Eine kurze Beschreibung zu AMPL und CPLEX

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1 Welchen Kuchen backt Bernd Brezel? Lineare Optimierung Eine kurze Beschreibung zu AMPL und CPLEX Prof. Dr. Andrea Walther Institut für Mathematik Universität Paderborn 1

2 1 Das allgemeines Vorgehen Zur Modellierung und Optimierung mit AMPL muss die zu lösende Aufgabe erst in der Modellierungssprache AMPL beschrieben werden. Anschließend erfolgt der Aufruf eines passenden Lösers sowie die Ausgabe der berechneten Daten. Damit ergibt sich das folgende prinzipielle Vorgehen: 1. Einlesen des Modells und der Daten 2. Lösen der Aufgabe 3. Ausgeben von Daten 4. Ggf. Verändern von Optionen Dies kann z.b. direkt auf der Kommandozeile erfolgen. Bei größeren Aufgabenstellungen ist dies jedoch sehr aufwändig. Deswegen verwendet man dann Dateien, um das Modell und ggf. auch die Daten zu beschreiben. Bei der Verwendung einer Modelldatei geht man folgendermaßen vor: Verwenden einer Modelldatei 1. Modellbeschreibung verfassen Modelldatei prob.mod erstellen 2. Einlesen des Modells in das AMPL-System, z.b. mit der Eingabe model ws lin opt/aufgabe1.mod 3. Lösen der Aufgabe mit der Eingabe solve; Verwenden einer Modell- und Datendatei Die Aufgabenstellungen, die wir betrachten, haben immer die Struktur max c 1 x 1 + c 2 x c n x n so, dass a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m x 1, x 2,..., x n 0 Deswegen bietet sich folgendes Vorgehen an: 1. Modellbeschreibung verfassen Modelldatei prob.mod erstellen möglichst allgemein für unsere Aufgabenklasse 2. Angabe der konkreten Daten c 1, c 2,... c n, b 1, b 2,... b m und a 11, a 12,..., a nm in einer Datendatei prob.dat. 2

3 3. Einlesen des Modells in das AMPL-System, z.b. mit der Eingabe model ws lin opt/aufgabe4a.mod 4. Einlesen der Daten in das AMPL-System, z.b. mit der Eingabe data ws lin opt/aufgabe4a.dat 5. Lösen der Aufgabe mit der Eingabe solve; 2 Bestandteile der Modellierung Die wichtigesten Hilfsmittel zur Modellierung einer Aufgabe sind: Indexmengen: set Diese bestimmen z.b. wieviele Variablen oder wieviele Nebenbedingungen es gibt. Muss man nicht immer verwenden (siehe aufgabe1.mod), kann man aber (siehe aufgabe 4a.mod). Parameter: param Die Parameter geben Werte an, die während der Lösung der Optimierungsaufgabe nicht verändert werden, also konstant sind. Muss man nicht immer verwenden (siehe aufgabe1.mod), kann man aber (siehe aufgabe 4a.mod). Variable: var Die Werte dieser Größen sollen durch die Optimierung bestimmt werden. Braucht man immer. Die Zielfunktion: maximize oder minimize Beides ist möglich, d.h. die Zielfunktion muss nicht in die Standardform vorliegen. Braucht man immer. Nebenbedingungen: subject to Es können Ungleichungs- oder Gleichungsnebenbedingungen mit, oder = genutzt werden. Also auch hier muss man die Nebenbedingungen nicht in die Standardform bringen. Braucht man für die hier betrachtete Aufgabenklasse auch immer. 3 Die Modelldatei Die Modelldatei prob.mod besitzt im allgemeinen die folgende Gestalt: set set name 1; set set name 2; 3

4 . set set name n; param param name 1; param param name 2{setname 1}>= 0; param param name 3{setname 1}>= 0; param param name 4{setname 2}>= 0; param param name 5{setname 1,setname n}> 0; var var name 1 >= 0, integer ; var var name 2{setname 1} >= 0 ; maximize obj name : ausdruck; oder minimize obj name : ausdruck; subject to nb name 1 : ausdruck; subject to nb name 2{i in setname 1} : ausdruck(i); Die Farben haben dabei die Bedeutung: = Bezeichner von AMPL, d.h. Schlüsselwörter, und vorgeschriebene Zeichen = Nutzer-definierte Bezeichner bestehend aus Buchstaben, Ziffern und dem Unterstrich Groß- und Kleinschreibung wird unterschieden = optionale Bedingungen = Formeln oder Werte Bemerkung: Für die von uns betrachtete Aufgabenklassen reichen eigentlich einige wenige Modelldateien aus. Im Idealfall muss dann nur eine entsprechende Datendatei neu geschrieben werden! 4 Die Datendatei Die Datei prob.mod zur Angabe der Daten besitzt im allgemeinen die folgende Gestalt: set set name 1:= elem 11 elem 12;. set set name n:= elem n1 elem n2... elem nm; 4

5 param param name 1:= wert; param : param name 2 param name 3:= elem 11 wert1 2 wert1 3 elem 12 wert2 2 wert2 3; param : set name 2 : param name 4 := elem 21 wert1 4 elem 22 wert2 4. elem 2p wertp 4 ; param param name 5: elem n1 elem n2 elem nm := elem 11 wert11 wert12 wert1m elem 12 wert21 wert22 wert2m ; oder param param name 5(tr) : elem 11 elem 12 := elem n1 wert11 wert21 elem n2 wert12 wert22... elem nm wert1m wert2m ; Die Farben haben dabei die gleiche Bedeutung wie in Abschnitt 3. 5 Weitere Details 5.1 Variable Direkt bei der Einführung von Variablen können bereits Einschränkungen angegeben werden. So bedeutet die Angabe var x1 >=0, <=5; dass die Variable x1 reellwertig ist und Werte zwischen 0 und 5 annehmen kann. Der Befehl var x1 >=0, integer; bedeutet, dass die Variable x1 ganzzahlig und Werte größer gleich Null annehmen kann. Mit var x1 binary; gibt man an, dass für x1 nur die Wert 0 oder 1 zulässig sind. 5.2 Parameter Zuweisung an zwei-dimensionale Parameter Definiert wurden in der Model-Datei: set fabrik; 5

6 set markt; param kosten{fabrik,markt}; In der Daten-Datei wurden die sets mit Werten belegt: set fabirk := DD C L; set markt := DD MEI PIR ERF L C; Man kann dann den Parameter kosten wie folgt mit Werten belegen: 1. Möglichkeit: Standardvariant param kosten : DD MEI PIR ERF L C := DD C L ; 2. Möglichkeit: Transponiert param kosten (tr) : DD C L := DD MEI PIR ERF L C ; 3. Möglichkeit: Komponentenweise param kosten := [ DD, ] DD 2 MEI 10 PIR 8 ERF 50 L 40 C 30 [ C, ] DD 23 MEI 16 PIR 25 ERF 24 L 10 C 3 [ L, ] DD 35 MEI 20 PIR 38 ERF 11 L 4 C 15 ; Höher-dimensionale Parameter: Zusätzlich wurde in der Modell-Datei definiert: set artikel; param trans{fabrik, markt, artikel}; In der Daten-Datei erfolgt die Zuweisung: set artikel := Stuehle Tische; Man kann dann den Parameter trans wie folgt mit Werten belegen: param kosten default := [*,*,Stuehle]: DD MEI PIR ERF L C DD C L [*,*,Tische]: DD MEI PIR ERF L C DD L ; 6

7 5.3 Ausdrücke Folgende arithmetische Operatoren stehen in AMPL zur Verfügung: Operatoren Bemerkungen: + / div mod div für ganzzahlige Division, mod als Rest-Operator ˆ zum Bilden von Potenzen sum prod min max Beispiele: sum{i in artikel} x[i] prod{i in artikel, j in preis} x[p,i] max{i in artikel} nachfrage[i] Außerdem können die nachstehenden Funktionen genutzt werden: Funktion Funktion abs(x) floor (x) entspricht x acos(x) log(x) Logarithmus zur Basis e acosh(x) log10(x) asin(x) max(x,y,...) asinh(x) min(x,y,...) atan(x) sin(x) atan2(y,x) sinh(x) atanh(x) sqrt(x) ceil(y,x) entspricht x tan(x) cos(x) tanh(x) exp(x) 5.4 Set-Operationen Besteht ein set aus Zahlen, ist die Verwendung von + und im Index erlaubt. Beispiel: im Modell: set jahre; param inv{jahre}; in den Daten: set jahre := ; Dann darf inv[t 1] und inv[t+1] verwendet werden Operationen mit Sets: 7

8 A union B = A B Ergebnis: set A inter B = A B Ergebnis: set A diff B = A \ B Ergebnis: set A symdiff B = A B \ A B Ergebnis: set elem in B = elem B Ergebnis: wahr/falsch A within B = A B Ergebnis: wahr/falsch elem not in B = A B Ergebnis: wahr/falsch A not within B = A B Ergebnis: wahr/falsch card(a) = # A Bedingte Zuweisungen: Beispiele: set nut req := { i in nut: nut min[i] > 0 }; display { i in nut: buy[i] > buy min[i] }; Geordnete sets: Im Modell: set wochen ordered; in den Daten: set wochen:=3nov03 10Nov03 17Nov03 24Nov03; Dann kann man folgende set-operationen verwenden: first(wochen) last(wochen) member(wochen,3) prev(t,wochen) next(t,wochen) prevw(t,wochen) nextw(t,wochen) ord(t,wochen) liefert drittes Element liefert Vorgänger von t im set wochen liefert Nachfolger von t im set wochen liefert Vorgänger von t im set wochen, Vorgänger des ersten Elements ist das letzte Element liefert Nachfolger von t im set wochen Nachfolger des letzten Elements ist das erste Element liefert Position von t im set wochen Ist der Wertebereich von t klar, kann der geordnete set als Argument wegfallen. Beispiel: subject to balance {p in prod, t in wochen : ord(t) > 1}: angebot[p,t] + lager[p,prev(t)] = nachfrage[p.t] + lager[p,t]; Kreisförmige sets: Im Modell: set tage circular; in den Daten: set tage:=montag Dienstag Mittwoch Donnerstag Freitag Samstag Sonntag; Alle set-operationen von Geordneten-sets können verwendet werden. Dazu funktionieren prev(t,tage) und next(t,tage) genauso wie prevw(t,tage) und nextw(t,tage). 8