Angewandte Mathematik mit Mathcad

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2 Josef Trölß Angewandte Mathematik mit Mathcad Lehr- und Arbeitsbuch Band 3 Differential- und Integralrechnung Dritte, aktualisierte Auflage SpringerWienNewYork

3 Mag. Josef Trölß Asten/Linz, Österreich Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. 2005, 2007, 2008 Springer-Verlag/Wien Printed in Germany SpringerWien New York ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.at Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen. Produkthaftung: Sämtliche Angaben in diesem Fachbuch/wissenschaftlichen Werk erfolgen trotz sorgfältiger Bearbeitung und Kontrolle ohne Gewähr. Insbesondere Angaben über Dosierungsanweisungen und Applikationsformen müssen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall anhand anderer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit überprüft werden. Eine Haftung des Autors oder des Verlages aus dem Inhalt dieses Werkes ist ausgeschlossen. Korrektorat: Mag. Eva-Maria Oberhauser/Springer-Verlag Satz: Reproduktionsfertige Vorlage des Autors Druck und Bindearbeiten: Strauss GmbH, Mörlenbach, Deutschland Gedruckt auf säurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier TCF SPIN: Mit zahlreichen Abbildungen Bibliografische Informationen der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN SpringerWienNewYork ISBN Aufl. SpringerWienNewYork

4 Vorwort Dieses Lehr- und Arbeitsbuch aus dem vierbändigen Werk "Angewandte Mathematik mit Mathcad" richtet sich vor allem an Schülerinnen und Schüler höherer Schulen, Studentinnen und Studenten, Naturwissenschaftlerinnen und Naturwissenschaftler sowie Anwenderinnen und Anwender, speziell im technischen Bereich, die sich über eine computerorientierte Umsetzung mathematischer Probleme informieren wollen und dabei die Vorzüge von Mathcad möglichst effektiv nützen möchten. Dieses vierbändige Werk wird ergänzt durch das Lehr- und Arbeitsbuch "Einführung in die Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung und in die Qualitätssicherung mithilfe von Mathcad". Als grundlegende Voraussetzung für das Verständnis und die Umsetzung mathematischer und technischer Aufgaben mit Mathcad gelten die im Band 1 (Einführung in Mathcad) angeführten Grundlagen. Computer-Algebra-Systeme (CAS) und computerorientierte numerische Verfahren (CNV) vereinfachen den praktischen Umgang mit der Mathematik ganz entscheidend und erfahren heute eine weitreichende Anwendung. Bei ingenieurmäßigen Anwendungen kommen CAS und CNV nicht nur für anspruchsvolle mathematische Aufgabenstellungen und Herleitungen in Betracht, sondern auch als Engineering Desktop Software für alle Berechnungen. Mathcad stellt dazu eine Vielfalt von leistungsfähigen Werkzeugen zur Verfügung. So können mathematische Formeln, Berechnungen, Texte, Grafiken usw. in einem einzigen Arbeitsblatt dargestellt werden. Berechnungen und ihre Resultate lassen sich besonders einfach illustrieren, visualisieren und kommentieren. Werden auf dem Arbeitsblatt einzelne Parameter variiert, so passt die Software umgehend alle betroffenen Formeln und Diagramme des Arbeitsblattes an diese Veränderungen an. Spielerisch lässt sich so das "Was wäre wenn" untersuchen. Damit eignet sich diese Software in hervorragender Weise zur Simulation vieler Probleme. Auch die Visualisierung durch Animation kommt nicht zu kurz und fördert das Verständnis mathematischer Probleme. Ein weiterer Vorteil besteht auch darin, dass die meisten mathematischen Ausdrücke mit modernen Editierfunktionen in gewohnter standardisierter mathematischer Schreibweise dargestellt werden können. Gliederung des dritten Bandes In diesem Band wird eine leicht verständliche anwendungsorientierte und anschauliche Darstellung des mathematischen Stoffes gewählt. Definitionen, Sätze und Formeln werden für das Verständnis möglichst kurz gefasst und durch zahlreiche Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik und anhand vieler Abbildungen und Grafiken näher erläutert. Dieses Buch wurde weitgehend mit Mathcad 14 (M011) erstellt, sodass die vielen angeführten Beispiele leicht nachvollzogen werden können. Sehr viele Aufgaben können aber auch mit älteren Versionen von Mathcad gelöst werden. Bei zahlreichen Beispielen werden die Lösungen teilweise auch von Hand ermittelt. Im vorliegenden Band werden folgende ausgewählte Stoffgebiete behandelt: Folgen, Reihen und Grenzwerte: reelle Zahlenfolgen, Eigenschaften von Folgen, arithmetische und geometrische Folgen, arithmetische endliche Reihen, geometrische endliche Reihen, Grenzwerte von unendlichen Folgen, Grenzwerte von unendlichen Reihen, geometrische unendliche Reihen. Grenzwerte einer reellen Funktion und Stetigkeit: Grenzwerte einer reellen Funktion, Stetigkeit von reellen Funktionen, Eigenschaften stetiger Funktionen, Verhalten reeller Funktionen im Unendlichen. Differentialrechnung: Differenzen- und Differentialquotient (Sekante und Tangente), Ableitungsregeln von reellen Funktionen in kartesischer Darstellung, Parameterdarstellung und Polarkoordinatendarstellung, Krümmung ebener Kurven, Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken, Kurvenuntersuchungen, Extremwertaufgaben, Differential einer Funktion (angenäherte Funktionswertberechnung und Fehlerbestimmung), Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen (Newton-Verfahren und Regula Falsi), Interpolationskurven, Funktionen mit mehreren Variablen, partielle Ableitungen, Fehlerrechnung, Ausgleichsrechnung.

5 Integralrechnung: unbestimmtes Integral, bestimmtes Integral, Integrationsmethoden, uneigentliches Integral erster und zweiter Art, numerische Integration (Mittelpunkts- und Trapezregel, Kepler- und Simpsonregel), Berechnung der Bogenlänge, Flächenberechnung (ebene Flächen und Mantelflächen von Rotationskörpern), Volumsberechnung, Schwerpunktsberechnung, Trägheitsmomente, Biegelinien, Arbeitsintegrale, hydromechanische Berechnungen, Mittelwerte, Mehrfachintegrale. Spezielle Hinweise Beim Erstellen eines Mathcad-Dokuments ist es hilfreich, viele mathematische Sonderzeichen verwenden zu können. Ein recht umfangreicher Zeichensatz ist die Unicode-Schriftart "Arial". Eine neue Mathematikschriftart (Unicode-Schriftart "Mathcad UniMath") von Mathcad erweitert die verfügbaren mathematischen Symbole (wie z. B. griechische Buchstaben, mathematische Operatoren, Symbole und Pfeile) beträchtlich. Einige Sonderzeichen aus der Unicode-Schriftart "Arial" stehen auch im "Ressourcen-Menü" von Mathcad zur Verfügung (QuickSheets-Gesonderte Rechensymbole). Spezielle Zeichen finden sich auch in anderen Zeichensätzen wie z. B. Bookshelf Symbol 2, Bookshelf Symbol 4, Bookshelf Symbol 5, MT Extra, UniversalMath1 PT, Castellar und CommercialScript BT. Empfohlen wird aber der Einsatz von reinen Unicode-Schriftarten. Zum Einfügen verschiedener Zeichen aus verschiedenen Zeichensätzen ist das Programm Charmap.exe sehr nützlich. Dieses Programm finden Sie unter Zubehör-Zeichentabelle in Microsoft-Betriebssystemen. Es gibt aber auch andere nützliche Zeichentabellen-Programme. Viele Zeichen können aber auch mithilfe des ASCII-Codes (siehe Zeichentabelle) eingefügt werden (Eingabe mit Alt-Taste und Zifferncode mit dem numerischen Rechenblock der Tastatur). Zur Darstellung von komplexen Variablen wird hier die Fettschreibweise mit Unterstreichung gewählt. Damit Variable zur Darstellung von Vektoren und Matrizen von normalen Variablen unterschieden werden können, werden diese hier in Fettschreibweise dargestellt. Die Darstellung von Vektoren mit Vektorpfeilen wird vor allem in Definitionen und Sätzen verwendet. Damit Variable, denen bereits ein Wert zugewiesen wurde, wertunabhängig auch für nachfolgende symbolische Berechnungen mit den Symboloperatoren (live symbolic) verwendet werden können, werden diese einfach redefiniert (z. B. x:=x). Davon wird öfters Gebrauch gemacht. Danksagung Mein außerordentlicher Dank gebührt meinen geschätzten Kollegen Hans Eder und Bernhard Roiss für ihre Hilfestellungen bei der Herstellung des Manuskriptes, für wertvolle Hinweise und zahlreiche Korrekturen. Hinweise, Anregungen und Verbesserungsvorschläge sind jederzeit willkommen. Linz, im Februar 2008 Josef Trölß

6 Inhaltsverzeichnis 1. Folgen, Reihen und Grenzwerte Folgen Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Reihen Arithmetische endliche Reihen Geometrische endliche Reihen Grenzwerte von unendlichen Folgen Grenzwerte von unendlichen Reihen Grenzwerte einer reellen Funktion und Stetigkeit Grenzwerte einer reellen Funktion Stetigkeit von reellen Funktionen Eigenschaften stetiger Funktionen Verhalten reeller Funktionen im Unendlichen Differentialrechnung Die Steigung der Tangente - Der Differentialquotient Die physikalische Bedeutung des Differentialquotienten Ableitungsregeln für reelle Funktionen Ableitung der linearen Funktion Potenzregel Konstanter Faktor und Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Ableitungen von Funktionen und Relationen in impliziter Darstellung Ableitung der Exponential- und Logarithmusfunktion Ableitung von Kreis- und Arkusfunktionen Ableitung von Hyperbel- und Areafunktionen Höhere Ableitungen Ableitungen von Funktionen in Parameterdarstellung Ableitungen von Funktionen in Polarkoordinatendarstellung Krümmung ebener Kurven Grenzwerte von unbestimmten Ausdrücken 134

7 Inhaltsverzeichnis 3.3 Kurvenuntersuchungen Extremwertaufgaben Das Differential einer Funktion Angenäherte Funktionswertberechnung Angenäherte Fehlerbestimmung Näherungsverfahren zum Lösen von Gleichungen Das Newton-Verfahren Das Sekantenverfahren Interpolationskurven Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Allgemeines Partielle Ableitungen Fehlerrechnung Ausgleichsrechnung Integralrechnung Das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral Integrationsmethoden Grundintegrale Integration durch Substitution Partielle Integration Integration durch Partialbruchzerlegung Uneigentliche Integrale Uneigentliche Integrale 1. Art Uneigentliche Integrale 2. Art Numerische Integration Mittelpunkts- und Trapezregel Kepler- und Simpsonregel Anwendungen der Integralrechnung Bogenlänge einer ebenen Kurve Berechnung von Flächeninhalten Berechnung von Flächeninhalten unter einer Kurve Berechnung von Flächeninhalten zwischen zwei Kurven Mantelflächen von Rotationskörpern Volumsberechnung 334

8 Inhaltsverzeichnis Berechnung von Schwerpunkten Schwerpunkt eines Kurvenstückes Schwerpunkt einer Fläche Schwerpunkt einer Drehfläche Schwerpunkt eines Drehkörpers Berechnung von Trägheitsmomenten Das Massenträgheitsmoment Das Flächenträgheitsmoment Berechnung von Biegelinien Berechnung von Arbeitsintegralen Berechnungen aus der Hydromechanik Berechnung von Mittelwerten Mehrfachintegrale Doppelintegrale Dreifachintegrale 409 Anhang Übungsbeispiele 415 Literaturverzeichnis 480 Sachwortverzeichnis 482