Inhaltsverzeichnis. Teil I: Einfiihrung und Grundlagen. Teil II: Analysis einer reellen Variablen. Komplexe Zahlen - Rechnen mit imaginaren GroBen 121

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1 Inhaltsverzeichnis Teil I: Einfiihrung und Grundlagen Komplexe Zahlen - Rechnen mit imaginaren GroBen Die Menge der komplexen Zahlen Geometrische Darstellung der komplexen Zahlen Mengen und Transformationen in der komplexen Ebene 137 Teil II: Analysis einer reellen Variablen 1 Mathematik - Wissenschaft und Werkzeug Uber dieses Lehrbuch, Mathematiker und Mathematik Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Die didaktischen Elemente dieses Buches Ratschlage zum Studium der Hoheren Mathematik 11 2 Logik, Mengen, Abbildungen - die Sprache der Mathematik Eine beweisende Wissenschaft Grundbegriffe der Aussagenlogik Definition, Satz, Beweis Elementare Mengenlehre Zahlenmengen Abbildungen 32 3 Rechentechniken - die Werkzeuge der Mathematik Terme, Briiche und Potenzen Gleichungen und Ungleichungen Von Betrag und Abschatzungen Summen und Produkte Die vollstandige Induktion 70 4 Elementare Funktionen - Bausteine der Analysis Reellwertige Funktionen einer Veranderlichen Polynome Die Exponentialfunktion Trigonometrische Funktionen Folgen - der Weg ins Unendliche Der Begriff einer Folge Elementare Eigenschaften von Zahlenfolgen Konvergenz Teilfolgen und Haufungspunkte Konvergenzkriterien Stetige Funktionen - kleine Ursachen haben kleine Wirkungen Zur Definition von Funktionen Beschrankte und monotone Funktionen Die Umkehrfunktion Grenzwerte fur Funktionen und die Stetigkeit Kompakte Mengen Satze uber reellwertige, stetige Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich Reihen - Summieren bis zum Letzten Die Idee der Reihen Kriterien fur Konvergenz Absolute Konvergenz Kriterien fiir absolute Konvergenz 235 Bibliografische Informationen digitalisiert durch

2 X I Inhaltsverzeichnis 9 Potenzreihen - Alleskonner unter den Funktionen Definition und Grundlagen Die Darstellung von Funktionen durch Potenzreihen Die Exponentialfunktion Trigonometrische Funktionen Der Logarithmus fur komplexe Argumente Differenzialrechnung - Veranderungen kalkulieren DieAbleitung Differenziationsregeln Verhalten differenzierbarer Funktionen Taylorreihen Spline-Interpolation Integrale - vom Sammeln und Bilanzieren Das Lebesgue-lntegral Stammfunktionen Integrale uber unbeschrankte Intervalle oder Funktionen Geometrische Anwendungen des Integrals Parameterintegrale Integrationstechniken - Tipps, Tricks und Naherungsverfahren Grundtechniken Partielle Integration Substitutionsmethode Integration rationaler Funktionen Numerische Integration Differenzialgleichungen - Zusammenspiel von Funktionen und ihren Ableitungen Begriffsbildungen Numerische Losungsmethoden Analytische Losungsmethoden Lineare Differenzialgleichungen hoherer Ordnung 443 Teil III: Lineare Algebra 14 Lineare Gleichungssysteme - Grundlagen der linearen Algebra Erste Losungsversuche Das Losungsverfahren von GauB und Jordan Das Ldsungskriterium und Anwendungen Numerische Losungsmethoden linearer Gleichungssysteme Vektorraume - Schauplatze der linearen Algebra Der Vektorraumbegriff Beispiele von Vektorraumen Untervektorraume Basis und Dimension Affine Teilraume Matrizen und Determinanten - Zahlen in Reihen und Spalten Addition und Multiplikation von Matrizen Das Invertieren von Matrizen Symmetrische und orthogonale Matrizen Numerische Losung linearer Gleichungssysteme Einfiihrung in die Determinanten Definition und Eigenschaften der Determinante Anwendungen der Determinante Lineare Abbildungen und Matrizen - abstrakte Sachverhalte in Zahlen ausgedruckt Ein einfiihrendes Beispiel Definition einer linearen Abbildung und Beispiele Kern, Bild und die Dimensionsformel Darstellungsmatrizen Basistransformation Determinanten von Endomorphismen

3 Inhaltsverzeichnis XI 18 Eigenwerte und Eigenvektoren - oder wie man Matrizen diagonalisiert Das Diagonalisieren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren Diagonalisierbarkeit von Matrizen Diagonalisierung symmetrischer und hermitescher Matrizen Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren Die Exponentialfunktion fur Matrizen Die Jordan-Normalform einer Matrix Analytische Geometrie - Rechnen start Zeichnen Punkte und Vektoren im Anschauungsraum Das Skalarprodukt im Anschauungsraum Weitere Vektorverkniipfungen im Anschauungsraum Wechsel zwischen kartesischen Koordinatensystemen Euklidische und unitare Vektorraume - Geometrie in hoheren Dimensionen Euklidische Vektorraume Norm, Abstand, Winkel, Orthogonalitat Orthonormalbasen und orthogonale Komplemente Numerische Losung linearer Gleichungssysteme Unitare Vektorraume Quadriken - ebenso niitzlich wie dekorativ Symmetrische Bilinearformen Hermitesche Sesquilinearformen Quadriken und ihre Hauptachsentransformation Die Singularwertzerlegung Die Pseudoinverse einer linearen Abbildung Tensorrechnung - geschicktes Hantieren mit Indizes Einfuhrung in die Tensoralgebra Kartesische Tensoren Lineare Optimierung - ideale Ausnutzung von Kapazitaten Typische Problemstellungen Sonderfalle von Optimierungsproblemen Definitionen und Theorie Wandern von Ecke zu Ecke Das Simplexverfahren 765 Teil IV: Analysis mehrerer reeller Variablen 24 Funktionen mehrerer Variablen - Differenzieren im Raum Wozu Funktionen von mehreren Variablen? Richtungsstetigkeit und Stetigkeit Partielle Ableitungen und Differenzierbarkeit Funktionen W -* W" Der Hauptsatz uber implizite Funktionen Extremwertaufgaben Gebietsintegrale - das Ausmessen von Korpern Definition und Eigenschaften Volumen, Masse und Schwerpunkt Die Transformationsformel Wichtige Koordinatensysteme Kurven und Flachen - von Krummung, Torsion und Langenmessung Ebene Kurven Die Bogenlange von Kurven Die Krummung ebener Kurven Raumkurven Darstellung von Flachen Basissysteme krummliniger Koordinaten Vektoranalysis - von Quellen und Wirbeln Skalar- und Vektorfelder Differenzialoperatoren Kurvenintegrale Oberflachenintegrale 912

4 XII Inhaltsverzeichnis 27.5 Integralsatze Differenzialoperatoren in krummlinigen Koordinaten Differenzialgleichungssysteme - ein allgemeiner Zugang zu Differenzialgleichungen Definition und qualitatives Losungsverhalten Existenz von Losungen Die Herleitung des Satzes von Picard- Lindelof Die Losung linearer Differenzialgleichungssysteme Numerische Verfahren fiir Anfangswertprobleme: Konvergenz, Konsistenz und Stabilitat Randwertprobleme: Theorie und numerische Verfahren Partielle Differenzialgleichung - Modelle von Feldern und Wellen Klassifizierung partieller Differenzialgleichungen Separationsansatze Quasilineare partielle Differenzialgleichungen erster Ordnung Potenzialtheorie Die Methode der finiten Elemente 1007 Teil V: Hohere Analysis 30.3 Fourierreihen Die diskrete Fouriertransformation Funktionalanalysis - Operatoren wirken auf Funktionen Normierte Raume, Banachraume, Hilbertraume Lineare, beschrankte Operatoren und Funktionale Funktionale und Distributionen Operatoren in Hilbertraumen Approximation von Operatoren Funktionentheorie - von komplexen Zusammenhangen Komplexe Funktionen und Differenzierbarkeit Komplexe Kurvenintegrale Laurent-Reihen und Residuensatz Integraltransformationen - Multiplizieren start Differenzieren Transformation von Funktionen Die Laplacetransformation Die Fouriertransformation Spezielle Funktionen - von Orthogonalpolynomen, Kugel- und Zylinderfunktionen Die Gammafunktion Differenzialgleichungen aus Separationsansatzen Das Sturm-Liouville-Problem Orthogonalpolynome und Kugelfunktionen Zylinderfunktionen Optimierung und Variationsrechnung - Suche nach dem Besten Optimierungsaufgaben Optimierung unter Nebenbedingungen Variationsrechnung Numerische Verfahren zur Optimierung Fouriertheorie - von schwingenden Saiten Trigonometrische Polynome Approximation im quadratischen Mittel. 1025

5 Inhaltsverzeichnis XIII Teil VI: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 38.3 Das Gesetz der groben Zahlen und der Hauptsatz der Statistik Mehrdimensionale zufallige Variable Spezielle Verteilungen - Modelle des Zufalls Spezielle diskrete Verteilungsmodelle Stetige Verteilungen Die Normalverteilungsfamilie Deskriptive Statistik - wie man Daten beschreibt Grundbegriffe Darstellungsformen Lageparameter Streuungsparameter Strukturparameter Mehrdimensionale Verteilungen Wahrscheinlichkeit - die Gesetze des Zufalls Wahrscheinlichkeits-Axiomatik Die bedingte Wahrscheinlichkeit Die stochastische Unabhangigkeit Kombinatorik Zufallige Variable - der Zufall betritt denr Der Begriff der Zufallsvariablen Erwartungswert und Varianz einer zufalligen Variablen Schatz- und Testtheorie - Bewerten und Entscheiden Grundaufgaben der induktiven Statistik Die Likelihood und der Maximum- Likelihood-Schatzer Die Giite einer Schatzung Konfidenzintervalle Grundprinzipien der Testtheorie Lineare Regression - die Suche nach Abhangigkeiten Die Ausgleichsgeraden Das Regressionsmodell Schatzen und Testen im linearen Modell Die lineare Einfachregression Fallstricke im linearen Modell 1414 Hinweise zu den Aufgaben 1423 Losungen zu den Aufgaben 1449 Bildnachweis 1479 Index 1481

6 Verzeichnis der Ubersichten Teil I Ratschlage fur das Studium Hoherer Mathematik 10 Logik - Junktoren und Quantoren 21 Umgang mit Wurzeln 47 Elementare Rechenregeln 62 Wichtige Gleichungen und Ungleichungen 75 Transformationen und Kombinationen von Funktionen 90 Exponentialfunktion und Logarithmus 108 Eigenschaften von sin und cos 114 Rechenregeln zu den komplexen Zahlen 127 Teil II Grenzwerte von Folgen 162 Die Klassifizierung der Folgen 169 Stetige Funktionen und Unstetigkeiten 192 Satze iiber Funktionen mit kompaktem Definitionsbereich und Gegenbeispiele 206 Wichtige Reihen 230 Konvergenzkriterien fur Reihen 237 Die Euler'sche Formel 271 Differenziationsregeln und Ableitungsfunktionen 298 Verhalten differenzierbarer Funktionen 315 Potenzreihen/Taylorreihen 324 Eigenschaften des Integrals 346 Tabelle der Stammfunktionen 354 Einige bestimmte Integrale 360 Integration von Partialbriichen 400 Standardsubstitutionen 403 Integrationstechniken 412 Differenzialgleichungen in den Anwendungen 429 Typen von Differenzialgleichungen 444 Ansatz vom Typ der rechten Seite 449 Teil 111 Eigenschaften der Determinante 546 Die linearen Abbildungen <p\ : v t-> Av mit einer Matrix A 571 Das (allgemeine) Diagonalisieren und das orthogonale Diagonalisieren 606 Vektorverkniipfungen im E Eigenschaften und Begriffe unitarer Vektorraume und unitarer Skalarprodukte 691 Teil IV Abbildungen K" -> R m 778 Zentrale Ungleichungen 815 Eigenschaften von Gebietsintegralen 827 Physikalische GroBen als Gebietsintegrale 839 Zusammengesetzte Differenzialoperatoren 907 Eigenschaften von Kurvenintegralen 913 Integralsatze 922 Differenzialoperatoren in Zylinder- und Kugelkoordinaten 927 Kritische Punkte bei einem linearen Differenzialgleichungssystem 939 Numerische Verfahren (kapiteliibergreifend) 973 Partielle Differenzialgleichungen 990 Methoden zur Behandlung partieller Differenzialgleichungen 1008 TeilV Fourierpolynome 1031 Rechenregeln fur Distributionen 1073 Gebiete in der komplexen Ebene 1096 Eigenschaften holomorpher Funktionen 1113 Die Laplacetransformation 1145 Eigenschaften der Fouriertransformation 1154 Orthogonalpolynome 1176 Approximation von Funktionen (kapitelubergreifend) 1192 Teil VI Eigenschaften der empirischen Verteilungsfunktion Lage- und Streungsparameter 1243 Kovarianz und Korrelation 1250 Formeln zur Wahrscheinlichkeitstheorie 1277 Kombinatorik 1278 Eigenschaften des Erwartungswerts und der Varianz Die Eigenschaften der Kovarianz und der Kovarianzmatrix 1310 Diskrete und stetige eindimensionale Verteilungen mit ihren Parametern 1349 Die Likelihood und Punktschatzer 1373 Die Schatzer und ihre Varianzen 1415