Optimierung I. Dr. Ulf Lorenz F2.413

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1 Optimierung I Dr. Ulf Lorenz F2.413

2 Organisation Dozent: Dr. Ulf Lorenz F2.413 Fürstenallee 11 WWW: (hier auch aktuelle Infos + Ü-Zettel) Vorlesungen: Mi 9-11 in F0.530 Übungen: Mi in F2.211, 14-tägig Abgabe der Ü-Zettel: Mi in VL oder in Kasten (Umschlag), Tür F2.413 Bachelor-Modul II.2.1, MUA, 3 Leistungspunkte Vorkenntnisse: Mathe I für Informatiker oder Lineare Algebra I Leistungsnachweis: Klausur oder mündliche Prüfung (je nach Andrang)

3 Organisation Literatur: Nemhauser/Wolsey: Integer and Combinatorial Optimization Papdimitriou/Steiglitz: Combinatorial Optimization Kolman/Beck: Elementary Linear Programming with Applications Neumann/Morlock: Operations Research Inhalte: Simplex-Algorithmus Dualitätstheorie ganzzahlige lineare Optimierung

4 Beispiel 1, Urlaubsfahrt planen: gegeben: eine Landkarte + Start + Ziel + Wohlfühlfunktion, Gütekriterium, Zielfunktion gesucht : Entscheidung für eine der möglichen Routen, abhängig von der Wohlfühlfunktion - möglichst schnell? - möglichst wenig Energie verbrauchen? - schönen Weg wählen?

5 Beispiel 2, Produktion planen: gegeben: eine Produktionsanlage, zwei mögliche Güter (Gut 1 und Gut 2) Bedingungen: (Nebenbedingungen, Beschränkungen, Restriktionen) Zielfunktion: maximiere Gewinn; Gewinne g i pro ME von Gut j = 1,2 bekannt. Güter konkurrieren um Rohstoffe verfügbare Menge Rohstoff i: b i, j = 1,2,3 benötigte Menge Rohstoff i für Produktion einer ME von Gut j gegeben durch Matrix a ij (i = 1,2,3; j = 1,2) gesucht : optimaler Produktionsplan. Hier: Entscheide, wieviel Gut 1 und wieviel Gut 2 produziert werden soll; Rohstoff 1 Gut 1: x 1 ME g 1 Gewinn/ME Rohstoff 2 Rohstoff 3 Gut 2: x 2 ME g 2 Gewinn/ME

6 Beispiel 3: Futtermischung gegeben: Sojamehl Mais Anforderung Anteil im Futter in % % 4% 14% 56% 13% 30% Futter / kg Sojamehl 0,90 Mais 0,30 Mindestmenge Futter / Tag 800 kg 0 Ballaststoffe (max) Protein (min) Futterbestandteile gesucht: Mischung, die die Nebenbedingungen erfüllt und minimale Kosten verursacht.

7 Formulierung mit Hilfe von Ungleichungen ein sogenannte Lineare Optimierungsmodell min 0,9 x s + 0,3 x m (z) so dass x s + x m 800 (a) 0,17 x s + 0,04 x m 0,14(x s +x m ) (b) 0,56 x s + 0,13 x m 0,30(x s +x m ) (c) x s, x m 0 wobei: x s Menge an Sojamehl in kg x m Menge an Mais in kg x s undx m heißen (a), (b),(c) (z) Entscheidungsvariablen Nebenbedingungen Zielfunktion

8 x s + x m 800 (a) 0,17 x s + 0,04 x m 0,14(x s +x m ) (b) 0,56 x s + 0,13 x m 0,30(x s +x m ) (c) min 0,9 x s + 0,3x m Graphische Lösung x s 1000 zulässiger Bereich (c) (b) (a) (z) bei (x s,x m )=(316,484) 0,9x s + 0,3x m = 429, x m (z) bei (x s,x m )=(0,0) 0,9x s + 0,3x m = 0

9 Was haben all diese Probleme gemeinsam? sind alle aus Komplexitätsklasse P oder NP lassen sich alle als lineares Programm, als lineares Integerprogramm oder als gemischt ganzzahliges lineares Programm formulieren/modellieren. Programme?

10 Definition 1: Problem LP (Lineares Programm in kanonischer Form) gegeben: A b c x b 1 b 2 c A x b (c 1,c 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 max

11 Definition 2: Problem IP (Integer Program in kanonischer Form) gegeben: A b c x b 1 = b 2 c A x b (c 1,c 2 ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 max

12 Definition 3: Problem MIP (Mixed Integer Program) gegeben: A b c x 1...x n1 x n1+1...x n1+n2

13 Umwandlung in kanonische Form. c T x min -c T x max

14 Die Standardform: Standardproblem (L S ) der linearen Optimierung Max. F(x) := x x A b c

15 Umwandlung von kanonischer Form in Standardform. max 0,9 x 1 0,3 x 2 so dass x 1 x ,03 x 1 0,10 x 2 0-0,26 x 1 + 0,17 x 2 0 x 1, x 2 0 n Strukturvariablen m Schlupfvariablen max 0,9 x 1 0,3 x 2 so dass x 1 x 2 + x 3 = 800 0,03 x 1 0,10 x 2 +x 4 = 0 0,26 x 1 + 0,17 x 2 +x 5 = 0 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0

16 Umwandlung von kanonischer Form in Standardform. A := (A,E), b := b, c := c, x := 0 Dann wird durch max c T x u.d.n. x 0 und Ax = b ein Optimierungsproblem in Standardform (L S ) beschrieben. Sei x eine Lösung von (L S ). Dann ist x Lösung von x c T x = ( c T, 0 T ) = c T x + 0 T x S = c T x. x S x Andererseits: Sei x Lösung von Ax -Ax+b x Dann ist x eine Lösung von (L S ): Ax = (A,E) = Ax Ax + b = b = b, -Ax+b offensichtlich ebenfalls mit c T x = c T x. Satz 1: (L K ) und (L S ) sind äquivalente Darstellungen. x x S

17 Weitere Modelle mit LP/IP, graphbasierte Probleme Problem Shortest Path: geg: gerichteter Graph G = (V,E), s,t V ges: kürzester Weg von s nach t in G. Modellierung: Kante e Variable x e {0,1} Minimiere x e e E mit x e = 1, x e = 1 e (s,v) x e - x e = 0 für alle w V \ {s,t} e (v,w) e (w,x) e (v,t) Shortest Path als IP, aber es reicht aus, x e [0,1] zu fordern. Jede optimale Lösung ist automatisch ganzzahlig (hier ohne Beweis).

18 Weitere Modelle mit LP/IP Problem Shortest Path: geg: gerichteter Graph G = (V,E), s,t V ges: kürzester Weg von s nach t in G. Beispiel: Darstellung als Ax = b u s t x (s,u) + x (s,t) = 1 x (s,t) + x (u,t) = 1 x (s,u) x (u,s) x (u,t) = 0 Knoten-Kanten-Inzidenzmatrix u A = s t (u,s) (u,t) (s,t) (s,u) Lsg: x = (0,1,0,1) T oder x = (0,0,1,0) T x u,s x u,t x s,t x s,u = 0 1-1

19 Weitere Modelle mit LP/IP Problem MaxFlow: geg: gerichteter Graph G = (V,E), s,t V und Kantenkapazitäten c e ges: ein Fluss f: E f(e) - f(e) = 0 für alle w V \ {s,t} und e (v,w) f(e) f(e) - f(e) maximal. e (s,v) e (w,x) e (v,s) Modellierung: Kante e x e [0,c e ], x e f(e) Maximiere f(e) - f(e) mit e (s,v) f(e) - f(e) = 0 für alle w V \ {s,t} und e (v,w) x e e (v,s) e (w,x)

20 Weitere Modelle mit LP/IP Problem Rucksack: geg: a 1,...,a n ; b 1,...,b n ; d Nutzen Kosten max. Kosten ges: I x I x I x i I i I n i = 1 n i = 1

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