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1 Inhaltsverzeichnis Vorwort v 1 Grundlagen Mengenlehre Mengenbegriff Mengenoperationen Abbildungen Logik Aussagenlogik Prädikatenlogik Beweise Reelle Zahlen Natürliche und ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen Rechnen mit reellen Zahlen Potenzen und Wurzeln Summen und Produkte, Binomischer Lehrsatz Beträge und Ungleichungen Über das Lösen von Gleichungen und Ungleichungen Reelle Punktionen Notation reeller Funktionen Eigenschaften von reellen Punktionen Umkehrfunktion Verkettung von Funktionen Signum- und Betragsfunktion Polynome und gebrochen-rationale Punktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Exponentialfunktionen und Logarithmen Trigonometrische Funktionen Hyperbel- und Areafunktionen Komplexe Zahlen Erweiterung der reellen Zahlen um eine imaginäre Einheit Komplexe Arithmetik Die Gauß'sche Zahlenebene Euler'sche Gleichung und Polarform komplexer Zahlen Komplexe Wechselstromrechnung* Fundamentalsatz der Algebra Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 151

2 viii Inhaltsverzeichnis Lineare Gleichungssysteme Matrizen, Zeilen- und Spaltenvektoren Lösen linearer Gleichungssysteme Inverse Matrix und transponierte Matrix Symmetrische und orthogonale Matrizen Dreiecksmatrizen, Bandmatrizen und LR-Zerlegung * Determinanten Definition und elementare Eigenschaften von Determinanten Determinanten und lineare Gleichungssysteme Aufgaben Differenzial- und Integralrechnung Folgen Definition und Grundbegriffe von Folgen Konvergenz und Divergenz von Folgen Rechnen mit konvergenten Folgen Konvergenzkriterien Die Euler'sche Zahl e als Grenzwert von Folgen Approximation reeller Potenzen Bestimmte Divergenz Häufungspunkte einer Folge * Folgenkompaktheit und Cauchy-Folgen * Zahlen-Reihen Definition und Konvergenz einer Reihe Rechnen mit konvergenten Reihen Alternativen zur Definition der Reihenkonvergenz Absolute Konvergenz Konvergenzkriterien für Reihen Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit Umgebungen und Uberdeckungen Grenzwerte von Funktionen Stetigkeit Eigenschaften stetiger Funktionen Unstetigkeitsstellen Differenzierbarkeit und Ableitungen Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten Ableitungsregeln Newton-Verfahren Das Differenzial Höhere Ableitungen Zentrale Sätze der Differenzialrechnung 300

3 Inhaltsverzeichnis ix Satz von Fermat: notwendige Bedingung für lokale Extrema Mittelwertsätze der Differenzialrechnung Regeln von L'Hospital Integralrechnung Definition des Integrals Eigenschaften des Integrals Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Rechenregeln zur Integration Numerische Integration Uneigentliche Integrale Volumen und Flächen Satz von Taylor, Kurvendiskussion und Extremalprobleme Taylor-Summen Kurvendiskussion und Extremalprobleme Potenzreihen Unendliche Taylor-Summen und Potenzreihen Einschub: Funktionenfolgen * Konvergenz von Potenzreihen Differenziation und Integration von Potenzreihen Der Zusammenhang zwischen Potenzreihen und Taylor-Reihen Die komplexe Exponentialfunktion., Aufgaben Lineare Algebra Vektoren in der Ebene und im Raum Vektoren: Grundbegriffe und elementare Rechenregeln Skalarprodukt und Orthogonalität Vektorprodukt und Spatprodukt Anwendungen des Skalar-, Vektor- und Spatprodukts Analytische Geometrie Geraden in der Ebene und im Raum Ebenen im Raum Vektorräume Definition des Vektorraums Lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension Skalarprodukt und Norm Orthogonalität, Orthogonal- und Orthonormalsysteme Lineare Abbildungen Lineare Abbildungen und Matrizen Summe, skalares Vielfaches und Verkettung linearer Abbildungen Kern.und Bild einer linearen Abbildung, Dimensionssatz 478

4 X Inhaltsverzeichnis Umkehrabbildung und inverse Matrix Koordinaten- und Basistransformationen * Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems Berechnung von linearen elektrischen Netzwerken * Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwerte und Eigenvektoren Diagonalisierung von Matrizen * Hauptvektoren und Jordan-Normalform* Aufgaben Funktionen mit mehreren Variablen Grenzwerte und Stetigkeit Ableitungen von reellwertigen Funktionen mit mehreren Variablen Ableitungsbegriffe Höhere Ableitungen Fehlerrechnung* Extremwertrechnung Lokale und globale Extrema Extrema unter Nebenbedingungen* Integralrechnung mit mehreren Variablen Integration über mehrdimensionale Intervalle Integration über Normalbereiche Substitutionsregel Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten Vektoranalysis Vektorfelder Kurven Quellen, Senken und Wirbel in Vektorfeldern Kurvenintegrale Satz von Green * Flächenintegrale* Die Sätze von Gauß und Stokes * Aufgaben Gewöhnliche Differenzialgleichungen Einführung Beispiele für Differenzialgleichungen aus Physik und Technik Grundbegriffe Konstruktion einer Lösung, Existenz und Eindeutigkeit Iterationsverfahren von Picard und Lindelöf Lösungsmethoden für Differenzialgleichungen erster Ordnung 629

5 Inhaltsverzeichnis xi Lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung Nicht-lineare Differenzialgleichungen erster Ordnung Lineare Differenzialgleichungssysteme Motivation: Eine Schaltung mit Induktivitäten Grundbegriffe Homogene Lösungen Partikuläre Lösungen Komplexe und mehrfache Eigenwerte * Lineare Differenzialgleichungen höherer Ordnung Lösung über ein lineares Differenzialgleichungssystem Lösung mit einem Ansatz vom Typ der rechten Seite Schwingungsgleichung* Eine schwingende Saite: Wellengleichung Aufgaben Fourier-Reihen und Integraltransformationen Fourier-Reihen Fourier-Koeffizienten und Definition der Fourier-Reihe Sinus- und Kosinus-Form der Fourier-Reihe Komplexwertige Funktionen und Fourier-Koeffizienten Faltung Konvergenz von Fourier-Reihen * Gibbs-Phänomen Entwicklung 2p-periodischer Funktionen Fourier-Transformation Fourier-Integral Fourier-Umkehrtransformation Fourier-Koeffizienten und Fourier-Transformation Eigenschaften der Fourier-Transformation Faltung Laplace-Transformation Von der Fourier- zur Laplace-Transformation Rechnen mit der Laplace-Transformation Laplace-Transformation in der Systemtheorie* Diskrete Fourier-Transformation Ausgangspunkt: Koeffizienten einer Fourier-Reihe Diskrete Fourier-Transformation Diskrete Faltung* FFT-Algorithmus Numerische Berechnung von Fourier-Koeffizienten Abtastsatz für trigonometrische Polynome 807

6 xii Inhaltsverzeichnis Leck-Effekt (Leakage) * Numerische Berechnung der Fourier-Transformation Abtastsatz der Fourier-Transformation Leck-Effekt und Fensterfunktionen* Zusammenfassung Aufgaben Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Beschreibende Statistik Grundbegriffe Empirische Verteilungsfunktionen Lageparameter Streuungsparameter Zweidimensionale Häufigkeitsverteilungen und Korrelation Lineare Regressionsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsexperimente und Ereignisse Wahrscheinlichkeit und Satz von Laplace Kombinatorik Unabhängige Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten Zufallsvariablen Lage- und Streuungsparameter von Zufallsvariablen Gesetz der großen Zahlen Zentraler Grenzwertsatz Schließende Statistik Punktschätzungen Begriffe der Fehlerrechnung* Intervallschätzungen Hypothesentests Aufgaben 929 Literaturverzeichnis 935 Index 939

Inhaltsverzeichnis Vorwort Grundlagen

Inhaltsverzeichnis Vorwort Grundlagen Inhaltsverzeichnis Vorwort... 1 Grundlagen... 1 1.1 Mengenlehre... 1 1.1.1 Mengenbegriff... 2 1.1.2 Mengenoperationen... 4 1.1.3 Abbildungen... 7 1.2 Logik... 12 1.2.1 Aussagenlogik... 12 1.2.2 Prädikatenlogik...

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