Josef Trölß. Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch

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2 Josef Trölß Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 2: Komplexe Zahlen und Funktionen Vektoralgebra und Analytische Geometrie Matrizenrechnung Vektoranalysis SpringerWienNewYork

3 Josef Trölß Puchenau/Linz, Österreich Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten Springer-Verlag/Wien Printed in Austria SpringerWien New York ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.at Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen. Produkthaftung: Sämtliche Angaben in diesem Fachbuch/wissenschaftlichen Werk erfolgen trotz sorgfältiger Bearbeitung und Kontrolle ohne Gewähr. Insbesondere Angaben über Dosierungsanweisungen und Applikationsformen müssen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall anhand anderer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Eine Haftung des Autors oder des Verlages aus dem Inhalt dieses Werkes ist ausgeschlossen. Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Druck: Börsedruck Ges.m.b.H., 1230 Wien, Österreich Gedruckt auf säurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier TCF SPIN: Mit zahlreichen Abbildungen Bibliografische Informationen der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN-10 ISBN SpringerWienNewYork SpringerWienNewYork

4 Vorwort Dieses Lehr- und Arbeitsbuch, aus dem vierbändigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad", richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler und Anwender, speziell im technischen Bereich, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten. Dieses vierbändige Werk wird ergänzt durch das Lehr- und Arbeitsbuch "Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad". Als grundlegende Voraussetzung für das Verständnis und die Umsetzung mathematischer und technischer Aufgaben mit Mathcad sind die im Band 1 ( Einführung in Mathcad) angeführten Grundlagen. Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und erfahren heute eine weitreichende Anwendung. Bei ingenieurmäßigen Anwendungen kommen CAS und CNV nicht nur für anspruchsvolle mathematische Aufgabenstellungen und Herleitungen in Betracht, sondern auch als Engineering Desktop Software für alle Berechnungen. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt von leistungsfähigen Werkzeugen zur Verfügung. So können mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt dargestellt werden. Berechnungen und ihre Resultate lassen sich besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Werden auf dem Arbeitsblatt einzelne Parameter variiert, so passt die Software umgehend alle betroffenen Formeln und Diagramme des Arbeitsblattes an diese Veränderungen an. Spielerisch lässt sich so das "Was-wäre-Wenn" untersuchen. Damit eignet sich diese Software in hervorragender Weise zur Simulation vieler Probleme. Auch die Visualisierung durch Animation kommt nicht zu kurz und fördert das Verständnis mathematischer Probleme. Ein weitere Vorteil besteht auch darin, dass die meisten mathematischen Ausdrücke mit modernen Editierfunktionen in gewohnter standardisierter mathematischer Schreibweise dargestellt werden können. Gliederung des zweiten Bandes In diesem Band wird eine leicht verständliche anwendungsorientierte und anschauliche Darstellung des mathematischen Stoffes gewählt. Definitionen, Sätze und Formeln werden für das Verständnis möglichst kurz gefasst und durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen und Graphiken näher erläutert. Dieses Buch wurde weitgehend mit Mathcad 12 erstellt, sodass die vielen angeführten Beispiele leicht nachvollzogen werden können. Sehr viele Aufgaben können aber auch mit älteren Versionen von Mathcad gelöst werden. Bei zahlreichen Beispielen werden die Lösungen teilweise auch von Hand ermittelt. Im vorliegenden Band werden folgende ausgewählte Stoffgebiete behandelt: Komplexe Zahlen und Funktionen: Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen, Darstellungsformen komplexer Zahlen, Rechnen mit komplexen Zahlen, Anwendungen komplexer Größen: komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen, Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz; Berechnungen im Wechselstromkreis: Widerstands- und Leitwertoperatoren und Wechselstromleistung, Ortskurven, komplexe Wechselstromrechnung im Schwingkreis, Amplituden- und Phasengang bei Vierpolen. Vektoralgebra und analytische Geometrie: Vektoren, Grundrechenoperationen von Vektoren, Darstellung der Vektoren im kartesischen Koordinatensystem, Vektorräume: Untervektorräume, lineare Unabhängigkeit, Basis und Dimension; Betrag eines Vektors, Produkte von Vektoren: Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt; analytische Geometrie: Teilung einer Strecke, Geradendarstellung, Ebenendarstellung, Darstellung nichtlinearer geometrischer Gebilde.

5 Matrizenrechnung: Reelle Matrizen: Transposition, Gleichheit von Matrizen, Multiplikation von Matrizen, Determinanten, reguläre und singuläre Matrix, inverse Matrix, orthogonale Matrix, Rang einer Matrix, Spur einer Matrix, verallgemeinerte inverse Matrix, Untermatrizen, verschiedene Matrixzerlegungen, lineare Gleichungssysteme, quadratische lineare Gleichungssysteme; komplexe Matrizen: konjugiert komplexe Matrix, konjugiert transponierte Matrix, hermitesche Matrix, schiefhermitesche Matrix, unitäre Matrizen, komplexe quadratische lineare Gleichungssysteme; Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix: Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix, Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix, Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermiteschen Matrix, verallgemeinertes Eigenwertproblem; Matrixnormen und Konditionszahlen. Anwendungen der Matrizenrechnung in der Elektrotechnik: einfache Anwendungen in der linearen Netzwerktechnik, Anwendungen in der Vierpoltheorie; Anwendungen in der Mechanik, Anwendungen in der Computergraphik, Anwendungen in der linearen Optimierung, Anwendungen in der Ökonomie. Vektoranalysis: Raumkurven: vektorielle Darstellung einer Kurve, Ableitung einer Vektorfunktion, Tangentenund Hauptnormaleneinheitsvektor und Krümmung einer Kurve; Flächen im Raum: vektorielle Darstellung einer Fläche, Kurven auf Flächen; ebene und räumliche Koordinatensysteme: zweidimensionale Koordinatensysteme (Kartesisches System und Polarkoordinatensystem), dreidimensionale Koordinatensysteme (Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten); Skalar- und Vektorfelder, klassische Differentialoperatoren: Gradient eines Skalarfeldes, Divergenz eines Vektorfeldes, Rotation eines Vektorfeldes; Mehrfachanwendung der Differentialoperatoren, Linien und Kurvenintegrale, Oberflächenintegrale von Vektorfeldern, Integralsätze von Gauß und Stokes. Spezielle Hinweise Beim Erstellen eines Mathcad-Dokuments ist es hilfreich, viele mathematische Sonderzeichen verwenden zu können. Dafür stehen z.b. folgende Schriftarten zur Verfügung: Symbol, Bookshelf Symbol 2, Bookshelf Symbol 4, Bookshelf Symbol 5, MT Extra, UniversalMath1 PT und IBM techexplorer Symbol A bis D. Einige Sonderzeichen stehen auch im "Ressourcen-Menü" von Mathcad zu Verfügung ( QuickSheets - Rechensymbole). Zum Einfügen verschiedener Zeichen ist z.b. das Programm Charmap.exe sehr nützlich. Dieses Programm findet man unter Zubehör-Zeichentabelle in Microsoft-Betriebssystemen. Viele Zeichen können aber auch aus dem ASCII-Code gewählt werden (Eingabe mit Alt-Taste und Zifferncode mit dem numerischen Rechenblock der Tastatur). Texte und Variable werden in diesem Buch in der Schriftart Arial dargestellt. Zur Darstellung von komplexen Variablen wird hier die Fettschreibweise mit Unterstreichung gewählt. Damit Variable zur Darstellung von Vektoren und Matrizen von normalen Variablen unterschieden werden können, werden diese hier in Fettschreibweise dargestellt. Die Darstellung von Vektoren mit Vektorpfeilen wird vor allem in Definitionen und Sätzen verwendet. Damit Variable, denen bereits ein Wert zugewiesen wurde, wertunabhängig auch für nachfolgende symbolische Berechnungen mit den Symboloperatoren (live symbolic) verwendet werden können, werden diese einfach redefiniert (z.b. x:=x). Davon wird öfters Gebrauch gemacht. Mein außerordentlicher Dank gebührt meinen geschätzten Kollegen Hans Eder und Bernhard Roiss für ihre Hilfestellungen bei der Herstellung des Manuskriptes, für wertvolle Hinweise und zahlreiche Korrekturen. Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen. Linz, im September 2005 Josef Trölß

6 Inhaltsverzeichnis 1. Komplexe Zahlen und Funktionen Allgemeines 1.2 Definition einer komplexen Zahl 1.3 Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen 1.4 Darstellungsformen komplexer Zahlen 1.5 Rechnen mit komplexen Zahlen Addition und Subtraktion von komplexen Zahlen Multiplikation und Division von komplexen Zahlen Potenzieren von komplexen Zahlen Wurzelziehen (Radizieren) von komplexen Zahlen Logarithmieren von komplexen Zahlen 1.6. Anwendungen von komplexen Zahlen Komplexe Darstellung von sinusförmigen Größen Überlagerung von Schwingungen gleicher Frequenz Berechnungen im Wechselstromkreis Widerstands- und Leitwertoperatoren und Wechselstromleistung 1.7 Ortskurven Geradlinige Ortskurven Ortskurve durch Inversion komplexer Größen Komplexe Wechselstromrechnung im Schwingkreis Amplitudengang und Phasengang bei Vierpolen Vektoralgebra und analytische Geometrie Vektoren 2.2 Grundrechenoperationen für Vektoren Addition von Vektoren Subtraktion von Vektoren Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl 2.3 Darstellung der Vektoren im kartesischen Koordinatensystem 2.4 Vektorräume Untervektorräume Lineare Unabhängigkeit Basis und Dimension 2.5 Betrag eines Vektors 2.6 Produkte von Vektoren Skalarprodukt

7 Inhaltsverzeichnis Vektorprodukt Spatprodukt 2.7 Analytische Geometrie Teilung einer Strecke Geradendarstellung Ebenendarstellung Darstellung nichtlinearer geometrischer Gebilde Matrizenrechnung Reelle Matrizen Transposition Gleichheit von Matrizen Multiplikation von Matrizen Determinanten Reguläre und singuläre Matrix Inverse Matrix Orthogonale Matrix Rang einer Matrix Spur einer Matrix Verallgemeinerte inverse Matrix Untermatrizen Verschiedene Matrixzerlegungen Lineare Gleichungssysteme Quadratische lineare Gleichungssysteme 3.2 Komplexe Matrizen Konjugiert komplexe Matrix Konjugiert transponierte Matrix Hermitesche Matrix Schiefhermitesche Matrix Unitäre Matrix Komplexe quadratische lineare Gleichungssysteme 3.3 Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren einer Diagonal- bzw. Dreiecksmatrix Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren einer hermitschen Matrix Verallgemeinertes Eigenwertproblem 3.4 Matrixnormen und Konditionszahlen

8 Inhaltsverzeichnis 3.5 Anwendungen der Matrizenrechnung Anwendungen der Matrizenrechnung in der Elektrotechnik Einfache Anwendungen in der Netzwerktechnik Anwendungen in der Vierpoltheorie Anwendungen in der Mechanik Anwendungen in der Computergrafik Anwendungen in der linearen Optimierung Anwendungen in der Ökonomie Vektoranalysis Raumkurven Vektorielle Darstellung einer Kurve Ableitung einer Vektorfunktion Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor und Krümmung einer Kurve Flächen im Raum Vektorielle Darstellung einer Fläche Kurven auf Flächen Ebene- und räumliche Koordinatensysteme Zweidimensionale Koordinatensysteme Dreidimensionale Koordinatensysteme Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Skalar- und Vektorfelder Skalarfelder Vektorfelder Klassische Differentialoperatoren Der Gradient eines Skalarfeldes Die Divergenz eines Vektorfeldes Die Rotation eines Vektorfeldes Mehrfach-Anwendung der Differentialoperatoren Linien- und Kurvenintegrale Oberflächenintegrale von Vektorfeldern Integralsätze von Gauß und Stokes 473

9 Inhaltsverzeichnis Anhang Übungsbeispiele Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis