Inhaltsverzeichnis. Grundlagen

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1 Inhaltsverzeichnis Grundlagen 1 Logik und Mengen Elementare Logik ElementareMengenlehre Schaltalgebra Anwendung: Entwurf von Schaltkreisen MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Zahlenmengen und Zahlensysteme Die Zahlenmengen N, Z, Q, R und C SummenundProdukte Vollständige Induktion Stellenwertsysteme Maschinenzahlen TeilbarkeitundPrimzahlen MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Diskrete Mathematik 3 Elementare Begriffe der Zahlentheorie DaskleineEinmaleinsaufendlichenMengen Anwendung: Hashfunktionen Gruppen, Ringe und Körper Anwendung: Welche Fehler erkennen Prüfziffern? Der Euklid sche Algorithmus und diophantische Gleichungen Anwendung: Der RSA-Verschlüsselungsalgorithmus DerChinesischeRestsatz

2 X Inhaltsverzeichnis Anwendung: Rechnen mit großen Zahlen Anwendung: Verteilte Geheimnisse MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Polynomringe und endliche Körper Der Polynomring K[x] Der Restklassenring K[x] m(x) Anwendung: Zyklische Codes Endliche Körper Anwendung: Der Advanced Encryption Standard Anwendung: Reed-Solomon-Codes MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Relationen und Funktionen Relationen Anwendung: Relationales Datenmodell Funktionen Kontrollfragen Übungen Folgen und Reihen Folgen Anwendung: Wurzelziehen àlaheron Reihen MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Kombinatorik Grundlegende Abzählverfahren PermutationenundKombinationen MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Rekursionen und Wachstum von Algorithmen Grundbegriffe Ausblick:IterationsverfahrenundChaos LineareRekursionen Anwendung: Sparkassenformel WachstumvonAlgorithmen MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen

3 Inhaltsverzeichnis XI Lineare Algebra 9 Vektorräume Vektoren Lineare UnabhängigkeitundBasis Teilräume MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Matrizen und Lineare Abbildungen Matrizen MultiplikationvonMatrizen Lineare Abbildungen Anwendung: Lineare Codes MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Lineare Gleichungen DerGauß-Jordan-Algorithmus Anwendung: Elektrische Netzwerke Anwendung: Input-Output-Analyse nach Leontjef Rang,Kern,Bild Determinante MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Lineare Optimierung LineareUngleichungen LineareOptimierung DerSimplex-Algorithmus MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Skalarprodukt und Orthogonalität Skalarprodukt und orthogonale Projektion Anwendung: Matched-Filter Anwendung: Lineare Klassifikation Anwendung: Ray-Tracing Orthogonalentwicklungen Orthogonale Transformationen Anwendung: QR-Zerlegung MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen

4 XII Inhaltsverzeichnis 13.6 Übungen Eigenwerte und Eigenvektoren Koordinatentransformationen EigenwerteundEigenvektoren Anwendung: Bewertung von Webseiten mit PageRank EigenwertesymmetrischerMatrizen Anwendung: Die diskrete Kosinustransformation MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Graphentheorie 15 Grundlagen der Graphentheorie Grundbegriffe DarstellungvonGraphenamComputer WegeundKreise MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Bäume und kürzeste Wege Bäume DasProblemdesHandlungsreisenden Ausblick: Die Komplexitätsklassen P und NP Minimale aufspannende Bäume Kürzeste Wege Anwendung: Routing im Internet MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Flüsse in Netzwerken und Matchings Netzwerke Matchings MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen

5 Inhaltsverzeichnis XIII Anhang A Einführung in Mathematica A.1 ErsteSchritte A.2 Funktionen A.3 Gleichungen A.4 Programme B Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben B.1 Logik und Mengen B.2 ZahlenmengenundZahlensysteme B.3 ElementareBegriffederZahlentheorie B.4 Polynomringe und endliche Körper B.5 RelationenundFunktionen B.6 FolgenundReihen B.7 Kombinatorik B.8 RekursionenundWachstumvonAlgorithmen B.9 Vektorräume B.10 Matrizen und Lineare Abbildungen B.11LineareGleichungen B.12LineareOptimierung B.13 Skalarprodukt und Orthogonalität B.14EigenwerteundEigenvektoren B.15 Grundlagen der Graphentheorie B.16 Bäume und kürzeste Wege B.17 FlüsseinNetzwerkenundMatchings Literatur Verzeichnis der Symbole Index

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