneten Facilities aus Phase 1 Kanten: Zwischen Facilities, die einen gemeinsamen verbundenen Client haben. Berechne eine maximale unabhängige Menge und öffne nur diese Facilities. Verbinde Client i 1. mit einer Facility j für die er bezahlt hat (β ij > 0) 2. Sonst mit einer in H benachbarten Facility (indirekt) 16

16 Beobachtungen Für einen Client gilt bei indirekter Verbindung β ij = 0 sonst gilt α j β ij = c ij Für jede geöffneten Facility i gilt: j C β ij = f i 18

17 Wir wollen zeigen Theorem. Die Lösung des Algorithmus erfüllt c ij x ij + 3 f i y i 3 α j. i F j C i F j C Wir müssen noch für die indirekt verbunden Clients zeigen: c ij 3α j ( ) Warum reicht das? 19

18 Indirekte Verbindung c ij 3α j Sei i die Facility mit der Client j nach Phase 1 verbunden war und sei i die Facility nach Phase 2. Es muss einen Client j geben, der in Phase 1 zu beiden Facilities etwas beigetragen hat. Also β ij > 0 und β i j > 0. c ij c i j + c i j + c ij (Dreicksungleichung) c ij α j + 2α j (Warum? β > 0) 20

19 Fazit Beweis der Approximationsgüte von 3 mit Primal-Dual Verfahren. Laufzeit? Es fehlen hier natürlich einige Details Übung Es geht besser: 1.52 Untere Schranke:

20 Material Orginalpapier: Jain, K., and Vazirani, V.V.: Approximation algorithms for metric facility location and kmedian problems using the primal-dual schema and Lagrangian relaxation. Journal of the ACM 48 (2001), Seminararbeit von Peter Kling, sehr ausführlich: Eisenbrand/teaching/NetdesignWS0708/Peter-Facility-Location-Ausarbeitung.pdf Englisches Skript. Etwas kürzer: 22

21 Ausblick Nächste Woche Probeklausur Dauer: etwa 45. Inhalt: Alles Nächstes Jahr? Wollen wir? Kombinatorische Algorithmen wie z.b. heute Nicht-lineare Optimierung, was kommt nach LP? Konvexe Optimierung Heuristiken Was passiert wenn viele Gleichzeitig optimieren? Beispiel: Straßenverkehr. 23