JoachimlRisius. Vektorrechnung. Koordinaten, Vektoren, Matrizen, Tensoren und Grundlagen der Vektoranalysis. VOGEL-VERU^G

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1 JoachimlRisius Vektorrechnung Koordinaten, Vektoren, Matrizen, Tensoren und Grundlagen der Vektoranalysis. VOGEL-VERU^G

2 Inhaltsverzeichnis 1. Darstellung von Punkten durch Koordinatensysteme Die wichtigsten Koordinatensysteme Rechtwinklige Koordinaten und Polarkoordinaten in der Ebene Räumliche kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten Bemerkungen zu allgemeinen Koordinatensystemen Rechts- und Linksschraubensysteme Orientierung von Koordinatenachsen und Vorzeichen von Drehungen in der Ebene Einführung der Schraube Orientierung der Koordinatenachsen im Raum Transformation rechtwinkliger Punktkoordinaten in der Ebene Darstellung von Vektoren in kartesischen Koordinaten Einführung: Die gerichtete Strecke Erklärung und symbolische Darstellung Vektorkoordinaten Betrag Bestimmungsgrößen der gerichteten Strecke Addition gerichteter Strecken Transformation der Vektorkoordinaten gerichteter Strecken in der x,y-ebene Skalare und Vektoren in der Physik Beispiele aus der Punktmechanik Skalar- und Vektorfelder Elementares Rechnen mit Vektoren Einführung der Koordinatenschreibweise Addition, Subtraktion und Multiplikation mit Skalar Komponentendarstellung, Einheitsvektoren Transformation der Vektorkoordinaten Bemerkung über Spalten und Vektoren Einführung des Ortsvektors Produktartige Verknüpfung zwischen Vektoren Inneres Produkt Vorbereitung: Projektion in der Ebene Geometrische Definition Komponentendarstellung des inneren Produktes Innere Produktbildung in der Physik : Arbeit, Potentialdifferenz, Linienintegral Durchströmung einer Fläche, Flächenvektor, Flächenintegral Quellstärke, Oberflächenintegral Wirbelstärke, Ringintegral Äußeres Produkt Vorbereitung: Flächeninhalt in der Ebene 38 7

3 Geometrische Definition Komponentendarstellung v Äußere Produktbildung in der Physik Vektor einer infinitesimalen Drehung Polare und axiale Vektoren Axiale Vektoren in der Mechanik Vektorprodukte in der Elektrizitätslehre Geometrische Anwendungen Geometrische Veranschaulichung der Lösung linearer Gleichungssysteme (mit zwei Unbekannten) Gemischte Produkte Zwei Sätze aus der sphärischen Trigonometrie Weitere Arten der Produktbildung mit Vektoren Komplexes Produkt Dyadisches Produkt Matrizen Einführung Addition und Subtraktion Matrizenmultiplikation Einführung Inneres Produkt als Spezialfall des Matrizenproduktes Gestürzte Matrix Eigenschaften der Matrizenmultiplikation Äußeres Produkt in Matrizenschreibweise Quadratische Matrizen Einführung Einheitsmatrix Matrizenpolynome Die inverse Matrix Einführung Geometrische Veranschaulichung der Lösung von Gleichungssystemen mit drei Unbekannten Allgemeine Formel für die inverse Matrix Lösbarkeit des Gleichungssystems Vektorrechnung in schiefwinkligen Koordinaten Basisvektoren und reziproke Basisvektoren Beziehungen zwischen Basis- und reziproken Basisvektoren Kovariante und kontravariante Koordinaten Inneres und äußeres Produkt in schiefwinkligen Koordinaten Volumen in schiefwinkligen Koordinaten (Veranschaulichung des Determinanten-Multiplikationssatzes) Orthogonale Transformation Vorbereitung: Drehung und Spiegelung in der Ebene Transformation der Vektorkoordinaten polarer Vektoren Transformationsmatrizen für die Einheitsvektoren und für die Vektorkoordinaten Die Determinante der Transformationsmatrix 71 8

4 5.3. Transformation von axialen Vektoren, Vektorprodukten und dyadischen Produkten Axiale Vektoren Transformation des Vektorprodukts Transformation des dyadischen Produkts Transformation linearer Zusammenhänge zwischen den Koordinaten zweier Vektoren, Einführung des Tensors Bemerkungen zur Nomenklatur der Tensorrechnung Summationskonvention Verallgemeinerte Definition der dyadischen Produktbildung, Verallgemeinerung des Tensorbegriffs Veranschaulichung von Tensoren durch Kurven und Flächen zweiter Ordnung Vorbereitung: Darstellung von Skalarfeldern Skalarfeld als inneres Produkt aus Ortsvektor und Vektorfeld Gerade und Ebene, Hessesche Normalform Kurven und Flächen zweiter Ordnung in Mittelpunktsform Quadratische Formen Vorläufige Bemerkungen zur geometrischen Interpretation der Mittelpunktsform Allgemeine Form, Zusammenhang mit Mittelpunktsform Matrixformulierung der Parallelverschiebung Kurven zweiten Grades Parabel Kreis Ellipse und Hyperbel Die charakteristische Gleichung Hauptachsentransformation für Kurven zweiter Ordnung Geometrische Interpretation der charakteristischen Gleichung Bestimmung der Hauptachsenrichtungen Hauptachsentransformation für Flächen zweiter Ordnung Formulierung der Aufgabe Charakteristische Gleichung Geometrische Interpretation der Koeffizienten der charakteristischen Gleichung Differentiation von Vektoren und Einheitsvektorsystemen nach einer skalaren Variablen Ableitung bei festem Koordinatensystem Der abgeleitete Vektor Produktregeln Geschwindigkeit und Beschleunigung Einführung veränderlicher Einheitsvektorsysteme Bahnkoordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Differentiation von rechtwinkligen Einheitsvektorsystemen Zusammenhang zwischen den Einheitsvektoren und ihren Ableitungen 110 9

5 Darstellung der Ableitungen mit einem Drehvektor Geschwindigkeit und Beschleunigung bei bewegtem Bezugssystem Beziehungen zwischen den Geschwindigkeiten Differentiation eines Vektors bei bewegtem Bezugssystem Beziehungen zwischen den Beschleunigungen Räumliche Differentialoperationen an Skalar- und Vektorfeldern in kartesischen Koordinaten Vorbemerkung Differentiation nach einer Raumrichtung Skalarfelder Vektorfelder Der Nabla-Operator Differentialoperationen erster Ordnung Der Feldfluß Die Zirkulation Die Divergenz Die Rotation Gradient als Grenzwert eines Oberflächenintegrals Verformung und Drehung kleiner Flächen und Körper im Strömungsfeld Verformung kleiner Flächen in einer ebenen Strömung Verformung kleiner Körper im Strömungsfeld Orthogonale Transformation der Vektordifferentialoperationen Transformation des Nabla-Operators Transformation von grad (v), div (v) und rot (v) Produktregeln Differentialoperationen zweiter Ordnung Skalarfelder Vektorfelder Differentialoperationen in krummlinigen, orthogonalen Koordinaten Allgemeine Einführung Koordinatenflächen und Ortskurven Orthogonalität der Ortskurven Die Geometriefaktoren Darstellung der Geometriefaktoren und des Linienelementes als Funktion der kartesischen Koordinaten Differentiation nach einer Raumrichtung Skalarfeld, Nabla-Operator Vektorfeld Differentialoperationen erster Ordnung Der Feldfluß Die Zirkulation Divergenz und Rotation Gradient als Grenzwert eines Oberflächenintegrals Darstellung der Differentialoperationen mit dem Nabla-Operator Der Laplace-Operator in krummlinigen Koordinaten Zusammenfassung und Anwendung auf Zylinder- und Kugelkoordinaten