Übung 2 Algorithmen II

Transkript

1 Yaroslav Akhremtsev, Demian Hespe Mit Folien von Michael Axtmann (teilweise) Akhremtsev, Hespe: KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Approximationsalgorithmen Grundlagen Warum Lösungen abschätzen? es gibt schwierige Probleme (z.b. TSP mit exponentieller Laufzeit) exakte Berechnung nicht möglich zu unseren Lebzeiten vernünftige Näherungen effizient berechnen exakte/optimale Ergebnisse nicht immer wichtig gute Lösungen genügen oft aber Abstand zur korrekten Lösung wissenswert Weglänge lang Weglänge Weglänge 24 1 Akhremtsev, Hespe:

3 Approximationsalgorithmen Gütemaß Ein Algorithmus ALG hat einen Approximationsfaktor ρ, wenn gilt w (ALG(I)) w (OPT (I)) ρ f.a. Probleminstanzen I, OPT optimale Lösung, w Bewertungsfunktion (hier für Minimierungsprobleme, ρ > 0 ist obere Schranke) Beispiel: ALG schätzt Distanz von Strecke x auf nächste Zweierpotenz 2 OPT bestimmt korrekte Distanz x w(alg) 2 log x 2log x +1 = = 2 x = 2 = ρ w(opt ) x x x (Zahlenbeispiel: x = = ) log x 2 Akhremtsev, Hespe:

4 Approximationsalgorithmen Klassen Approximationsprobleme klassifzierbar durch Laufzeit T (n, ε) Approximationsfaktor ρ(n, ε) Klassen an Approximationsproblemen APX (approximable) ρ = const., T polynomiell in n PTAS (polynomial time approximation scheme) ρ = 1 ± ε, bel. ε (0, 1), T poly. in n FPTAS (fully polynomial time approximation scheme) ρ = 1 ± ε, bel. ε (0, 1), T poly. in n, 1 ε NPO APX PTAS FPTAS Beispiele: T (n, ε) = n 1 ε, ρ(n, ε) = 2 T (n, ε) = n 1 ε, ρ(n, ε) = 1 ε T (n, ε) = 1 ε n, ρ(n, ε) = 1 + 2ε 3 Akhremtsev, Hespe:

5 Approximationsalgorithmen Klassen Approximationsprobleme klassifzierbar durch Laufzeit T (n, ε) Approximationsfaktor ρ(n, ε) Klassen an Approximationsproblemen APX (approximable) ρ = const., T polynomiell in n PTAS (polynomial time approximation scheme) ρ = 1 ± ε, bel. ε (0, 1), T poly. in n FPTAS (fully polynomial time approximation scheme) ρ = 1 ± ε, bel. ε (0, 1), T poly. in n, 1 ε NPO APX PTAS FPTAS Beispiele: T (n, ε) = n 1 ε, ρ(n, ε) = 2 T (n, ε) = n 1 ε, ρ(n, ε) = 1 ε T (n, ε) = 1 ε n, ρ(n, ε) = 1 + 2ε 3 Akhremtsev, Hespe: (APX)

6 Approximationsalgorithmen Klassen Approximationsprobleme klassifzierbar durch Laufzeit T (n, ε) Approximationsfaktor ρ(n, ε) Klassen an Approximationsproblemen APX (approximable) ρ = const., T polynomiell in n PTAS (polynomial time approximation scheme) ρ = 1 ± ε, bel. ε (0, 1), T poly. in n FPTAS (fully polynomial time approximation scheme) ρ = 1 ± ε, bel. ε (0, 1), T poly. in n, 1 ε NPO APX PTAS FPTAS Beispiele: T (n, ε) = n 1 ε, ρ(n, ε) = 2 T (n, ε) = n 1 ε, ρ(n, ε) = 1 ε T (n, ε) = 1 ε n, ρ(n, ε) = 1 + 2ε 3 Akhremtsev, Hespe: (APX) (PTAS)

7 Approximationsalgorithmen Klassen Approximationsprobleme klassifzierbar durch Laufzeit T (n, ε) Approximationsfaktor ρ(n, ε) Klassen an Approximationsproblemen APX (approximable) ρ = const., T polynomiell in n PTAS (polynomial time approximation scheme) ρ = 1 ± ε, bel. ε (0, 1), T poly. in n FPTAS (fully polynomial time approximation scheme) ρ = 1 ± ε, bel. ε (0, 1), T poly. in n, 1 ε NPO APX PTAS FPTAS Beispiele: T (n, ε) = n 1 ε, ρ(n, ε) = 2 T (n, ε) = n 1 ε, ρ(n, ε) = 1 ε T (n, ε) = 1 ε n, ρ(n, ε) = 1 + 2ε (FPTAS) (APX) (PTAS) 3 Akhremtsev, Hespe:

8 Scheduling unabhängiger gewichteter Jobs auf parallelen Machinen n Jobs, m Maschinen t j : Laufzeit von Job j X[j]: Maschine auf der Job j ausgeführt wird L[i]: X[j]=i t j, Last von Maschine i Zielfunktion: Minimiere Makespan L max = max i L[i] Details: Identische Machinen, unabhängige Jobs, bekannte Ausführungszeiten, offline 4 Akhremtsev, Hespe:

9 2-Approximation für Job Scheduling 1: function LISTSCHEDULING(n, m, t) 2: J {1,..., n} 3: L[1..m] [0,..., 0] 4: while J = do 5: pick any j J 6: J J \ {j} 7: pick i such that L[i] is minimized 8: X[j] i 9: L[i] L[i] + t j 10: return X 5 Akhremtsev, Hespe:

10 4 3-Approximation für Job Scheduling 1: function LARGESTPROCESSINGTIME(n, m, t) 2: J {1,..., n} 3: L[1..m] [0,..., 0] 4: while J = do 5: pick j J such that t j is maximized 6: J J \ {j} 7: pick i such that L[i] is minimized 8: X[j] i 9: L[i] L[i] + t j 10: return X 6 Akhremtsev, Hespe:

11 Fall 1: kleiner Job Sortiere Jobs so, dass t 1 t 2... t n o.b.d.a gilt: Job n wird als letztes fertig, sonst lass t n einfach weg LPT gleich, OPT evtl. besser Wir zeigen w(lpt ) 4 3 w(opt ), wenn Job n als letztes fertig wird Wenn Job n nicht als letztes fertig wird, bleibt LPT lösung gleich, OPT wird schlechter Schranke gilt immer noch w(lpt ) = Startzeit n + t n 1 m i =n t i + t n w(opt ) + t n Für t n w(opt )/3 : w(lpt ) 4 3 w(opt ) Akhremtsev, Hespe:

12 Nur große Jobs Sortiere Jobs so, dass t 1 t 2... t n Jetzt: t n > w(opt )/3 t i > w(opt )/3 für alle i Wir zeigen: LPT ist optimal Betrachte OPT : Jede Maschine i bearbeitet max. 2 Jobs i 1 und i 2 Sortiere Maschinen so, dass t i1 t j1 für i < j o.b.d.a. gilt: t i2 t j2 für i < j, sonst vertausche i 2 und j 2 LPT berechnet den gleichen Schedule (betrachte nur n > m) Wenn LPT jeder Maschine max. 2 Jobs zuweist, dann genau diesen Angenommen LPT weist einer Maschine 3 Jobs zu: n 2m es gibt Maschine mit nur einem Job k, die in OPT 2 hat Job k dauert länger als 2 andere Jobs t k > 2 OPT /3 Maschine, die k bearbeitet, kann keinen anderen Job mehr bearbeiten Akhremtsev, Hespe:

13 (NP-hart) Problemstellung Gegeben eine Menge an Punkten V in der Ebene Vollständiger Graph Kantengewichte erfüllen Dreiecks-Ungleichung Finde Kreis minimaler Länge der alle Punkte abläuft 9 Akhremtsev, Hespe:

14 3/2-Approximation (Algorithmus) (Christofides-Heuristik) Graph G = (V, E) (vollständig, ungerichtet) bestimme MST T bestimme Knoten U mit ungeradem Grad in T finde minimales perfektes Matching M auf (U, E) (alle Knoten gematcht, Summe der Gewichte der Matchingkanten minimal) füge Kanten M zu T T bestimme Eulerkreis EK auf T (alle Knoten haben geraden Grad) wandle EK zu Hamiltonkreis HK (Laufzeit durch Matching dominiert, O(n 3 )) V 10 Akhremtsev, Hespe:

15 3/2-Approximation (Algorithmus) (Christofides-Heuristik) Graph G = (V, E) (vollständig, ungerichtet) bestimme MST T bestimme Knoten U mit ungeradem Grad in T finde minimales perfektes Matching M auf (U, E) (alle Knoten gematcht, Summe der Gewichte der Matchingkanten minimal) füge Kanten M zu T T bestimme Eulerkreis EK auf T (alle Knoten haben geraden Grad) wandle EK zu Hamiltonkreis HK Länge 1 Länge 2 (Laufzeit durch Matching dominiert, O(n 3 )) 10 Akhremtsev, Hespe:

16 3/2-Approximation (Algorithmus) (Christofides-Heuristik) Graph G = (V, E) (vollständig, ungerichtet) bestimme MST T bestimme Knoten U mit ungeradem Grad in T finde minimales perfektes Matching M auf (U, E) (alle Knoten gematcht, Summe der Gewichte der Matchingkanten minimal) füge Kanten M zu T T bestimme Eulerkreis EK auf T (alle Knoten haben geraden Grad) wandle EK zu Hamiltonkreis HK (Laufzeit durch Matching dominiert, O(n 3 )) T 10 Akhremtsev, Hespe:

17 3/2-Approximation (Algorithmus) (Christofides-Heuristik) Graph G = (V, E) (vollständig, ungerichtet) bestimme MST T bestimme Knoten U mit ungeradem Grad in T finde minimales perfektes Matching M auf (U, E) (alle Knoten gematcht, Summe der Gewichte der Matchingkanten minimal) füge Kanten M zu T T bestimme Eulerkreis EK auf T (alle Knoten haben geraden Grad) U wandle EK zu Hamiltonkreis HK (Laufzeit durch Matching dominiert, O(n 3 )) T 10 Akhremtsev, Hespe:

18 3/2-Approximation (Algorithmus) (Christofides-Heuristik) Graph G = (V, E) (vollständig, ungerichtet) bestimme MST T bestimme Knoten U mit ungeradem Grad in T finde minimales perfektes Matching M auf (U, E) (alle Knoten gematcht, Summe der Gewichte der Matchingkanten minimal) füge Kanten M zu T T bestimme Eulerkreis EK auf T (alle Knoten haben geraden Grad) U wandle EK zu Hamiltonkreis HK (Laufzeit durch Matching dominiert, O(n 3 )) M 10 Akhremtsev, Hespe:

19 3/2-Approximation (Algorithmus) (Christofides-Heuristik) Graph G = (V, E) (vollständig, ungerichtet) bestimme MST T bestimme Knoten U mit ungeradem Grad in T finde minimales perfektes Matching M auf (U, E) (alle Knoten gematcht, Summe der Gewichte der Matchingkanten minimal) füge Kanten M zu T T bestimme Eulerkreis EK auf T (alle Knoten haben geraden Grad) wandle EK zu Hamiltonkreis HK (Laufzeit durch Matching dominiert, O(n 3 )) T 10 Akhremtsev, Hespe:

20 3/2-Approximation (Algorithmus) (Christofides-Heuristik) Graph G = (V, E) (vollständig, ungerichtet) bestimme MST T bestimme Knoten U mit ungeradem Grad in T finde minimales perfektes Matching M auf (U, E) (alle Knoten gematcht, Summe der Gewichte der Matchingkanten minimal) füge Kanten M zu T T bestimme Eulerkreis EK auf T 5 (alle Knoten haben geraden Grad) wandle EK zu Hamiltonkreis HK (Laufzeit durch Matching dominiert, O(n 3 )) 2 EK 3 10 Akhremtsev, Hespe:

21 3/2-Approximation (Algorithmus) (Christofides-Heuristik) Graph G = (V, E) (vollständig, ungerichtet) bestimme MST T bestimme Knoten U mit ungeradem Grad in T finde minimales perfektes Matching M auf (U, E) (alle Knoten gematcht, Summe der Gewichte der Matchingkanten minimal) füge Kanten M zu T T bestimme Eulerkreis EK auf T 5 (alle Knoten haben geraden Grad) wandle EK zu Hamiltonkreis HK (Laufzeit durch Matching dominiert, O(n 3 )) 2 HK 3 10 Akhremtsev, Hespe:

22 3/2-Approximation (Algorithmus) (Christofides-Heuristik) Graph G = (V, E) (vollständig, ungerichtet) bestimme MST T bestimme Knoten U mit ungeradem Grad in T finde minimales perfektes Matching M auf (U, E) (alle Knoten gematcht, Summe der Gewichte der Matchingkanten minimal) füge Kanten M zu T T bestimme Eulerkreis EK auf T 5 (alle Knoten haben geraden Grad) wandle EK zu Hamiltonkreis HK (Laufzeit durch Matching dominiert, O(n 3 )) 2 HK 3 Weglänge 6 10 Akhremtsev, Hespe:

23 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) 5 (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) HK 3 11 Akhremtsev, Hespe:

24 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) 5 (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) EK 3 11 Akhremtsev, Hespe:

25 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) T 11 Akhremtsev, Hespe:

26 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) T, M 11 Akhremtsev, Hespe:

27 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) T, M 11 Akhremtsev, Hespe:

28 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) OP T 11 Akhremtsev, Hespe:

29 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) OP T 11 Akhremtsev, Hespe:

30 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) U OP T 11 Akhremtsev, Hespe:

31 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) U HK 11 Akhremtsev, Hespe:

32 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) M 1 11 Akhremtsev, Hespe:

33 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) M 2 11 Akhremtsev, Hespe:

34 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) M 2 11 Akhremtsev, Hespe:

35 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) M 2 11 Akhremtsev, Hespe:

36 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) M 2 11 Akhremtsev, Hespe:

37 3/2-Approximation (Beweis) (Christofides-Heuristik) Abschätzungen: (analog zu vorherigem Beweis) w(hk ) w(ek ) = w(t ) = w(t ) + w(m) w(opt ) + w(m) Bestimmung von w(m): sei HK Hamiltonkreis auf U (U: Knoten mit ungeradem Grad in T) (erzeugt durch Überspringen aller Knoten V \ U in OPT ) definiere alternierende perfekte Matchings M 1, M 2 auf HK (existiert, da U gerade, HK = M 1 M 2 ) w(m) w(m 1 ), w(m) w(m 2 ) (M min. Matching!) 2 w(m) w(m 1 ) + w(m 2 ) = w(hk ) w(opt ) (Überspringen gerader Knoten und Dreiecks-Ungleichung) w(hk ) 3 2 w(opt ) Existiert immer perfektes Matching M? (Zeige, dass U immer gerade ist!) M 2 11 Akhremtsev, Hespe:

38 Kleine Änderung in der Definition Ein Algorithmus ALG hat einen Approximationsfaktor ρ, wenn gilt w (ALG(I)) ρ w (OPT (I)) 12 Akhremtsev, Hespe:

39 Perfekt balancierte Graphpartitionierung Teile Knoten eines Graphen G = (V, E) in k disjunkte Mengen V 1,..., V k mit V 1... V k = V auf V 1 =... = V k = V k Minimiere Anzahl Kanten, die zwischen verschiedenen Knotenmengen verlaufen (wird Schnitt genannt) NP-hart Ist nicht in Polynomialzeit mit konstantem Faktor approximierbar Reduktion von 3-Partition 13 Akhremtsev, Hespe:

40 3-Partition Gegeben n = 3k ganze Zahlen a 1, a 2..., a n und ein Wert S, so dass S 4 < a i < S 2 und n a i = ks i=1 Entscheide, ob die Zahlen in Dreiergruppen aufgeteilt werden können, die jeweils zu S aufaddieren Streng NP-vollständig Selbst noch NP-vollständig, wenn die Zahlen polynomiell in n beschränkt sind 14 Akhremtsev, Hespe:

41 3-Partition Gegeben n = 3k ganze Zahlen a 1, a 2..., a n und ein Wert S, so dass S 4 < a i < S 2 und n a i = ks i=1 Entscheide, ob die Zahlen in Dreiergruppen aufgeteilt werden können, die jeweils zu S aufaddieren Streng NP-vollständig Selbst noch NP-vollständig, wenn die Zahlen polynomiell in n beschränkt sind 14 Akhremtsev, Hespe:

42 Reduktion Gegeben eine Instanz von 3-Partition (polynomiell beschränkten Zahlen) Konstruiere Graphen G: Für jedes a i füge eine Clique der Größe a i ein. a 1 a 2 a 3 a n... Reduktion in Polynomialzeit, da Zahlen polynomiell beschränkt Wenn 3-Partition lösbar, gibt es eine perfekt balancierte Partition in k Blöcke mit Schnitt 0 Sonst wird mindestens eine Kante geschnitten Approximationsalgorithmus müsste auch Schnitt der Größe 0 finden 15 Akhremtsev, Hespe: