Lineare Optimierung und ganzzahlige lineare Optimierung

Transkript

1 Definition 1: Problem LP: Lineare Optimierung und ganzzahlige lineare Optimierung geg.: m, n N, A Z m n, b Z m, c Z n ges.: x R n 0 mit c T x max Beispiel 1: (Gewinnmaximierung) Ax b Gerät Abteilung 1 Abteilung 2 Gewinn/Stück Ofen 2 Std. 1 Std. 30 Klimaanlage 1 Std. 2 Std. 50 Arbeitsleistung 8 Std/Tag 10 Std/Tag Frage: Wieviele Öfen und Klimaanlagen sollen hergestellt werden, um den Gesamtgewinn zu maximieren? Universität Paderborn PG AVESTA SS

2 Gerät Abteilung 1 Abteilung 2 Gewinn/Stück Ofen 2 Std. 1 Std. 30 Klimaanlage 1 Std. 2 Std. 50 Arbeitsleistung 8 Std/Tag 10 Std/Tag Modellierung: x 1 Öfen, x 2 Klimaanlagen. 2x 1 + x 2 8 x 1 + 2x x x 2 max LP : c = (30, 50) T «2 1 A = 1 2 b = (8, 10) T x = (x 1, x 2 ) T Maximiere c T x udn x 0 und Ax b. Universität Paderborn PG AVESTA SS

3 Graphische Lösung: 2x 1 + x 2 8, x 1 + 2x 2 10, 30x x 2 max 10 2x_1+x_2=8 8 Zulässige Lösungen liegen im 1. Quadranten links der roten Geraden Universität Paderborn PG AVESTA SS

4 Graphische Lösung: 2x 1 + x 2 8, x 1 + 2x 2 10, 30x x 2 max 10 2x_1+x_2=8 x_1+2x_2=10 Zulässige Lösungen liegen im 1. Quadranten links der roten Geraden unter der grünen Geraden Universität Paderborn PG AVESTA SS

5 Graphische Lösung: 2x 1 + x 2 8, x 1 + 2x 2 10, 30x x 2 max 10 2x_1+x_2=8 x_1+2x_2=10 8 Zulässige Lösungen liegen im magentafarbenen Polyeder Polyeder P der zulaessigen Loesungen Universität Paderborn PG AVESTA SS

6 Graphische Lösung: 2x 1 + x 2 8, x 1 + 2x 2 10, 30x x 2 max 10 2x_1+x_2=8 x_1+2x_2=10 30x_1+50x_2=500 8 Es existiert keine zulässige Lösung mit Zielfunktionswert Polyeder P der zulaessigen Loesungen Universität Paderborn PG AVESTA SS

7 Graphische Lösung: 2x 1 + x 2 8, x 1 + 2x 2 10, 30x x 2 max Verringern des Zielfunktionswertes 500 führt zum Verschieben der blauen Zielfunktionsgeraden in Richtung auf den Polyeder der zulässigen Lösungen x_1+x_2=8 x_1+2x_2=10 30x_1+50x_2=500 2 Polyeder P der zulaessigen Loesungen Universität Paderborn PG AVESTA SS

8 Graphische Lösung: 2x 1 + x 2 8, x 1 + 2x 2 10, 30x x 2 max 10 2x_1+x_2=8 x_1+2x_2=10 30x_1+50x_2=500 30x_1+50x_2=260 8 Es existiert eine zulässige Lösung mit Zielfunktionswert 260. Diese ist optimal. 6 4 Optimum = (2,4) 2 Polyeder P der zulaessigen Loesungen Universität Paderborn PG AVESTA SS

9 Geometrische Deutung (R n, +, ) mit komponentenweiser Addition und Multiplikation mit einem Skalar ist ein Vektorraum. U R n ist Unterraum, wenn U gegenüber + und abgeschlossen ist. Es gilt U ist Unterraum von R n U = {x R n Ax = 0, A R m n für ein m N}. Dann ist dim(u) = n rang(a). Für x R n, U Unterraum von R n ist ein affiner Unterraum definiert durch {x + y y U}. Es gilt U ist affiner Unterraum von R n genau dann wenn Für T R n ist U = {x R n Ax = b, A R m n, b R m für ein m N}. dim(t ) := min {dim(u)}. T U,Uaff.UR Universität Paderborn PG AVESTA SS

10 H R n mit dim(h) = n 1 heißt Hyperebene. Es ist dann H = {x R n a 1 x a n x n = b} mit a i R für alle i und mindestens einem a i 0. Jede Hyperebene H definiert zwei Halbräume H, H durch H = {x R n a 1 x a n x n b} H = {x R n a 1 x a n x n b} V R n heißt konvex, wenn für alle x, x V auch λx+(1 λ)x V für alle λ [0, 1]. Halbräume sind konvex, also ist auch ihr endlicher Durchschnitt konvex. Ist der Durchschnitt P endlich vieler Halbräume begrenzt und nicht leer, so heißt P Polyeder. ˆx P heißt Ecke von P Ist ˆx = λx + (1 λ)x, x, x P, so ist x = x = ˆx. Hyperebene H mit P H = {ˆx}. Universität Paderborn PG AVESTA SS

11 Jeder Polyeder ist die konvexe Hülle seiner Ecken. Ist V R n endlich, so ist die konvexe Hülle seiner Ecken conv(v ) ein Polyeder. Jede Ecke ˆx conv(v ) ist schon in V. Ist P = {x R n Ax b} beschränkt, so ist P ein Polyeder und eine optimale Lösung von Ax b, c T x max (Ax b, c T x min) wird an einer Ecke von P angenommen. Ist P = {x R n Ax b} unbeschränkt und ex. ein M R mit c T x M (c T x M) für alle x R n, so wird eine optimale Lösung von Ax b, c T x max (Ax b, c T x min) an einer Ecke von P angenommen. Es sei P R n m ein Polyeder. Dann ex. A Z m n, b N 0 m mit P = {x R n 0 Ax b}. Es sei A Z m n, b N m 0, c Z n mit rang(a) = m, P = {x R n 0 Ax b}, P und {c T x Ax b} ist nach oben beschränkt. Dann ist P ein Polyeder. Universität Paderborn PG AVESTA SS

12 Der LP-Löser Cplex Cplex ist ein kommerzielles Produkt zur Lösung von LPs (Cplex kann viel mehr). Binary steht unter /home-f/fg-monien/ilog/linux/cplex90/bin/i86 linux2 glibc2.2 gcc3.2/cplex Dokumentationen unter /home-f/fg-monien/ilog/doc/ Nach Aufruf können Inputs gelesen werden mit dem Kommando r <filename>. Eingabefiles in.lp-format haben eine einfache Struktur und müssen die Endung.lp haben. Nach dem Einlesen eines Problems kann durch das Kommando o die Optimierung gestartet werden. Nach der Optimierung kann man mit dem Kommando dis sol var - die Variablen der gefundenen Lösung anschauen. Notwendig vor Aufruf: setenv ILOG LICENSE FILE /home-f/fg-monien/ilog/linux/access.ilm Die Ausgabe von Cplex erscheint im Terminal und wird zusätzlich in das File cplex.log geschrieben. Universität Paderborn PG AVESTA SS

13 LP aus Beispiel 1: Inputfile LPexpl1.lp: \ Input file for cplex of Example 1 \ Maximize obj: 30 x x2 Subject To 2 x1 + x2 <= 8 x1 + 2 x2 <= 10 Bounds 0 <= x1 0 <= x2 End Universität Paderborn PG AVESTA SS

14 Ausgabe der Optimierung: CPLEX> r LPexpl1.lp Problem LPexpl1.lp read. Read time = sec. CPLEX> o Tried aggregator 1 time. No LP presolve or aggregator reductions. Presolve time = sec. Iteration log... Iteration: 1 Dual infeasibility = Iteration: 2 Dual objective = Dual - Optimal: Objective = e+02 Solution time = sec. Iterations = 2 (1) CPLEX> dis sol var - Variable Name Solution Value x x Universität Paderborn PG AVESTA SS

15 Beispiel 2: Problem MaxFlow: geg.: gerichteter Graph G = (V, E), s, t V und Kantenkapazitäten c e N für alle e E. ges.: ein Fluß f : E N 0 mit P e=(v,w) f(e) P e=(w,u) f(e) = 0 für alle w V \{s, t}, 0 f(e) c e für alle e E und P e=(s,v) f(e) P e=(v,s) f(e) maximal. Modellierung: Variablen x e [0, c e ]. Maximiere P e=(v,t) x e P e=(t,v) x e, so dass X e=(v,w) x e X e=(w,u) x e = 0 für alle w V \ {s, t}, x e 0 für alle e E, x e c e für alle e E. Universität Paderborn PG AVESTA SS

16 Bsp.: (Kapazitäten in rot) Maximize obj: fxt + fyt Subject To \ flow constraints: \ node u fsu + fvu - fuv - fux = 0 \ node v fsv + fuv + fxv - fvu - fvy = 0 \ node x fux + fyx - fxv - fxt = 0 \ node y fvy - fyx - fyt = 0 Bounds 0 <= fsu <= etc. End G s u v x y t Universität Paderborn PG AVESTA SS

17 CPLEX> r LPexpl2.lp... CPLEX> o... Dual - Optimal: Objective = e+01 Solution time = sec. Iterations = 3 (0) CPLEX> dis sol var - Variable Name Solution Value fxt fyt fsu fuv fux fsv fvy fyx All other variables in the range 1-10 are zero. G u s v x y t 4 4 Bei ganzzahligen Kapazitäten ist der Lösungsvektor f des Flussproblems auch automatisch ganzzahlig. Das gilt nicht für alle LPs. Universität Paderborn PG AVESTA SS

18 Beispiel 3: Problem Knapsack: geg.: p 1,..., p n, w 1,..., w n, d N 0. ges.: I [n], so dass P i I w i d und P i I p i maximal Bsp: d = w i p i Maximize obj: 2 x1 + 7 x2 + 4 x3 + 5 x4 + 3 x5 + 1 x6 + 6 x7 + 9 x8 + 8 x x10 Subject To 1 x1 + 2 x2 + 3 x3 + 4 x4 + 5 x5 + 6 x6 + 7 x7 + 8 x8 + 9 x x10 <= 20 Bounds 0 <= x1 <= 1... etc. End Cplex liefert eine Lösung x 1 =... = x 4 = x 8 = 1, x 10 = 0.2 mit Profit 29. Universität Paderborn PG AVESTA SS

19 Eine ganzzahlige (x i {0, 1}) optimale Lösung erhält man, wenn man im Cplex-Input vor das End die Anweisung Integers x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 setzt. Cplex liefert jetzt eine Lösung x 1 =... = x 4 = x 10 = 1 mit Profit 28. Probleme, die als LP modelliert werden können und bei denen jede optimale Lösung automatisch ganzzahlig ist gehören zur Komplexitätsklasse P. Zwar hat der Simplex-Algorithmus im schlimmsten Fall exponentielle Laufzeit, aber es gibt Polynomzeitalgorithmen zur Lösung des LP. Das Knapsack-Problem ist N P-vollständig. Unter der Voraussetzung, daß P N P muss es also Knapsack-Instanzen geben, deren Modellierung als LP keine ganzzahlige optimale Lösung hat. Universität Paderborn PG AVESTA SS

20 Definition 2: Problem IP: geg.: m, n N, A Z m n, b Z m, c Z n ges.: x N 0 n mit c T x max Ax b Das Problem IP ist N P-vollständig. Damit lassen sich theoretisch alle Probleme aus N P als IP modellieren. In der Praxis werden sehr viele Optimierungsprobleme aus N P als IP dargestellt und dann mit IP-Lösern wie Cplex bearbeitet. Universität Paderborn PG AVESTA SS

21 Universität Paderborn PG AVESTA SS

22 Ganzzahliges Optimierungsproblem: * * * Bei ganzzahligen Optimierungsproblemen liegen die zulässigen Punkte auf einem Gitter. Damit ist die Menge der zulässigen Lösungen nicht mehr konvex. * * ** * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Universität Paderborn PG AVESTA SS

23 Beispiel 4: Problem Scheduling: geg.: m Maschinen mit Geschwindigkeiten c 1,..., c m N, n Jobs mit Lasten w 1,..., w n N. ges.: Eine Abbildung S : [n] [m], so daß max j [m] 8 >< X w i c j 9 >= >: i [n] >; S(i) = j {z } Makespan min Makespan 10 Universität Paderborn PG AVESTA SS

24 Modellierung: Variablen x i,j {0, 1} mit x i,j = 1 genau dann, wenn S(i) = j: max j [m] 8 < X : i [n] w i 9 = x i,j c j ; min X j [m] x i,j = 1 i [n] Um die Maximumsfunktion aufzulösen benutzt man eine neue Variable z R 0 : X i [n] z min x i,j w i c j z j [m] X j [m] x i,j = 1 i [n] Universität Paderborn PG AVESTA SS

25 Eingabe für Cplex: Minimize z Subject To \ alle Maschinenzeiten sind kleiner oder gleich z 5 x_0_ x_1_ x_2_ x_3_0 + 2 x_4_0 - z <= 0 10 x_0_1 + 3 x_1_1 + 5 x_2_1 + 7 x_3_1 + 4 x_4_1 - z <= 0 \ jeder Job wird genau einmal plaziert x_0_0 + x_0_1 = 1... x_4_0 + x_4_1 = 1 Bounds \ x_i_j sind 0,1 - Variablen 0 <= x_0_0 <= <= x_4_0 <= 1 Integers \ x_i_j sind ganzzahlig x_0_0... x_4_0 End Universität Paderborn PG AVESTA SS

26 Problem NashScheduling: geg.: m Maschinen mit Geschwindigkeiten c 1,..., c m, n Jobs mit (normierten) Laufzeiten w 1,..., w n. ges.: Eine Zuweisung der Jobs auf die Maschinen mit minimalem Makespan, unter der Bedingung daß kein Job seine Rechenzeit durch Auswahl einer anderen Maschine verbessern kann, solange alle anderen Jobs bei ihrer Wahl bleiben. geg.: mn, N, c 1,..., c m, w 1,..., w n N. ges.: z R 0, x {0, 1} [n] [m] mit z min, so daß P j [m] x ij = 1 für alle i [n] P w i i [n] c x ij z für alle j [m] j M (x i,j 1) + P n w k k=1 c x k,j P n w k j k=1 c x j k,j + w i c j für alle i [n], j, j [m], j j. wobei M eine Konstante ist, die groß genug ist, d.h. z.b. M = P i,j w i c j. Universität Paderborn PG AVESTA SS

27 Beispiel 5: Und nun noch ein Beispiel aus dem richtigen Leben: Der Kreisverband des FuLV Westfalen, Kreis Lippe, wollte für D-Juniorenmannschaften eine Hallenkreismeisterschaft ausrichten lassen. Die Ausrichtung wurde vom Verein FC Fortuna Schlangen übernommen. Es wurden 9 Mannschaften gemeldet, die Gemeinde Schlangen stellte an 4 Samstagen eine Sporthalle zur Verfügung. An diesen 4 Spieltagen musste jede Mannschaft einmal gegen jede andere Mannschaft spielen. Wie sollten die Spiele auf die 4 Spieltage verteilt werden? Wie generiert man einen Spielplan für eine Liga mit n Mannschaften? Universität Paderborn PG AVESTA SS

28 Um ein Schedule für n Mannschaften zu generieren, in dem jede Mannschaft genau einmal gegen jede andere Mannschaft spielt, gibt es einen einfachen Algorithmus: Mannschaft 1 bleibt immer an ihrem Platz, die anderen Mannschaften rotieren im Uhrzeigersinn usw. Es ist leicht zu zeigen, daß die Menge der Spielpaarungen nach allen Rotationen (inklusive der 0-ten) einen zulässigen Spielplan generiert. Jede Mannschaft hat an jedem Spieltag dieses Spielplanes genau ein Spiel. Wie kümmern uns hier nicht um die Frage, welche Mannschaften zuhause und welche auswärts spielen. Universität Paderborn PG AVESTA SS

29 1. Lösungsansatz für die Hallenkreismeisterschaft: Standardspielplan für 10 Mannschaften: Jetzt löschen wir die Spiele gegen 0 (= spielfrei) und verteilen die restlichen Spiele auf 4 Spieltage: Es ergeben sich einige unschöne Eigenschaften: so muss Mannschaft 9 am ersten Spieltag z.b. schon früh morgens anreisen, hat insgesamt 3 Spiele und davon ist eines auch noch das letzte des Tages. Dafür reist Mannschaft 9 am 2. Spieltag für ein einziges Spiel an, usw. Im Originalspielplan des Kreises mussten einige Mannschaften sagor zwei Spiele hintereinander spielen, hatten dann aber teilweise lange Pausen um auf ihr letztes Spiel des Tages zu warten. Das Resultat waren unzufriedene Trainer und unzufriedene Eltern. Universität Paderborn PG AVESTA SS

30 Optimierungsansatz: Wir benutzen 0, 1-Variablen x i,j,k,s mit der Bedeutung x i,j,k,s = 1 genau dann wenn Mannschaft i [n] gegen Mannschaft j [n] am Spieltag k [K] das Spiel s [S] spielt. Bedingungen: Jede Paarung wird genau einmal gespielt: X X x i,j,k,s = 1 i, j, j > i In jedem Slot wird höchstens ein Spiel gespielt: k s X X x i,j,k,s = 1 k, s i j Universität Paderborn PG AVESTA SS

31 Jedes Team spielt pro Tag mindestens n 1 und höchstens n 1 Spiele: X X n 1 x i,j,k,s, k j i s k X X ı n 1 x i,j,k,s k j i s Keine Mannschaft spielt zweimal hintereinander: x i,j,k,s + x i,j,k,s+1 1 i, j, j, k, s Zähle die Anzahl der Pausen der Länge p in zusätzlichen 0, 1-Variablen z i,k,s,p : k x i,j,k,s x i,j,k,s+p + z i,k,s,p 1, i, j, k, s, p Bestrafe Pausen der Länge p in der Zielfunktion mit Gewicht w p : X X X X w p z i,k,s,p min i k s p Universität Paderborn PG AVESTA SS

32 Beachte: z i,j,k,s,p = 1 heißt nicht, dass Mannschaft i am Tag k zwischen Spiel s und Spiel s+p immer frei hat (diese Bedingungen können auch linear beschrieben werden, sind aber komplexer), sondern nur, daß Mannschaft i Spiel s und Spiel s + p am Spieltag k spielen muss. Es ergab sich der folgende Spielplan: In dem optimierten Spielplan mussten an allen vier Spieltagen nur 4 Mannschaften (1,2,6,8) jeweils einmal eine Pause von 3 Spielen abwarten, traten 16 Spielpausen der Länge 2 und 16 Spielpausen der Länge 1 (bevorzugt) auf, spielte jede Mannschaft an jedem Spieltag genau 2 Spiele. Fazit: a) Optimierung hat echte Anwendungen in der Praxis! b) Kenntnisse über Optimierungsverfahren sind eine Grundvoraussetzung, um Optimierungspotenzial erkennen bzw. zu berechnen. Universität Paderborn PG AVESTA SS