Kombinatorische Optimierung Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik

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1 Kombinatorische Optimierung Vorlesung für den Bereich Diplom/Master Informatik Dozent: Juniorprof. Dr. Henning Meyerhenke PARALLELES RECHNEN INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, FAKULTÄT FÜR INFORMATIK KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft Oktober 2012 VORLESUNG 1 Einführung 2

2 Was ist kombinatorische Optimierung?! Wurzeln in! Kombinatorik! Operations Research! theoretischer Informatik! Problemstellung: Finde aus einer (meist großen) Menge von diskreten Elementen eine optimale Teilmenge! Optimierung anhand einer Zielfunktion, die von einer großen Zahl von Variablen abhängt! Berücksichtigung von Nebenbedingungen! Welche Beispiele kennen Sie bereits? 3 Beispielprobleme! Bohrpunktproblem:! Finde kostenminimale Tour für Bohrer Job-Zuordnungsproblem:! Weise Arbeiter an Jobs zu (Rechenzentrum) Universität Paderborn, PC2 4

3 Beispielprobleme Futtermischung gegeben: Sojamehl Mais Anforderung Anteil im Futter in % % 30% 17% 14% 13% 4% Ballaststoffe (max) Protein (min) Futterbestandteile Futter / kg Sojamehl 0,90 Mais 0,30 Mindestmenge Futter / Tag 800 kg Gesucht: Mischung, die die Nebenbedingungen erfüllt und minimale Kosten verursacht. 5 5 Motivation! Hoher Bedarf an Optimierern in der Wirtschaft:! Beratung! Logistik! Energie! Produktionsplanung!...! Verbindung von! Theorie (Algorithmen, Datenstrukturen, Komplexität) und! Praxis (Anwendungsproblem) 6

4 Vorlesungsübersicht! Einführung! Graphenalgorithmen! Paarungen (engl.: Matchings)! Netzwerkflüsse! Ggf. lineare und ganzzahlige Optimierung! Ggf. Zeitablaufsteuerung (engl.: Scheduling)! Approximationsalgorithmen! Behälterproblem (engl.: Bin packing)! Problem des Handlungsreisenden! Maximale Schnitte in Graphen 7 Lernziele! Algorithmische Probleme formal formulieren und in strukturierter Form zu theoretischen Aspekten der kombinatorischen Optimierung äußern können! Berechnungskomplexität algorithmischer Probleme aus unterschiedlichen Bereichen analysieren und einschätzen können! Fortgeschrittene methodische Ansätze für den Entwurf und die Analyse von kombinatorischen Algorithmen kennen! Algorithmen exemplarisch ausführen und ihre Eigenschaften erklären können! Geeignete algorithmische Lösungstechniken erkennen und auf unbekannte Probleme anwenden können 8

5 Organisatorisches! Vorlesung und Übung kombiniert! Termine:! Dienstags 11:30-13:00 Uhr im SR -118! Donnerstags 15:45-17:15 Uhr im SR 131! SWS: 2+1 (flexibles Ende im Semester)! LVNr: ! Sprechstunde: Nach Vereinbarung ( )! Webseite zur Vorlesung: 14 Literatur! B. Korte, J. Vygen: Kombinatorische Optimierung. Theorie und Algorithmen. 2. Auflage. Springer, Auflage ist online im KIT-Netz verfügbar! Ulf Lorenz: Optimierung I. Vorlesungsfolien, Universität Paderborn.! Weitere Literatur wird im Verlauf des Semesters bekannt gegeben. 15

6 Abschnitt 1: EINLEITUNG UND MOTIVATION 17 Kombinatorisches Optimierungsproblem! Instanz eines komb. Optimierungsproblems ist Paar (L, f):! L ist abzählbare Menge aller möglicher Lösungen! Zielfunktion f weist jedem Element aus L einen Wert zu! Beispiel: Bohrpunktproblem! Instanz: Eine Menge von Punkten p 1,..., p n 2 R 2! Aufgabe: Bestimmen Sie eine Permutation ¼, so dass Σ i=1 n-1 d(p ¼(i), p ¼(i+1) ) minimal ist.! Aufgabe: Lösen Sie die folgende Instanz:! a = (2,3), b = (5, 1), c = (4, 7), d = (3, 6)! Quadratische Distanzen: a zu b: 13, a zu c: 20, a zu d: 13; b zu c: 37, b zu d: 29; c zu d: 2 18

7 Vorgehensweise! Bei kleinen Instanzen:! Ausprobieren! Aufzählen aller Lösungen, Wahl der besten d c! Anzahl möglicher Lösungen?! Was würden Sie bei großen Instanzen tun? a b 19 Neues Szenario! Sie arbeiten für eine Internet-Singlebörse.! Sie arbeiten für eine seriöse Internet-Singlebörse.! Jeder Kunde wählt höchstens 10 Kundinnen aus, die er interessant findet.! Jede Kundin wählt höchstens 10 Kunden aus, die sie interessant findet.! Aufgabe:! Finden Sie möglichst viele Paare von Männern und Frauen, die sich gegenseitig interessant finden!! Niemand darf zu mehr als einem Paar gehören!! Wie modellieren Sie das Problem? 20