Modelle und Methoden der Linearen Optimierung (Die Thesen zur Vorlesung 4)

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1 Modelle und Methoden der Linearen Optimierung (Die Thesen zur Vorlesung 4) das Thema der Vorlesung Die Anwendung der Methoden der Mehrkriterienoptimierung bei der Lösung der ökonomischen Entscheidungsprobleme Prof. Dr. Michal Fendek Institut für Operations Research und Ökonometrie Wirtschaftsuniversität Bratislava Dolnozemská Bratislava, Slowakei Universität Hamburg - November 004

2 (leikographische) Zieloptimierung Ziele dervorlesung: In der Vorlesung wird man basische Kenntnisse aus dem Bereich der Mehrkriterienoptimierungstheorie präsentieren. Auf einem kleinen hypothetischen Beispiel aus dem Bereich der Optimierung der Produktionsstrategie des Unternehmens wird die Differenz zwischen dem Begriff die optimale Lösung und die Pareto - optimale Lösung, bzw. die effektive Lösung erklärt. Erklären sich ausgewählte numerische und graphische Methoden für die Lösung der Mehrkriterienoptimierungsmodelle. Folie Nr.:

3 (leikographische) Zieloptimierung Allgemeine Formulierung des Mehrkriterienoptimierungsmodell f p ()= n j= c et unter den Bedingungen n j= j a ij 0 p j j j p {,,=} b j =, K,n { min, ma} p =, K, k () i i =, K,m () (3) wo k Zahl der Zielfunktionen des Problems, m Zahl der Nebenbedingungen des Problems, n Zahl der Variablen des Problems, c j p Koeffizienten der p-ten Zielfunktion, j=,...,n, p=,...,k b i Koeffizienten der rechten Seite, i=,...,m, a ij Koeffizienten der Matri des Systems der Nebenbedingungen, Nebenbedingungen, i=,...,m, j=,...,n, j - Entscheidungsvariablen, j=,...,n Folie Nr.:3

4 (leikographische) Zieloptimierung Beispiel (aus der Vorlesung ) BEKÜRZTE DISPOSITION: Unternehmen kann zwei Produkte herstellen Für die Fertigung einer Mengeneinheit des Produktes P werden benötigt: 3 Maschinenstunden von Maschine M und 3 Mengeneinheiten des Rohstoffes R Für die Fertigung einer Mengeneinheit des Produktes P werden benötigt: Maschinenstunden von Maschine M und 5 Mengeneinheiten des Rohstoffes R Maschine M hat Kapazität 00 Stunden Aus des Rohstoffes R ist 500 Einheiten zur Verfügung Die Marketingabteilung des Unternehmens hat eine Marktanalyse gemacht und jetzt sie wissen, daß sie auf den Markt maimal 00 Stücke des Produktes P plazieren können. Folie Nr.:4

5 (leikographische)zieloptimierung Das Unternehmen muß bei seiner Entscheidung über die optimale Produktionsstrategie zwei Ziele verfolgen: Ziel : Das Unternehmen will den maimalen Gesamterlös erreichen. Die Marktpreise der Produkte sind p = 80 Geldeinheiten pro Stück p = 00 Geldeinheiten pro Stück Ziel : Das Unternehmen hat ein eminentes Interesse der Anzahl der Arbeiter im Produktionsprozeß zu erhöhen. Deshalb das zweite Ziel des Unternehmens ist auch die Gesamtanwendung der Arbeitskraft maimieren. Für die Fertigung einer Mengeneinheit des Produkts P, bzw. P werden benötigt 00 Arbeitsstunden für das Produkt P und 50 Arbeitsstunden für das Produkt P Folie Nr.:5

6 (leikographische)zieloptimierung Für dieses Produktionsplanungsproblem wir können folgende mathematische Mehrkriterienoptimierungsmodell (MOP) formulieren: Die Zielfunktionen f f (, ) = (, ) = ma ma Unter den Nebenbedingungen (MOP) 3 3 5, Folie Nr.:6

7 (leikographische) Zieloptimierung Maschinenkapazität Isoerlöslinie f = Rohstoffbeschränkung MOPO =(66,6;00) f ( )=66630=f * f ( )=33304 =(333,3;00) f ( )=36664=f * f ( )=58330 Marketingbeschränkung Produkt 300 f f NB NB NB f f D Produkt Isoarbeitskraftlinie f =0 Folie Nr.:7

8 (leikographische) Zieloptimierung Aus diese Lösungen zwei Einkriterienoptimierungsprobleme, die hatten verschiedene optimale Lösungen, wir können sehen, daß es nicht einfach muß sein, die gemeinsame Lösung dieses Zweikriterienoptimierungsproblems zu finden. Wenn ich wäre ein Manager unseres Unternehmens und meine kurzfristige Priorität wäre der höchste Erlös erreichen, dann ich werde ganz bestimmt die basische Lösung in dem Gipfel akzeptieren. Aber wenn mein Interesse ist in der ersten Linie hohe Anwendung der Arbeitskraft in Unternehmen zu erlangen, dann ich werde natürlich die Lösung im Gipfel auswählen. Aber beide diese Alternative sind die Grenzsituationen. In realem Entscheidungsprozeß sind für uns aber diese Grenzalternativen, bzw. optimale Lösungen für einzelne Zielfunktionen praktisch unannehmbar. Folie Nr.:8

9 (leikographische) Zieloptimierung Wie können wir eigentlich nur eine gemeinsame Lösung für diese zwei Zielfunktionen finden? Und was für eine Eigenschaft muß solche gemeinsame Lösung haben? Kucken wir noch einmal achtsam auf graphische Darstellung der Lösung unseres Optimierungsproblems. Auf Abbildung wir haben außerdem zwei partiellen optimalen Lösungen, noch drei weitere zulässige Lösungen 3, 4, 5 dargestellt. Folie Nr.:9

10 (leikographische) Zieloptimierung =(66,6;00) f ( )= f ( )=66 630=f * MOPO 4 =(0;00) f ( 4 )=0 000 f ( 4 )= =(00;80) f ( 3 )= f ( 3 )= Produkt =(00;00) f ( 5 )=0 800 f ( 5 )=6 000 =(333,3;00) f ( )=36 664=f * f ( )= f f NB NB NB3 00 D MEL Produkt Folie Nr.:0

11 (leikographische) Zieloptimierung Wir werden jetzt untersuchen der Änderungen der Werte beider Zielfunktionen bei der Verschiebung zwischen einzelnen zulässigen Lösungen. Beginnen wir mit dem Punkt 5 = (00,00). (Bemerken wir nur, daß dieser Punkt ein innerer Punkt der Menge der zulässigen Lösungen ist. ) Wir sehen, zu diesem Punkt andere Punkte eistieren, in den beide Zielfunktionen schlechtere Werte haben, z. B. Punkt (0,0), aber zugleich eistieren auch Punkte, in den beide Zielfunktionen bessere Werte haben, z. B. Punkt 3 =(00,80). Ähnliche Eigenschaft hat auch weitere zulässige Lösung unseres Optimierungsproblems und zwar Punkt 4 = (0,00). Zu dieser Lösung ist aus dem Aspekt der Werte der Zielfunktionen besser z. B. Punkt =(66,00) aber auch die Punkte =(00,80) und =(333,00). Folie Nr.:

12 (leikographische) Zieloptimierung Jetzt werden wir der Eingeschaften des Punkts ausführlicher untersuchen. () Wir sehen, daß zu diesem Punkt sehr viel Punkte eistieren, in den beide Zielfunktionen schlechtere Werte haben (z. B. Punkt 3 ). Für weitere Punkte, z. B. Punkte 3, wir können zwar den Wert der Zielfunktion f zu verbessern aber zugleich der Wert der Zielfunktion f schlechter, genauer niedriger wird. () Also, wir können sehen und das ist wesentlich, daß zu dem Punkt nur solche Punkte eistieren, die entweder die Werte beide Zielfunktionen niedrigere haben, oder der Wert erster Zielfunktion zwar höher ist aber zugleich der Wert zweiter Zielfunktion niedriger ist. (3) Die zulässige Lösung mit dieser Eigenschaft ist so genannte effektive oder Pareto optimale Lösung. Es ist klar, daß auch zulässige Lösungen 3 und diese Eigenschaft haben. Die Menge allen Lösungen mit dieser Eigenschaft wir nennen Menge der effektiven Lösungen des Mehkriterienoptimierungsproblems. Folie Nr.:

13 (leikographische) Zieloptimierung In unserem Beispiel diese Menge der effektiven Lösungen bilden alle lineare Konvekombinationen der Punkte und, also für alle effektive Lösungen gilt ef ( λ ), 0, = λ λ ef λ = λ λ λ ( λ) =, 0, Folie Nr.:3

14 (leikographische) Zieloptimierung Formulieren wir endlich die Definition der effektiven Lösung des Mehrkriterienoptimierungsproblems. Untersuchen wir folgenden Mehrkriterienoptimierungsproblem f f p ( ) ma D : R n R (MOP) Definition: Vektor ef, der zulässige Lösung des Problems MOP ( ef D) ist, ist effektive Lösung des Problems MOP genau dann, wenn zugleich eistiert keine andere zulässige Lösung D, ef für die gilt n R p =, Kk f p ( ) f r, p p ( f r ef ) ( ) > f r ( für ef ) p =, K, k Folie Nr.:4

15 (leikographische) Zieloptimierung Unsere Aufgabe ist jetzt eine konkrete Lösung aus der Menge der effektiven Lösungen auszuwählen. Es ist erkenntlich, daß wahrscheinlich jede Lösung aus der Menge MEL gleiche Eigenschaft hat und jede Lösung ist deshalb für uns gleich annehmbar. Für die Wahl der konkreten Lösung aus der Menge MEL wir werden wahrscheinlich bestimmtes Ergänzungskriterium anwenden müssen. Auf dem Grund dieses Ergänzungskriteriums dann wir können so genannte Kompromißlösung wählen. Es gibt verschiedene Schemen für die Konstruktion des Verfahrens für die Ableitung der Kompromißlösung. Folie Nr.:5

16 (leikographische) Zieloptimierung Jetzt wir werden das Verfahren für die Lösung der Zieloptimierungsaufgabe, das ist aus zwei Aspekten effektiv und annehmbar, präsentieren.. Bei Anwendung dieser Methode wir definieren für jede Zielfunktion konkreten Zielwert. Es ist klar, daß diese Idee für die Lösung praktischen ökonomischen Entscheidungsproblemen sehr große Nützlichkeit hat.. Bei der Applikation dieser Methode das Problem der Mehrkriterienoptimierung auf das klassische Einkriterienoptimierungsproblem transformiert. Und für Lösung solches Problem wir können natürlich übliches Standardsoftware für Lösung der Optimierungsprobleme anwenden. Folie Nr.:6

17 (leikographische) Zieloptimierung Die praktische Realisation dieses Verfahrens wir werden auf die Lösung unseres Beispiels demonstrieren. Wir schlagen zum Beispiel vor, daß folgende Zielwerte sind für unsere zwei Zielfunktionen definiert f (, ) z (z =55 000)... Gesamterlös f (, ) z (z =00 000)... Anwendung der Arbeitskraft Die Menge der Punkten, die zulässige für diese zwei Bedingungen sind, ist so genannte Entscheidungsraum der Zielfunktionen (Z). Die Menge der Punkten, die sind zulässig für ursprüngliche Bedingungen des Problems bildet so genannte Entscheidungsraum der Nebenbedingungen (D). Folie Nr.:7

18 (leikographische) Zieloptimierung Jetzt es ist noch notwendig, daß die Zielfunktionen des Mehrkriterienoptimierungsproblems MOP mindestens die definierte Zielwerte z und z erreichen. Diese Förderungen dann werden wir deshalb als neue Nebenbedingungen des Problems formuliert. Wir bekommen folgende Formulierung der Nebenbedingungen unseres Problems f f (, ) = z ( z = ) ( ) = z ( z = ), 3 3 5, Folie Nr.:8

19 (leikographische) Zieloptimierung 700 f z = MOPO =(333,3;00) X =(66,6;00) Z Entscheidungsraum der Zielfunktionen f z = f Produkt 300 f NB NB NB3 00 D 00 Entscheidungsraum der Nebenbedingungen MEL Produkt Folie Nr.:9

20 (leikographische) Zieloptimierung Graphische Darstellung des Entscheidungsraums der Zielfunktionen (Z) und des Entscheidungsraums der Nebenbedingungen (D) ist auf der Abbildung abgebildet. Wir aber sehen, daß Schnittmenge von dieser zwei Entscheidungsräume ist leere Menge. Es zeigt, daß kein Punkt eistiert, der dem Element der Menge Z und zugleich dem Element der Menge D ist. Wir müssen eine Kompromißlösung unseres Problems suchen. Es ist ersichtlich, daß die Kompromißlösung in jedem Punkt aus der Menge der effektiven Lösungen MEL befinden sich kann. Deshalb in unserem Fall eistiert kein Punkt aus der Schnittmenge der Mengen D und Z, wir solchen Punkt aus der Menge der effektiven Lösungen MEL auswählen werden, der ist am nächstens von dem Entscheidungsraum der Zielfunktionen (Z), wie ist es auf der Abbildung demonstriert. Und jetzt schließlich die letzte Frage: Wie können wir den Betriff Punkt ist nicht weit von der Menge interpretieren aber vor allem quantifizieren. Folie Nr.:0

21 (leikographische) Zieloptimierung Selbstverständlich sehr oft haben die Menge MEL und die Menge Z leere Schnittmenge. Aber Kompromißlösung muß natürlich aus der Menge MEL, die Teilmenge von Menge D ist, sein. Dann aber dieser Punkt kann nicht aus der Menge Z sein und deshalb kann nicht die Restriktionen dieser Menge genügen. Diese Diskrepanz wir müssen im Rahmen der Nebenbedingungen der Menge Z lösen. In jede Nebenbedingung der Menge Z wir anwenden zwei neue Variablen y k, y k -, die gewünschte und unerwünschte Abweichungen von den Werten der einzelnen Zielfunktionen ausdrücken. Außerdem wir definieren so genannte nichtnegative Gewichtsfaktoren φ k, φ k -, die Priorität einzelner Zielfunktionen auszudrücken. Diese Gewichtsfaktoren einzelnen Abweichungsvariablen zugeordnet sind. Folie Nr.:

22 Folie Nr.: Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (leikographische )Zieloptimierung Das Mehrkriterienoptimierungsproblem ist auf das Zieloptimierungsproblem in der folgenden Form transformiert (ZOP): ( ) 0,,,,,,, , 3 = = = = = = y y y y s s s s s y y y y min y y y y F ψ ψ

23 (leikographische )Zieloptimierung Das Optimierungsproblem (ZOP) repräsentiert eine Archimedian Konzeption des generellen Zieloptimierungsproblems. Auf dem Grund der Archimedian Konzeption des Zieloptimierungsproblems wir also konnten ein mathematischen Modell der Optimierung der Produktionsstrategie des Unternehmens formulieren. Optimale Lösung dieses Zieloptimierungsproblems wir können mit dem Standardsoftware für Optimierungsprobleme finden. Folie Nr.:3

24 (leikographische )Zieloptimierung Folie Nr.:4

30 (leikographische) Zieloptimierung Das Problem der Vektoroptimierung wir können als das Problem der Zieloptimierung in folgender genereller Form präsentieren: Ziel... f ( )= c T z Ziel... f ( )= c T z Ziel 3... f 3 ( )= c 3T = z 3 Ziel 4... f 4 ( )= c 4T < z 4 ug, z 4 og > D Folie Nr.:30

31 (leikographische) Zieloptimierung Die Interpretation der Zielen sind folgende: Ziel_... Die Zielfunktion f () muß mindestens ihren erwünschtlichen Wert z erreichen. Ziel_... Die Zielfunktion f () darf meistens ihren erwünschtlichen Wert z erreichen. Ziel_3... Die Zielfunktion f 3 () muß genau ihren erwünschtlichen Wert z 3 erreichen. Ziel_4... Die Zielfunktion f 4 () muß ihren Wert aus dem zulässigen Intervall z 4 ug, z 4 og erreichen. Folie Nr.:3

32 Folie Nr.:3 Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (leikographische) Zieloptimierung Für die generellen Formulierung des mehrkriterien Optimierungsproblems resultiert daraus die folgende analytische Formulierung des linearen Zielprogrammierungsproblems: f(, ) = y y y y y y y y φ φ φ φ φ φ min bei Nebenbedingungen 0 y c c c c c D, z y - z y z = y - y z y - z y 4 og ug T T T T T

33 (leikographische) Zieloptimierung Bei der Lösung des oben beschriebenen Problems wurde als geeignetes Kompromissprinzip der Zielprogrammierung gewählt. Als Ausgangsformulierung des Problems betrachten wir die folgende: F p ( y y ) =, φ y φ y k = k k k k min unter den Bedingungen f y y = z k =,,..., p k k k k D y, y 0 k =,,..., p k k Wir setzen voraus, dass alle betrachteten Kennziffern von Maimierungstyp sind, dann y k ist die unerwünschte Abweichung vom k-ten Ziel, y k ist die gewünschte Abweichung vom k-ten Ziel, und φk, φk sind diesen Abweichungen zugeordnete nichtnegative Gewichtsfaktoren. Folie Nr.:33

34 (leikographische) Zieloptimierung Noch drei Bemerkungen zu der Interpretation der Abweichungsvariablen: () Als die Abweichungsvariable y - ist positive, dann die Variable drückt aus, das Erlös des Unternehmens war in dem Vergleich mit dem Zielwert gerade um den Wert dieser Variable unerfüllt. () Als die Abweichungsvariable y ist positive, dann die Variable drückt aus, das Erlös des Unternehmens war in dem Vergleich mit dem Zielwert gerade um den Wert dieser Variable übererfüllt. (3) Als beide Abweichungsvariablen y -, y - gleich Null werden, dann das Erlös des Unternehmens war in dem Vergleich mit dem Zielwert pünktlich erfüllt. Folie Nr.:34

35 (leikographische) Zieloptimierung Das Verfahren der Aggregation der Zielfunktionen für die Lösung des Mehrkriterienoptimierungsmodell f p ()= ma unter den Bedingungen n j= j Das Mehrkriterienoptimierungsmodell (), (), (3) wir können auf folgendes Einkriterienoptimierungsmodell transformieren F() = unter den Bedingungen D n j= a ij c 0 p j j j {,,=} b j =, K,n i i =, K,m p =, K, k n k p ( ψ pc j ) j ma () j= p= (),(3), ψ k p 0,, ψ p = p= wo Ψ, Ψ sind die Koeffizienten der Priorität für die einzelne Zielfunktionen () () (3) Folie Nr.:35

38 (leikographische ) Zieloptimierung Folie Nr.:38