Lehr- und Übungsbuch MATHEMATIK. Lineare Algebra und Anwendungen. Mit 104 Bildern, 174 Beispielen und 222 Aufgaben mit Lösungen

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1 Lehr- und Übungsbuch MATHEMATIK für Informatiker Lineare Algebra und Anwendungen Mit 104 Bildern, 174 Beispielen und 222 Aufgaben mit Lösungen Fachbuchverlag Leipzig im Carl Hanser Verlag

2 Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung: Was ist Lineare Algebra?" Drei typische Beispiele Gegeneinander verschobene Koordinatensysteme und die Normalparabel" Gegeneinander gedrehte Koordinatensysteme und die Normalparabel" Gegeneinander gedrehte Koordinatensysteme und die Lösungskurven von Differentialgleichungen Kommentar zu den Beispielen und Ausblick 16 1 Grundbegriffe - Mengen, Abbildungen, Vektoren Mengen Darstellung von Mengen Mengenverknüpfungen Spezielle Mengen, Zahlbereiche 20 Aufgaben 1.1 bis Relationen und Abbildungen Beispiele für Relationen Äquivalenzrelationen Abbildungen und einige Eigenschaften Bijektive Abbildungen 24 Aufgaben 1.8 bis Vektoren im anschaulichen Raum Darstellung und charakteristische Rechenoperationen Punkte, Geraden und Ebenen in Vektordarstellung Berechnung von Abständen, Längen und Winkeln Volumina und senkrechte Vektoren 37 Aufgaben 1.15 bis Körper Reelle Zahlen und Vektorräume Definition eines Körpers Algebraische Axiome der reellen Zahlen Einfache Folgerungen aus den Axiomen Verallgemeinerung: Axiome eines Körpers 44 Aufgaben 2.1 bis Körper mit den Rechenoperationen der reellen Zahlen Untersuchung der bekannten Zahlbereiche N, Z, Q Körper zwischen" Q und R 47 Aufgaben 2.5 und Die komplexen Zahlen als Körpererweiterung von R Einige Bemerkungen zur Verwendung komplexer Zahlen Körpereigenschaften von С Algebraische Struktur der Einheitswurzeln 51 Aufgaben 2.7 bis

3 Inhaltsverzeichnis Restklassen als Beispiele für endliche Körper Beispiele und Gegenbeispiele für Körpereigenschaften bei Restklassen Lösen von Gleichungen in Restklassenkörpern Beispiel eines endlichen Körpers, der nicht aus Restklassen besteht.. 57 Aufgaben 2.12 bis Vektorräume Allgemeine Vektorräume 60 Aufgaben 3.1 bis Der n-dimensionale Vektorraum R n 64 Aufgaben 3.7 bis Lineare Unabhängigkeit 66 Aufgaben 3.13 bis Der Austauschsatz von Steinitz 71 Aufgabe Basis von Vektorräumen 73 Aufgaben 3.22 bis Lösungsraum von linearen Gleichungssystemen 75 Aufgaben 3.29 bis Lineare Abbildungen Einleitung 79 Aufgaben 4.1 und Definition und Eigenschaften linearer Abbildungen Definition und einfache Schlußfolgerungen Der Vektorraum C{V, W) 83 Aufgaben 4.3 bis Standardbeispiele linearer Abbildungen Veranschaulichungsmethode Streckungen S : V -> V Diagonalisierbare Abbildungen D : V > V Scherungen T : V -> V Projektionen P : V -> V Orthogonale Projektionen, Spiegelungen und Drehungen 97 Aufgaben 4.9 bis Der Homomorphiesatz und Folgerungen daraus Der Homomorphiesatz Folgerungen aus dem Homomorphiesatz 105 Aufgaben 4.13 und Matrizen Die Matrix einer linearen Abbildung bezüglich zweier Basen 107 Aufgaben 4.15 bis Der Isomorphismus C(V, W) -> K mxn Verknüpfung linearer Abbildungen und Matrixmultiplikation Der spezielle Isomorphismus C(V, V) -> K mxm Die Transformationsformel für Basiswechsel 113 Aufgaben 4.19 bis Linearformen 115

4 8 Inhaltsverzeichnis АЛЛ Der Dualraum eines Vektorraums 115 Aufgaben 4.22 und Unitäre Räume Das Skalarprodukt 119 Aufgaben 5.1 bis Die Schwarzsehe Ungleichung 122 Aufgaben 5.5 bis Winkel, Orthonormierung 124 Aufgaben 5.8 bis Das Abstandsproblem 133 Aufgaben 5.18 bis Semibilinearformen und adjungierte Abbildungen 140 Aufgaben 5.22 bis Eigenwerte Vorbemerkung Zur Bedeutung der beiden Hauptresultate 147 Aufgaben 6.1 bis Invariante Unterräume, Eigenwerte und Eigenvektoren Definition und Eigenschaften invarianter Unterräume Zerlegung in invariante Unterräume Eigenwerte und Eigenvektoren 158 Aufgaben 6.9 bis Das charakteristische Polynom Vorbemerkung über Determinanten Eigenwerte und charakteristisches Polynom 163 Aufgaben 6.18 bis Das erste Hauptresultat Formulierung von Hauptresultat Bemerkungen zu Hauptresultat Aufgaben 6.22 bis Eigenwerte normaler, hermitescher und unitärer Abbildungen Vorbemerkung Normale, hermitesche und unitäre Abbildungen Untersuchung normaler Abbildungen Ф C(V, V) und Hauptresultat Folgerungen für hermitesche und unitäre Abbildungen 181 Aufgaben 6.25 bis Algebraische Strukturen Vorbemerkung zu algebraischen Strukturen Gruppen Gruppen und Körper Beispiele für Gruppen Isomorphe Gruppen Einfache Eigenschaften von Gruppen Untergruppen 191

5 Inhaltsverzeichnis Ordnung von Elementen und Untergruppen 194 Aufgaben 7.1 bis Ringe Ringe - Definition und Beispiele Polynomringe Invertierbare und nicht invertierbare Elemente Der Euklidische Algorithmus Einsetzungen in Polynome 205 Aufgaben 7.11 bis Lineare Optimierung Lineare Programme 208 Aufgaben 8.1 bis Der Simplexalgorithmus 217 Aufgaben 8.6 bis Dualität 231 Aufgaben 8.11 bis Graphentheorie Grundbegriffe ungerichteter Graphen, spezielle Graphen 239 Aufgaben 9.1 bis Planare Graphen, chromatische Zahl 246 Aufgaben 9.7 bis Kürzeste Wege 251 Aufgaben 9.13 bis Steinerbäume, Minimalgerüste, Greedy-Algorithmus 255 Aufgabe Paarungen in paaren Graphen, Ungarischer Algorithmus 259 Aufgaben 9.18 bis Kryptologie Tauschchiffren 269 Aufgaben 10.1 bis Lineare Schieberegister 276 Aufgaben 10.7 bis Schwer interpretierbare Funktionen, RSA-Algorithmus 282 Aufgaben bis Lösungen 291 Literaturverzeichnis 325 Sachwortverzeichnis 326