EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG

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1 EINFÜHRUNG IN DIE VEKTORRECHNUNG FÜR NATURWISSENSCHAFTLER, CHEMIKER UND INGENIEURE Von DR. HUGO SIRK t weil. Professor an der Universität Wien 2. neubearbeitete Auflage von DRANG. OTTO RANG Professor an der Staatl. Ingenieurschule Mannheim und apl. Professor an der Technischen Hochschule Darmstadt Mit 146 Abbildungen und 147 Übungsaufgaben DARMSTADT 1969 DR. DIETRICH STEINKOPFF VERLAG

2 Titel der ersten Auflage: H. SIRO: Einflihrung in die Vektorrechnung flir Naturwissenschaftler und Chemiker (Darmsladt 1958) ISBN ISBN (ebook) DOI / Alle Rechte vorbehalten Kein Teil dieses Buches darf in irgendeiner Form (durch Photokopie, Xerographie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert werden 1969 hy Dr. Dietrich SteinkopffVerlag, Darmsladt Gesamtherstellung: Druckerei Dr. A. Krebs, Weinheim und Hemsbach/Bergstr.

3 Aus dem Vorwort zur ersten Auflage Aus einer langjährigen Lehrerfahrung an der Wiener Universität ist dieses Buch entstanden. Ich hatte die Aufgabe, Studenten der Naturwissenschaften in die Vektorrechnung einzuführen. Meine Lehrtätigkeit hat mich überzeugt, daß die Studenten anschließend an die Erlernung der Elemente der Differential- und Integralrechnung in die Vektorrechnung eingeführt werden sollen. Dementsprechend werden in diesem Buch Grundbegriffe der Differential- und Integralrechnung vorausgesetzt. Ich folge der Methode meiner Vorlesungen, die Begriffe der Vektorrechnung an Beispielen aus den Naturwissenschaften zu entwickeln und ihre praktische Brauchbarkeit sogleich durch wichtige Anwendungen zu zeigen. Diese Gliederung des Stoffes bringt es mit sich, daß oft ein und dasselbe naturwissenschaftliche Problem an mehreren Stellen behandelt wird. Meinem Bestreben, die gebrachten Formeln möglichst vielseitig anzuwenden, wurde nur durch den verhältnismäßig engen Rahmen des Buches eine Grenze gesetzt. Vielen Dank spreche ich meinen Fachgenossen aus, die meine Arbeit mit Rat und Tat unterstützt haben. So Herrn Prof. Dr. RAAz und Herrn Assistenten Dr. WITIMANN, Herrn Prof. Dr. STEINHAUSER und Herrn Observator Dr. KLEITER, sowie Herrn Prof. Dr. JOST und schließlich Herrn Dozenten Dr. WENGER. Aufrichtiger Dank gebührt auch dem Verlag Dr. DIETRICH STEINKOPFF für sein bereitwilliges Entgegenkommen in allen Fragen, die mit der Fertigstellung des Buches zusammenhängen. Wien, im April 1957 H. SIRK Vorwort zur zweiten, völlig neu bearbeiteten Auflage Bei der Überarbeitung des Buches ließ ich mich von dem Wunsch leiten, es möge in erster Linie ein Lembuch bleiben, nicht aber zu einem nach Perfektion strebenden Lehrbuch im üblichen Sinne werden. Infolgedessen ist nach wie vor der methodischen Anschaulichkeit der Vorzug gegenüber axiomatischer Strenge gegeben. Im Interesse leichter Einprägsamkeit wurden fast sämtliche Abbildungen neu entworfen, ihre Anzahl wurde erheblich vermehrt. Der Text wurde fast völlig neu formuliert, wobei vor allem auf eine übersichtlichere Gliederung geachtet wurde. Jedes Kapitel wurde um entsprechende Übungsaufgaben erweitert. Hinzugekommen ist die Behandlung von Zylinder- und Kugelkoordinaten, und der Rahmen für die Vektoranalysis erfuhr eine merkliche Erweiterung. Schließlich finden auch Tensoren im Zusammenhang mit dem dyadischen Produkt und dem Vektorgradient ganz am Rande Erwähnung. Darmstadt, im Juni 1969 O.RANG

4 Inhaltsverzeichnis Aus dem Vorwort zur ersten Auflage.... Vorwort zur zweiten, völlig neu bearbeiteten Auflage III III 1. Die Vektordermition und einfachere Gesetzmäßigkeiten 1.1 Skalare und Vektoren. Skalare Vektoren.... Der Betrag eines Vektors Die Summe und die Differenz von Vektoren. 4 Eigenschaften der Vektorsumme. 4 Das Kraftpolygon Die Vektordifferenz Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar. 6 Zur Definition Beispiele aus der Physik 7 Das distributive Gesetz Einsvektoren Die lineare Abhängigkeit von Vektoren 9 Die Kollinearität Die Komplanarität Vektoren im dreidimensionalen Raum.. 10 Der Beweis durch Vektorrechnung, daß sich die Diagonalen in einem Parallelogramm gegenseitig halbieren Das Raumgitter Die Zerlegung eines Vektors in Komponenten 13 Definition der Vektorzerlegung Beispiele aus der Physik Zerlegung in orthogonale Komponenten Das kartesische Koordinatensystem 15 Die Kennzeichnung des kartesischen Systems durch seine Koordinatenvektoren. 15 Ortsvektoren Vektorgleichungen in kartesischen Koordinaten Die Formulierung physikalischer Gesetzmäßigkeiten in kartesischen Koordinaten Übungsaufgaben Nr. 1 bis Nr Produkte zweier Vektoren 2.1 Das skalare Produkt... 20

5 Inhaltsverzeichnis V Definitionsmöglichkeiten von Produkten von Vektoren 20 Ein Beispiel aus der Physik Die Definition des skalaren Produktes.... o. 20 Eigenschaften des skalaren Produktes Eigenschaften, die das skalare Produkt nicht hat 22 Sonderfälle von skalaren Produkten Zwei Beispiele zu den Sonderfällen des skalaren Produktes. 23 Die skalaren Produkte der Koordinatenvektoren Die skalare Multiplikation eines Vektors mit einem Einsvektor Geometrische und physikalische Anwendungsbeispiele zum skalaren Produkt. 24 Der Kosinussatz der ebenen Trigonometrie Satz: Die Summe der Quadrate über den Diagonalen eines Parallelogramms ist gleich der Summe der Quadrate über den vier Seiten 25 Die Gleichung einer Ebene. 25 Laues Interferenzbedingung. 26 Die Millerschen Indizes Die Phase einer ebenen Welle Die Komponentendarstellung des skalaren Produktes Die Transformation kartesischer Komponenten Die Verschiebung des Koordinatensystems... Die Drehung des Koordin~tensystems..... Ein Beispiel: Drehung des Koordinatensystems um die z-achse. 2.5 Vbungsaufgaben zum skalaren Produkt Nr. 15 bis Nr Das dyadische Produkt Zur Definition Eigenschaften des dyadischen Produktes Die Komponentendarstellung des dyadischen Produktes Das Vektorprodukt Ein Beispiel aus der Geometrie.. 37 Die Definition des Vektorproduktes 37 Eigenschaften des Vektorproduktes. 38 Eigenschaften, die das Vektorprodukt nicht hat 41 Sonderfälle von Vektorprodukten Zwei Beispiele zu den Sonderfällen des Vektorproduktes. 42 Die Vektorprodukte der Koordinatenvektoren Die vektorielle Multiplikation eines Vektors mit einem Einsvektor Geometrische und physikalische Anwendungsbeispiele zum Vektorprodukt 44 Der Sinussatz der ebenen Trigonometrie 44 Der Abstand zweier Geraden Der infinitesimale Winkel Die magnetische Kraft auf eine bewegte elektrische Punktladung 47 Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter 47 Das Drehmoment einer Kraft Das Drehmoment eines Kräftepaares Die Komponentendarstellung des Vektorproduktes

6 VI Inhaltsverzeichnis 2.11 tjbungsaufgaben zum Vektorprodukt und zum. dyadischen Produkt Nr. 35 bis Nr Die Differentiation von Vektoren nach Skalaren 3.1 Die Definition des Differentialquotienten eines Vektors nach einem Skalar. 52 Der Differentialquotient als Grenzwert.. 52 Ein Beispiel: Der Geschwindigkeitsvektor Die Differentiation einer Vektorsumme Die Differentiation eines Produktes aus Vektor und Skalar 53 Ein Beispiel: Differentiation eines Vektors, der als Produkt aus Betrag und Einsvektor dargestellt ist ' Die Differentiation eines Vektors in kartesischen Koordinaten Ein Beispiel: die Geschwindigkeit in kartesischen Koordinaten Ein Beispiel für mehrfache Differentiation: der Beschleunigungsvektor Die Differentiation von Produkten von Vektoren. 58 Die Differentiation des skalaren Produktes 58 Die Differentiation des Vektorproduktes Anwendungsbeispiele aus der Geometrie. 59 Die Frenetschen Formeln Anwendungsbeispiele aus der Physik.. 62 Die Rotationsgeschwindigkeit eines starren Körpers 62 Die Bewegung einer elektrischen Ladung in einem homogenen Magnetfeld. 63 Der Flächensatz (zweites Keplersches Gesetz).. ' Das beschleunigte, jedoch nicht rotierende Bezugssystem. 66 Das rotierende Bezugssystem Die Bewegungsgleichung eines Systems von Massenpunkten 71 Das Drehmoment auf ein System von Massenpunkten.. 72 Dralländerung und Drehmoment auf ein System von Massenpunkten tjbungsaufgaben Nr. 44 bis Nr Mehrfache Produkte von Vektoren 4.1 Das Spatprodukt 75 Definition 75 Eigenschaften des Spatproduktes. 75 Das Spatprodukt in kartesischen Koordinaten Der Entwicklungssatz Das gemischte Dreifachprodukt Die tjberschiebung zweier dyadischer Produkte Anwendungsbeispiele aus der Geometrie. 81 Der Sinussatz der sphärischen Trigonometrie 81 Die Kosinussätze der sphärischen Trigonometrie. 82 Zu den Frenetschen Formeln Anwendungsbeispiele aus der Physik 84 Das Drehmoment. 84

7 Inhaltsverzeichnis Die Energie eines Dipols im elektrischen Feld Die induzierte Spannung in einem geradlinigen, bewegten Leiter Die Driftgeschwindigkeit geladener Partikel in Gasentladungen. Das reziproke Gitter Die Bedeutung des reziproken Gitters Anwendung des reziproken Gitters, die Ewaldsche Ausbreitungskugel. Die Braggsche Interferenzbedingung 4.7 Übungsaufgaben Nr. 56 bis Nr. 66. VII Der Gradient 5.1 Das Skalarfeld und der Gradient Der Begriff des Gradienten Der Gradient in kartesischen Koordinaten Die Richtungsableitung einer Ortsfunktion Das totale Differential... Der Gradient einer Summe Der Gradient eines Produktes Der Gradient der Funktion einer Ortsfunktion. 5.2 Das Gradientenfeld.... Vektorlinien Das Linienintegral eines Gradienten Das Potentialfeld Die Berechnung von Linienintegralen. 5.3 Anwendungsbeispiele Die Tangentialfläche an eine gekrümmte Fläche Physikalische Anwendungen des Potentialbegriffs Das elektrostatische Feld Die potentielle Energie eines Moleküls mit elektrischem Dipolmoment Elektrizitätsleitung und Wärmeleitung.. Die Diffusion Das Vektorfeld und der Vektorgradient. Der Begriff des Vektorgradienten.... Die Richtungsableitung in einem Vektorfeld Der Vektorgradient in kartesischen Koordinaten. 113 Der substantielle (oder auch konvektive) zeitliche Differentialquotient in einem strömenden Medium Die hydrodynamische Grundgleichung Die Reihenentwicklung von Ortsfunktionen 116 Die Kraftwirkung eines elektrischen Feldes auf eine Anzahl elektrischer Punktladungen Übungsaufgaben Nr. 67 bis Nr Die Divergenz und die Rotation 6.1 Das Quellenfeld und der Begriff der Divergenz. Vektorlinien. Der Vektorfluß.y ektorröhren

8 VIII Inhaltsverzeichnis Die Divergenz. '.' Die Divergenz einer Summe Die Divergenz eines Produktes aus ortsabhängigem Vektor und konstantem Skalar 127 Die Divergenz in kartesischen Koordinaten Der Gaußsehe Integralsatz Der Gaußsche Satz Die Berechnung von Flächenintegralen in kartesischen Koordinaten 129 Die Berechnung von Volumenintegralen in kartesischen Koordinaten Anwendungsbeispiele Die Wärmeleitungsgleichung Das Strömungsfeld einer inkompressiblen Flüssigkeit. 135 Das quellenfreie elektrostatische Feld Die Herleitung der Grundformel der kinetischen Gastheorie aus dem Virialsatz. 135 Das elektrostatische Feld einer Punktladung Das Feld in der Grenzschicht einer Halbleiter-Diode Das Wirbelfeid und der Begriff der Rotation. 141 Die Zirkulation und die Zirkulationsdichte 141 Die Rotation Der Rotor einer Summe Der Rotor eines Produktes aus ortsabhängigem Vektor und konstantem Skalar. 144 Der Rotor in kartesischen Koordinaten Der Stokessehe Integralsatz Die Gesamtzirkulation aneinandergrenzender Flächen 145 Der Stokessche Satz Anwendungsbeispiele Der Rotor des Geschwindigkeitsvektors bei der Drehung eines starren Körpers. 147 Ein Beispiel für ein Strömungsfeld einer laminar strömenden viskosen Flüssigkeit. 148 Anwendung des Durchflutungsgesetzes zur Feldstärkenberechnung. 148 Die Maxwellschen Gleichungen Übungsaufgaben Nr. 92 bis Nr Erweiterte räumliche Differentiation 7.1 Der Nabla-Operator Die Verallgemeinerung des Gaußschen Satzes Der Operator Nabla Der Operator Nabla in kartesischen Koordinaten Die Invarianz des 'V-Operators gegen Drehung des Koordinatensystems. 7.2 Die räwnliche Differentiation von Produkten Der Einwirkungspfeil. grad (ST). div(sa). rot(sa). div(a x B) div(a B). rot (A x B) grad (A B)

9 Inhaltsverzeichnis IX 7.3 Die Kettenregel bei räumlicher Differentiation. 7.4 Mehrfache räumliche Differentiation Die Rotation eines Gradienten. Die Divergenz einer Rotation. Der Laplace-Operator Anwendung des Laplace-Operators auf Vektoren. Anwendung des Laplace-Operators auf Produkte. Die Greenschen Integralsätze 7.5 Anwendungsbeispiele Die Energiedichte des elektrischen Feldes. Die Wellengleichung als Folge der Maxwellschen Gleichungen Die Eichung des Vektorpotentials Die Kontinuitätsgleichung bei kompressiblen Medien. Erweiterung der Kontinuitätsgleichung auf chemische Reaktionen Der Lagrange-Satz über die Wirbelfreiheit. Das Quadrupolmoment. 7.6 Übungsaufgaben Nr. 118 bis Nr Zylinder- und Kugelkoordinaten 8.1 Zylinderkoordinaten Die Koordinaten-Umrechnung.... Die Vektordarstellung in Zylinderkoordinaten. Die Transformationsgleichungen für Vektoren. Spezielle Vektoren in Zylinderkoordinaten Differentiationen in Zylinderkoordinaten.. Die Differentiation der Koordinaten-Einsvektoren Der Gradient in Zylinder koordinaten..... Die Divergenz in Zylinderkoordinaten.... Der Laplace-Operator in Zylinder koordinaten. Die Rotation in Zylinderkoordinaten..... Die Zweckmäßigkeit der Zylinderkoordinaten für zylindersymmetrische Felder. 8.3 Kugelkoordinaten Die Koordinaten-Umrechnung Die Transformationsgleichungen für Vektoren. 8.4 Differentiationen in Kugelkoordinaten... Die Differentiation der Koordinaten-Einsvektoren Der Gradient in Kugelkoordinaten.... Die Divergenz in Kugelkoordinaten... Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten Die Rotation in Kugelkoordinaten.... Die Zweckmäßigkeit von Kugelkoordinaten bei kugelsymmetrischen Feldern. 8.5 Flächen- und Volumen integrale in Zylinderkoordinaten. Das Flächenintegral über eine Kreisfläche.. Das Flächenintegral über eine Zylinderfläche Das Flächenintegral über eine Kugelfläche

10 x Inhaltsverzeichnis Das Volumenintegral über einen zylindrischen Bereich Das Volumenintegral über eine Kugel 8.6 Anwendungsbeispiele.... Das Hagen-Poiseullesche Gesetz Eine besondere Eigenschaft der Funktion S = I/r Anwendung des Greenschen Satzes zur Integration der Poissongleichung Aufbau eines Vektorfeldes aus seinen Quellen und Wirbeln 8.7 Übungsaujgaben Nr. 131 bis Nr Sachverzeichnis