Mathematik für Informatiker

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1 Gerald Teschl Susanne Teschl Mathematik für Informatiker Band 2: Analysis und Statistik Springer

2 Inhaltsverzeichnis Analysis 17 Elementare Funktionen Polynome und rationale Punktionen Anwendung: Interpolation Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Polardarstellung komplexer Zahlen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Differentialrechnung I Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Die Ableitung einer Funktion Anwendung: Ableitungen in der Wirtschaftsmathematik Berechnung von Ableitungen Anwendung: Splines Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Differentialrechnung II Taylorreihen Monotonie, Krümmung und Extremwerte Anwendung: Preispolitik eines Monopolisten Iterationsverfahren Ausblick: Kontraktionsprinzip Anwendung: Marktgleichgewicht im Oligopol Anwendung: Dioden-Logik Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen 105

3 X Inhaltsverzeichnis 20 Integralrechnung Die Stammfunktion Bestimmte Integration Uneigentliches Integral Ausblick: Bogenlänge Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Fourierreihen Fourierreihen Anwendung: JPEG und MP Ausblick: Fourierreihen als Orthogonalentwicklung Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Differentialrechnung in mehreren Variablen Grenzwert und Stetigkeit Ableitung Ausblick: Differenzierbarkeit Extrema Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Differentialgleichungen Grundlagen Anwendung: Parabolspiegel Lineare Differentialgleichungen Ausblick: Systeme von Differentialgleichungen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen 195 Statistik 24 Beschreibende Statistik und Zusammenhangsanalysen Grundbegriffe Häufigkeitsverteilung einer Stichprobe Anwendung: Benford'sches Gesetz Kennwerte einer Stichprobe Lineare Korrelation Lineare Regression Ausblick: Multivariate lineare Regression Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen 218

4 Inhaltsverzeichnis XI 24.8 Übungen Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsexperimente und Ereignisse Wahrscheinlichkeit Anwendung: Bayes'scher SPAM-Filter Anwendung: Optimale Stoppstrategie Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Zufallsvariablen Diskrete und stetige Zufallsvariablen Erwartungswert und Varianz einer Verteilung Anwendung: Moderne Portfoliotheorie Das Gesetz der großen Zahlen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Spezielle diskrete Verteilungen Die hypergeometrische Verteilung Die Binomialverteilung Anwendung: Moderne Finanzmathematik Die Poisson-Verteilung Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Spezielle stetige Verteilungen Die Normalverteilung Anwendung: Value at Risk Die Normalverteilung als Näherung Drei wichtige Prüfverteilungen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Schließende Statistik Einführung Punktschätzungen Intervallschätzungen Hypothesentests Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen 355

5 XII Inhaltsverzeichnis Anhang A Tabellen 359 A.l Differentiation und Integration 359 A.2 Standardnormalverteilung 360 A.3 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung 361 A.4 Quantile der t-verteilung 362 A.5 Quantile der F-Verteilung 363 B Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben 365 B.17 Elementare Funktionen 365 B.18 Differentialrechnung I 365 B.19 Differentialrechnung II 366 B.20 Integralrechnung 366 B.21 Fourierreihen 366 B.22 Differentialrechnung in mehreren Variablen 367 B.23 Differentialgleichungen 367 B.24 Beschreibende Statistik und Zusammenhangsanalysen 367 B.25 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 368 B.26 Zufallsvariablen 368 B.27 Spezielle diskrete Verteilungen 368 B.28 Spezielle stetige Verteilungen 369 B.29 Schließende Statistik 369 Literatur 371 Verzeichnis der Symbole 373 Index 375

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