Modelle und Methoden der Linearen Optimierung (Die Thesen zur Vorlesung 1)

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1 (Die Thesen zur Vorlesung 1) das Thema der Vorlesung Grundlagen der Methode der linearen Optimierung (Grundlegende Annahmen der linearen Programmierung) Prof. Dr. Michal Fendek Institut für Operations Research und Ökonometrie Wirtschaftsuniversität Bratislava Dolnozemská Bratislava, Slowakei Universität Hamburg - Oktober 2004

2 Gliederung der Vorlesungen A. Grundlagen der Methode der linearen Optimierung - Das lineare Optimierungsproblem - Grundlegende Annahmen der linearen Programmierung - Die analytische Formulation der linearen Optimierungsaufgabe - Graphische Darstellung der Lösung des linearen Optimierungsproblems B. Lösung der linearen Programmierungsprobleme: Das Simplexverfahren - Das Grundprinzip der Simlexmethode - Der Simplexalgorithmus - Das allgemeine lineare Programm und Sonderfälle der Lösung - Duale Optimierungsprobleme - Wirtschaftliche Interpretation der Dualität in der linearen Optimierungsaufgabe Fallstudie 1: Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens Folie Nr.:2

3 Gliederung der Vorlesungen C. Ganzzahlige Lineare Optimierung - Problemstellung - Modelierungsmöglichkeiten mit ganzzahligen Variablen - Modelierungsmöglichkeiten mit binären Variablen - Das Branch and Bound Algorithmus zur ganzzahligen Programmierung Fallstudie 2: Das Modell für Lineare Optimmierung der Fertigungsstrategie des Unternehmens - Gewinnmaximierung (ganzzahlig) Fallstudie 3: Optimierung der Investitionsexpansion und der Produktionsstrategien der expandierenden Divisionen des Konzerns Folie Nr.:3

4 Gliederung der Vorlesungen D. Verfahren zur Lösung des Transportproblems - Allgemeine Darstellung des klassischen Transportproblems - Beispiel zum klassischen Transportproblem - Matematische Formulierung der Optmierungsaufgabe des Transportproblems - Lösungsalgorithmen zum Transportproblem Fallstudie 4: Das Modell der Minimalisierung der Transportkosten des Transportunternehmens Folie Nr.:4

5 Gliederung der Vorlesungen E. Die Anwendung der Methoden der Mehrkriterienoptimierung bei der Lösung der ökonomischen Entscheidungsprobleme - Methodologische Aspekte der Konstruktion des Modells für die Mehrkriterien-optimierung bei der Lösung der ökonomischen Entscheidungsprobleme. - Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Grundlagen der Methode der lexikographischen Zieloptimierung - Mathematisches Modell eines Jahresproduktionsplanes - Programmsysteme für die Lösung von großen Problemen der lexikographischen Zieloptimierung Fallstudie 5: Die Anwendung der Methoden der Mehrkriterienoptimierung in Produktions-plannungsmodell des Unternehmens Folie Nr.:5

6 Gliederung der Vorlesungen Literaturhinweise: Dantzig, G.B.: Linear Programming. Springer Verlag, New York Fendek, M.: Nelineárne optimalizacné modely a metódy, Ekonóm, Bratislava Hillier, F.S./Lieberman, G.J.: Operations Research, 5. Auflage, R. Oldenbourg Verlag, Nemhauser, G.L. - Todd, M.J.: Optimization. North-Holland Publishing Company, Amsterdam Williams, H.P.: Model Building in Mathematical Programming. John Wiley and Sons, London Klausurtermin: Mittwoch, / Uhr Folie Nr.:6

7 Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung Allgemeine Struktur des Pozesses der Lösung der Witschaftsentscheidungsprobleme mit der quantitativen Modellen und Methoden Gesamtes Prozeß hat 4 Phasen 1. Phase: Konstruktion eines ökomisch-matematischen Modells für die Anwendung der Methoden des Operations Research Folie Nr.:7

8 Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung 2. Phase: Vorbereitung der Datenbasis für Konstruktion das ökomisch-matematische Modell Probleme bei der Datenbereitstellung hängen nicht nur mit einen Informationsmangel zusammen, sondern auch mit den Möglichkeiten der Nutzung vorhandener Daten. Eine positive Rolle bei der Lösung dieses Problems spielte die Rechentechnik, die die Vorauszetzungen für das Entstehen von Datenbanken und anderen Informationsystemen geschaffen hat. Dadurch gibt es heute gute Voraussetzungen für die Bereitstellung realer Daten für ökonomisch-mathematische Modelle. Folie Nr.:8

9 Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung 3. Phase: Auf Grund des ökomisch-matematischen Modells und auf Grund des Charakters der Datenbasis eine mathematische Enscheidungsaufgabe zu definieren Lineare Optimierung Nichtlineare Optimierung Ganzzahlige und bivalente Optimierung Dynamische Optimierung Stochastische Optimierung Netzwerkanalyse Spieltheorie Input Output Analyse Simulation Wartenschlagentheorie Lagerhaltungstheorie Prognosenverfahren Folie Nr.:9

10 Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung Phase 4: Die Lösung des mathematischen Entscheidungsproblems mit der konkreten Methode des Operations Research? In dieser Phase spielt wichtige Rolle die Rechentechnik? Die begrenzten Möglichkeiten der Rechentechnilk und ihrer Software? In der Vergangenheit konnte der Mengel an Rechentechnik sowie ihre ungenügenden Parameter die Möglichkeiten der Anwendung ökonomischmathematischer Modelle beeinflussen. Wir können zum Beispiel diese Aspekte einführen: zu geringe Speichergröße, oder niedrige Rechengeschwindigkeit der Computer. Gegenwärtig hat sich die Schwerpunkt der Probleme schon vor allem in dem Bereich der Softwarebereitstellung verschoben. Die Entwicklung in diesem Bereich geht von den Einzweckprogrammen zu universellen Programmsystemen, z. b. SOLVER FOR EXCELL, MINOS, GAMS Folie Nr.:10

11 Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens Wir werden ein Unternehmen untersuchen. Das Unternehmen hat in seinem Produktionsprogramm fünf Produkte P 1, P 2, P 3, P 4 a P 5,. Für die Erzeugung diese fünf Produkte die Firma benutzt 3 Produktionsfaktoren. Folie Nr.:11

12 Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens Disposition des Modells: a) Wir haben zur Verfügung: die Angaben über die Verbrauchsnormen der Produktionsfaktoren für die einzelne Produkte des Produktionsprogramms a i, i = 1, 2, 3; = 1, 2,..., 5 die Angaben über die verfügbare Menge der Produktionsfaktoren b i, i = 1, 2, 3 die Angaben über die Preise p und die gesamte Produktionskosten k der einzelnen Produkte des Produktionsprogramms, = 1, 2,..., 5 Diese Angaben über das Produktionsprogramm des Unternehmens sind in Tabelle 1 präsentiert. Folie Nr.:12

13 Tabelle 1. Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens Produktionsfaktor Verbrauchsnormen der Produktionsfaktoren P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 verfügbare Menge der Produktionsfaktoren F F F Individuelle Produktionskapazitäten der Maschine % Staatliche Bestellung Export Preis Gesamtkosten Gewinn Folie Nr.:13

14 Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens b) Zwischen dem Produktionsumfang der einzelnen Produkte auf der einen Seite und zwischen dem Verbrauch der Produktionsfaktoren, dem Erlös aus dem Verkauf der Produkte und der Gesamtkosten der Produktion auf der anderen Seite gilt die Beziehung der linearen Abhängigkeit. c) Das Unternehmen benutzt bei der Erzeugung seine Produkte eine Produktionsanlage (die Maschine, die Herstellungslinie, bzw. Fertigungsstraße) mit der beschränkten Kapazität, dabei wir kennen die Produktionskapazitäten der Maschine für die individuelle Erzeugung der einzelnen Erzeugnisse. Folie Nr.:14

15 Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens d) Auf Grund der Marketinguntersuchung des Markts hat die Firma folgende Informationen über die realen Möglichkeiten des Verkaufs ihrer Produkte: - der Produktionsumfang der einzelnen Produkte P 1, P 2, die sind für den inländisschen, bzw. heimischen Markt hergestellt, - der Produktionsumfang der einzelnen Produkte P 3, P 4, die sind für den ausländischen Markt hergestellt, - der Produktionsumfang des Produkts P 5, der ist für die staatliche Bestellung hergestellt. Folie Nr.:15

16 Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens Aufgabe: Bestimmen Sie die optimale Produktionsstrategie des Unternehmens bei der Erfüllung folgende Anforderungen: a) Das Ziel des Unternehmen ist es, bei gegebenen Bedingungen eine Produktionsstrategie zu ermitteln, bei der das Unternehmen den maximal Gewinn erreicht. b) Der Verbrauch edes Produktionsfaktors ist kleiner oder gleich seiner Kapazität, bzw. seine verfügbare Menge, c) Die Produktionskapazität der Maschine wird zu 100% benutzt, d) Die Produktionsstrategie wird die Resultäte der Marketingforschung des Unternehmens akzeptiert.. Folie Nr.:16

17 Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens Lösung Für die Bestimmung der optimalen Produktionsstrategie des Unternehmens wir benutzen das linerae Optimierungsproblem in der folgenden Form: f(x) = n =1 unter den Bedingungen n =1 a i x D c x x {,,=} bi min = 1, K,n i =, K,m (1) (2) (3) wo m Zahl der Nebenbedingungen des Problems, n Zahl der Variablen des Problems, c Koeffizienten der Zielfunktion, =1,...,n, b i Koeffizienten der rechten Seite, i=1,...,m, a i Koeffizienten der Matrix des Systems der Nebenbedingungnen, i=1,...,m, =1,...,n, x - Entscheidungsvariablen, =1,...,n, D Die Menge der zulässigen Werte der einzelnen Entscheidungsvariablen, =1,...,n. Folie Nr.:17

18 Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens Beispiel - Die analytische Formulierung des linearen Optimierungsproblems f ( x, x2, K, x5) = 3x1 + 2x2 + 4x3 + 5x4 + 5x5 1 max unter den Nebenbedingungen 1x + 2x2 + 3x3 + 7x4 + 2x5 1 2x + 5x2 + 2x3 2x4 + 3x x 1x2 + 2x3 + 11x4 1x x + x2 + x3 + x4 + x = 0 x 40, 0 x2 x, x x 5 = Folie Nr.:18

19 Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung Allgemeine Formulierung des lineraen Optimierungsproblems f(x) = c x unter den Bedingungen x n =1 a i x D n =1 min {,,=} b = 1, K,n i i =, K,m (1) (2) (3) wo die Beziehungen (1), (2), (3) haben folgende Bedeutung (1) die Ziefunktion des linearen Optimerungsaproblems f (x) = c x + c x + L+ c x n n (2) das System der funktionalen, bzw. strukturelen Nebenbedingungen des linearen Optimerungsproblems mit, oder Ungleichungen, bzw. = Gleichungen Folie Nr.:19

20 Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung Nebenbedingungn in Ungleichungsform a x + a x + L+ a x b für einige a i 1 1 i2 2 in n i i 1x1 + ai2x2 + L+ ainxn bi für einige i i Nebenbedingungn in Gleichungsform ai 1 x1 + ai2x2 + L+ ainxn = bi für einige i (3) das System der trivialen Nebenbedingungen, die für ede Entscheidungsvariable x D für = 1, K n, die Menge der zulässigen Werte definieren, wobei die Menge D kann z.b. folgende Form hat = 0; ) für einige D D D D etc. = u = = ; o für einige ; u untere Grenze, o 0; ) ganzzahlig für einige 0,1 für einige { } obere Grenze Folie Nr.:20

21 Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung In diesem Teil der Vorlesungen wir werden uns ausschließlich mit der linearen Optimierungproblemen mit nichtnegativen Entscheidungsvariablen beshäftigen. Es bedeutet, daß für alle Entscheidungsvariablen gilt: x D = 0; ) für Allgemeine Formulierung des lineraen Optimierungsproblems dann hat folgende Form n f(x) = c x min unter den Bedingungen =1 (1) n =1 x a i x {,,=} b 0 = 1, K,n i i =, K,m (2) (3) Folie Nr.:21