Mathemathik für Informatiker Band 1: Diskrete Mathematik und Lineare Algebra

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1 Gerald Teschl Susanne Teschl Mathemathik für Informatiker Band 1: Diskrete Mathematik und Lineare Algebra Springer

2 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 1 Logik und Mengen Elementare Logik Elementare Mengenlehre Schaltalgebra Anwendung: Entwurf von Schaltkreisen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen 28 2 Zahlenmengen und Zahlensysteme Die Zahlenmengen N, Z, Q, R und C Summen und Produkte Vollständige Induktion Stellenwertsysteme Maschinenzahlen Teilbarkeit und Primzahlen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen 65 Diskrete Mathematik 3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie Das kleine Einmaleins auf endlichen Mengen Anwendung: Hashfunktionen Gruppen, Ringe und Körper Anwendung: Welche Fehler erkennen Prüfziffern? Der Euklid'sche Algorithmus und diophantische Gleichungen Anwendung: Der RSA-Verschlüsselungsalgorithmus Der Chinesische Restsatz 99

3 X Inhaltsverzeichnis Anwendung: Rechnen mit großen Zahlen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Relationen und Funktionen Relationen Anwendung: Relationales Datenmodell Funktionen Kontrollfragen Übungen Folgen und Reihen Folgen Anwendung: Wurzelziehen ä la Heron Reihen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Kombinatorik Grundlegende Abzählverfahren Permutationen und Kombinationen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Rekursionen und Wachstum von Algorithmen Grundbegriffe Ausblick: Iterationsverfahren und Chaos Lineare Rekursionen Anwendung: Sparkassenformel Wachstum von Algorithmen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen 215 Lineare Algebra 8 Vektorräume Vektoren Lineare Unabhängigkeit und Basis Teilräume Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen 240

4 Inhaltsverzeichnis XI 9 Matrizen und Lineare Abbildungen Matrizen Multiplikation von Matrizen Lineare Abbildungen Anwendung: Lineare Codes Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Lineare Gleichungen Der Gauß-Algorithmus Anwendung: Elektrische Netzwerke Anwendung: Input-Output-Analyse nach Leontjef Rang, Kern, Bild Determinante Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Lineare Optimierung Lineare Ungleichungen Lineare Optimierung Der Simplex-Algorithmus Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Skalarprodukt und Orthogonalität Skalarprodukt und orthogonale Projektion Anwendung: Matched-Filter Anwendung: Lineare Klassifikation Anwendung: Ray-Tracing Orthogonalentwicklungen Orthogonale Transformationen Anwendung: QR-Zerlegung Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Eigenwerte und Eigenvektoren Koordinatentransformationen Eigenwerte und Eigenvektoren Anwendung: Bewertung von Webseiten mit PageRank Eigenwerte symmetrischer Matrizen Anwendung: Die diskrete Kosinustransformation Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen 378

5 XII Inhaltsverzeichnis Graphentheorie 14 Grundlagen der Graphentheorie Grundbegriffe Darstellung von Graphen am Computer Wege und Kreise Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Bäume und kürzeste Wege Bäume Das Problem des Handlungsreisenden Minimale aufspannende Bäume Kürzeste Wege Anwendung: Routing im Internet Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Flüsse in Netzwerken und Matchings Netzwerke Matchings Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen 449 Anhang A Einfuhrung in Mathematica 455 A.l Erste Schritte 455 A.2 Funktionen 457 A.3 Gleichungen 459 A.4 Programme 460 B Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben 463 B.l Logik und Mengen 463 B.2 Zahlenmengen und Zahlensysteme 463 B.3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie 464 B.4 Relationen und Funktionen 464 B.5 Folgen und Reihen 464 B.6 Kombinatorik 465 B.7 Rekursionen und Wachstum von Algorithmen 465 B.8 Vektorräume 465 B.9 Matrizen und Lineare Abbildungen 466

6 Inhaltsverzeichnis XIII B.10 Lineare Gleichungen 466 B.ll Lineare Optimierung 466 B.12 Skalarprodukt und Orthogonalität 467 B.13 Eigenwerte und Eigenvektoren 467 B.14 Grundlagen der Graphentheorie 467 B.15 Bäume und kürzeste Wege 468 B.16 Flüsse in Netzwerken und Matchings 468 Literatur 469 Verzeichnis der Symbole 471 Index 473