Substitutionsverfahren
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- Martha Abel
- vor 5 Jahren
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1 Substitutionsverfahren 1 Motivation Wir stehen vor folgendem Problem: In unserem Betrieb kann unsere einzige Maschine Produkt A in zwei Stunden und Produkt B in einer Stunde produzieren. Die Maschine läuft 24 Stunden am Tag ohne Unterbrechung. Der Erlös beim Verkauf von Produkt A bringt uns 10 Euro und der von Produkt B nur 7 Euro ein. Wie viele Einheiten müssen wir von jedem Produkt in einem Monat produzieren um unseren Gewinn zu maximieren? Bei solch einer Aufgabe handelt es sich um ein Optimierungsproblem, da der Gewinn maximiert werden muss. Weiterhin liegt eine Nebenbedingung für dieses Problem vor. Diese und ähnliche Optimierungsprobleme können wir mit dem Substitutionsverfahren lösen. 2 Das Substitutionsverfahren Aufgabe: Wir betrachten folgende Funktion f(x, y) (I) f(x, y) = 5x 2 + 5y deren Maximum unter der Nebenbedingung (II) 10 = y 4x bestimmt werden soll. Zur Lösung dieses Optimierungsproblems können wir das Substitutionsverfahren anwenden. Dabei formen wir die Gleichung der Nebenbedingung geschickt nach einer Variable um, sodass wir diese in die Zielfunktion f einsetzen können und eine Funktion mit nur einer Variable erhalten, deren Extremum wir bestimmen. Konkret schaen wir das mit folgenden Schritten: (II) umformen: 10 = y 4x y = x (II) in (I) einsetzen: f(x, y) = 5x 2 + 5y f(x) = 5x 2 + 5(10 + 4x) f(x) = 5x x 1
2 Schritt 3: Leite f(x) nach x ab und setze die Ableitung gleich Null. f (x) = 10x + 20! = 0 10x + 20 = 0 10x = 20 x = 2 20 : ( 10) D.h. bei x = 2 liegt ein Extremum vor. Schritt 5: Überprüfe, ob bei x = 2 ein Maximum vorliegt. Die Zusicherung auf ein Maximum erhalten wir, falls f (2) < 0 gilt: f (x) = 10 f (2) = 10 < 0 Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, liegt bei x = 2 ein Maximum vor. 10 = y 4x einsetzen von x = 2 10 = y 4 2 zusammenfassen 10 = y 8 +8 y = 18 Somit wird die Funktion f(x, y) = 5x 2 + 5y für die Werte x = 2 und y = 18 unter der gegebenen Nebenbedingung maximiert. Das Maximum beträgt f(2, 18) = 70 3 Übungsaufgaben Aufgabe 1) Gegeben sei folgende Funktion f(x, y) (I) f(x, y) = 8x 2 + 3y deren Maximum unter der Nebenbedingung (II) 4 = y 6x bestimmt werden soll! 2
3 Lösung: (II) umformen: 4 = y 6x y = 6x + 4 (II) in (I) einsetzen: f(x, y) = 8x 2 + 3y f(x) = 8x 2 + 3(6x + 4) f(x) = 8x x + 12 Schritt 3: Leite f(x) nach x ab und setze die Ableitung gleich Null. f (x) = 16x + 18! = 0 16x + 18 = 0 16x = 18 x = : ( 16) D.h. bei x = liegt ein Extremum vor. Schritt 5: Überprüfe, ob bei x = ein Maximum vorliegt. Die Zusicherung auf ein Maximum erhalten wir, falls f (1.125) < 0 gilt: f (x) = 16 f (1.125) = 16 < 0 Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, liegt bei x = ein Maximum vor. 4 = y 6x einsetzen von x = = y zusammenfassen 4 = y y = Somit wird die Funktion f(x, y) = 8x 2 + 3y für die Werte x = und y = unter der gegebenen Nebenbedingung maximiert. Das Maximum beträgt f(1.125, 10.75) = Aufgabe 2) Gegeben sei folgende Funktion f(x, y) (I) f(x, y) = 6x 2 + 8y 3
4 deren Maximum unter der Nebenbedingung (II) 5 = y 2x bestimmt werden soll! Lösung: (II) umformen: 5 = y 2x y = 2x + 5 (II) in (I) einsetzen: f(x, y) = 6x 2 + 8y f(x) = 6x 2 + 8(2x + 5) f(x) = 6x x + 40 Schritt 3: Leite f(x) nach x ab und setze die Ableitung gleich Null. f (x) = 12x + 16! = 0 12x + 16 = 0 12x = 16 x = : ( 12) D.h. bei x = 1.33 liegt ein Extremum vor. Schritt 5: Überprüfe, ob bei x = 1.33 ein Maximum vorliegt. Die Zusicherung auf ein Maximum erhalten wir, falls f (1.33) < 0 gilt: f (x) = 12 f (1.33) = 12 < 0 Da die zweite Ableitung kleiner Null ist, liegt bei x = 1.33 ein Maximum vor. 5 = y 2x einsetzen von x = = y zusammenfassen 5 = y y =
5 Somit wird die Funktion f(x, y) = 6x 2 + 8y für die Werte x = 1.33 und y = 7.66 unter der gegebenen Nebenbedingung maximiert. Das Maximum beträgt f(1.33, 7.66)
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