Inhalt der Vorlesung Lineare Algebra I

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1 Inhalt der Vorlesung Lineare Algebra I Prof. Dr. W. Plesken WS 2000/2001 1

2 1 Mengen und Abbildungen 1.1 Inhalt und Ziel der Vorlesung 1.2 Die mengentheoretische Sprechweise Lernziel: Einfache Notation der Mengenlehre benutzen lernen, erste mengentheoretische Identitäten und Konstruktionen verinnerlichen. Teilmengen, kartesische Produkte, Vereinigung und Durchschnitt, Potenzmenge. 1.3 Abbildungen Lernziel: Formale Definition von Abbildungen, charakteristische Funktion einer Teilmenge, Folgen, Matrizen = Doppelfolgen, Komposition von Abbildungen, Definition der Begriffe injektiv, surjektiv, bijektiv und Faser, Charakterisierung endlicher Mengen. 1.4 Lineare Gleichungssysteme I Lernziel: Lineare Gleichungssysteme definieren Matrizen, Matrizen definieren lineare Abbildungen, Lösen von liearen Gleichungssystemen = Faserbestimmung der zugehörigen linearen Abbildung, Wiederholung der Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv in diesem Zusammenhang, Produkte von Matrizen und Komposition von Abbildungen, Gaußsches Eliminationsverfahren mit Anwendungen. (Alles über den reellen Zahlen.) 1.5 Partitionen, Äquivalenzrelationen Lernziel: Partitionen und Äquivalenzrelationen auf dem formalen Niveau definieren und die Gleichwertigkeit dieser Begriffe mit dem der Abbildung auf dem inhaltlichen Niveau kennenlernen. Erstes Beispiel für die dichte Vernetztheit der Mathematik: Zusammenspiel von Begriffen. 2

3 2 Algebraische Strukturen 2.1 Die Gruppenaxiome Lernziel: Formalisierung des Begriffes algebraische Struktur, Gruppenaxiome, symmetrische Gruppe, kommutative Gruppen, Operation von Gruppen und Bahnen. 2.2 Körper und Ringe Lernziel: Rechnen in Körpern im Sinne von Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren. Beispiele von Körpern und Rechnen in Restklassenkörpern von Z, Euklidischer Algorithmus, Teilbarkeitstheorie in Z und Konsequenzen für Q zur Vorbereitung des Polynomrings. 2.3 Vektorräume Lernziel: Formale Definiton von Vektorräumen und lineare Abbildungen motiviert an einigen Beispielen, Rechnen in einigen konkreten Vektorräumen, direkte Summen von Vektorräumen, Teilräume, Faktorräume, Homomorphiesatz, Interpretation für lineare GLeichungssysteme. 2.4 Polynomringe Lernziel: Formelle Einführung von Polyomen, Polynomdivision und Euklidischer Algorithmus, Körper der rationalen Funktionen, Restklassenkörper des Polynomrings, diverse Beispiele von Vektorräumen 3

4 3 Dimension und Basis eines Vektorraumes 3.1 Erzeugen von Teilräumen Lernziel: Definition von Teilräumen, Schnitte von Teilräumen sind wieder Teilräume, der kleinste umfassende Teilraum einer Menge, Umgang mit Linearkombinationen 3.2 Lineare Unabhängigkeit Lernziel: Eindeutigkeitsfragen bei Linearkombinationen, Reduktion eines Erzeugendensystems auf ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, Charakterisierung von Basen. 3.3 Der Steinitzsche Austauschsatz Lernziel: Beweis und Anwedungen des Austauschsatzes, Wohldefiniertheit der Dimension, diverse Dimensionsformeln 3.4 Konstruktive Aspekte Lernziel: Algorithmen zur Herstellung von Basen, Rang einer Matrix, genaue Analyse des Gaußalgorithmus, Algorithmen zur Berechnung von Schnitten von Teilräumen. 3.5 Die Matrix einer linearen Abbildung Lernziel: Matrix einer linearen Abbildung, typische Beispiele, Basistransformationen, Kern und Kokern einer linearen Abbildung, 3.6 Endomorphismen Lernziel: Matrizen von Endomorphismen, Minimalpolynom, Eigenvektoren und Beispiele von Eigenvektorbasen, Zerlegung in invariante Teilräume, Jordanblöcke 4

5 4 Euklidische Vektorräume 4.1 Inneres Produkt Lernziel: Positiv definites Skalarprodukt, Grammatrix, Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren, Choleskyzerlegung, Cauchy-Schwarzsche Ungleichung, Winkel und Längen, Dreiecksungleichung, Orthogonalprojektion (beste Approximation) 4.2 Reelle Spektraltheorie Lernziel: Adjungierte eines Endomorphismus, Spektralsatz für selbstadjundierte Endomorphismen, normale Endomorphismen, orthogonale Abbildungen, orthogonale Gruppe, Polarzerlegung 5

6 5 (Multi)linearformen 5.1 Linearformen Lernziel: Dualraum, Dualität für Teilräume, Interpretation für lineare Gleichungssysteme, transponierte lineare Abbildung. 5.2 Determinanten Lernziel: Definition und Beispiele von Multilinearformen, Determinante, Berechnungsverfahren und Anwendungen, Volumenverzerrung, charakteristisches Polynom 5.3 Bilinearformen Lernziel: Definition und Beispiele von Bilinearformen, Radikal, Beschreibung durch Matrizen, Orthogonalbasen, Sylvesterscher Trägheitssatz 6