2.3 Gekrümmte Oberflächen
|
|
- Krista Diefenbach
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 2.3 Gekrümmte Oberflächen Jede Fläche im R 3 besitzt eine zweidimensionale Parameterdarstellung, so dass die Punkte der Fläche durch r(u, u 2 ) = x(u, u 2 )ê x + y(u, u 2 )ê y + z(u, u 2 )ê z beschrieben werden. Beispiel: Die Fläche, die durch die Funktion z(x, y) = x 2 + y 2 beschrieben wird, hat die Parameterdarstellung r(u, u 2 ) = xê x + yê y + (x 2 + y 2 )ê z, d.h. x = u und y = u x**2*y**2 5 y -5 x 5 - Die Nordhalbkugel hat in kartesischen Koordinaten die Parameterdarstellung r(u, u 2 ) = u ê x +u 2 ê y + u 2 u2 2 êz sqrt(-x**2 -y**2).5 y -.5 x.5 - In Polardarstellung kennen wir aber auch r(ϑ, ϕ) = sin ϑ cos ϕê x +sin ϑ sin ϕê y +cos ϑê z sin(u)*cos(v), sin(u)*sin(v), cos(u).5 y -.5 x.5 - Die Parameter u und u 2 definieren ein zweidimensionales krummliniges Koordinatensystem. Die Parameter u und u 2 bezeichnet man als die Koordinaten dieses Koordinatensystems. Koordinatenlinien sind diejenigen Linien auf der Fläche, entlang
2 derer sich nur eine Koordinate ändert, r u = r(u, u 2 = const) r u2 = r(u = const, u 2 ) In den obigen Abbildungen sind dies die Gitterlinien, mit deren Hilfe die Oberflächen dargestellt wurden. Die infinitesimalen Verschiebungsvektoren entlang der Koordinatenlinien d r i = r u i du i (i =, 2) bezeichnen wir als Tangentialvektor an die Fläche. (Beachte, dass sich entlang der jeweiligen Koordinatenlinien die jeweils andere Koordinate konstant bleibt, d.h. du 2 = entlang r u.) Die lokalen Basisvektoren des Koordinatensystems sind die tangentialen Einheitsvektoren an die Koordinatenlinien, die sich in dem betrachteten Punkt schneiden, ê i = r u i h i mit h i = r u i (i =, 2). Ein beliebiger Punkt der Fläche hat dann die Koordinatendarstellung r = u ê + u 2 ê 2. Beachte, dass die Basisvektoren im Allgemeinen nicht senkrecht aufeinander stehen. Die obige Begriffsbildung lässt sich ohne Weiteres auf dreidimensionale krummlinige Koordinatensysteme verallgemeinern. Die Basisvektoren bilden ein lokales, orthogonales Rechtssystem, wenn ê i ê j = ê k für (i, j, k) zyklisch an jedem Punkt erfüllt ist. Beachte: Die lokalen Basisvektoren eines krummlinigen Koordinatensystems bilden einen affinien Vektorraum. Das bedeutet, dass die Basisvektoren von Raumpunkt zu Raumpunkt ihre Richtung ändern. Sie hängen also selbst wiederum von den
3 Koordinaten ab. Bei der Differentiation oder Integration von Ausdrücken in krummlinigen Koordinaten muss man daher darauf achten, die Änderung der Koordinatenvektoren mit zu berücksichtigen! Beispiele: ebene Polarkoordinaten u*cos(v), u*sin(v), drρ dr ϕ dr dr ϕ ρ x y r(ρ, ϕ) = ρ cos ϕê x + ρ sin ϕê y d r ρ = r ρ dρ = [cos ϕê x + sin ϕê y ] dρ d r ϕ = r ϕ dϕ = [ r sin ϕê x + r cos ϕê y ] dϕ h ρ = und h ϕ = r ê ρ = cos ϕê x + sin ϕê y ê ϕ = sin ϕê x + cos ϕê y Zylinderkoordinaten
4 ergeben sich aus ebenen Polarkoordinaten durch Hinzunahme der z-achse r(ρ, ϕ, z) = ρ cos ϕê x + ρ sin ϕê y + zê z Zylinderkoordinaten bilden eacroin lokales Rechtssystem mit ê ρ ê ϕ = ê z. Kugelkoordinaten (r+dr) sinϑ d l= dr er d l2 = r d ϑ eϑ ϑ d l ~ r sin ϑ d ϕ 3 eϕ ϕ r(ρ, ϑ, ϕ) = ρ [sin ϑ cos ϕê x + sin ϑ sin ϕê y + cos ϕê z ]
5 d r ρ = r ρ dρ = [sin ϑ cos ϕê x + sin ϑ sin ϕê y + cos ϑê z ] dρ d r ϑ = r ϑ dϑ = ρ [cos ϑ cos ϕê x + cos ϑ sin ϕê y sin ϑê z ] dϑ d r ϕ = r ϕ dϕ = ρ [ sin ϑ sin ϕê x + sin ϑ cos ϕê y + ê z ] dϕ h ρ =, h ϑ = ρ und h ϕ = ρ sin ϑ ê r = sin ϑ cos ϕê x + sin ϑ sin ϕê y + cos ϑê z ê ϑ = cos ϑ cos ϕê x + cos ϑ sin ϕê y sin ϑê z ê ϕ = sin ϕê x + cos ϕê y Die beiden Tangentialvektoren eines zweidimensionalen Koordinatensystems spannen das Flächenelement d f = d r d r 2 = r u r 2 u 2 du du 2 auf. Der Betrag von d f gibt den Flächeninhalt des infinitesimalen Flächenelements an. Seine Richtung ist senkrecht zu diesem Flächenelement, d.h. n = d f d f bezeichnet den Normalen-Einheitsvektor auf dem Flächenelement. Flächenintegrale über gekrümmte Flächen ergeben sich damit zu hda = h(u, u 2 ) r r u u 2 du du 2. A A Beispiel: Flächenelement der Kugel Wir wählen Kugelkoordinaten. Dann sind die Koordinaten u und u 2 gegeben durch u = ϑ und u 2 = ϕ (r = R = const).
6 Die Kugeloberfläche ist parametrisiert durch r(ϑ, ϕ) = R e r (ϑ, ϕ). Nach obiger Vorschrift wird das Flächenelement auf der Kugeloberfläche durch d f = d r ϑ d r ϕ = h ϑ ê ϑ h ϕ ê ϕ = Rê ϑ R sin ϑê ϕ = R 2 sin ϑê r gebildet. D.h. die Flächennormale zeigt an jedem Punkt der Kugel radial nach aussen. Ein in der Physik häufig auftretendes Problem ist die Frage nach dem Fluss eines Vektorfeldes durch eine vorgegebene Fläche. Beispiele hierfür sind die pro Zeiteinheit durch eine Öffnung austretende Wassermenge, die Gasmenge, die durch eine poröse Oberfläche eines Behälters strömt oder auch der Fluss eines elektrischen Feldes durch eine vorgegebene Oberfläche, den Sie in der Experimentalphysik-Vorlesung bereits kennengelernt haben. Die pro Zeiteinheit durch die Öffnung austretende Flüssigkeitsmenge ergibt sich als das Flüssigkeitsvolumen, welches in der Zeit t die zur Strömung senkrechte Fläche (df cos ϑ) passiert. V = v df cos ϑ t = v d f t. V t = v d f ( Kontinuitätsgleichung ) Für ein allgemeines Vektorfeld v( r) definiert man daher den Fluss durch eine Fläche A als Φ = v d f. A Beispiele aus dem Elektromagnetismus: magnetischer Fluss Φ = B d f Gauß sches Gesetz: Q in = ε Φ E = ε E d f, wobei Q in die von einem Volume V eingeschlossene Ladung bezeichnet und sich das Flächenintegral über die geschlossene Oberfläche des Volumens erstreckt.
7 Betrachten wir noch einmal das Beispiel, das in der Experimentalphysik-Vorlesung behandelt wurde, und berechnen wir den Fluss des elektrischen Feldes, das von einer Punktladung erzeugt wird, durch eine Kugeloberfläche. Das Feld der Punktladung beträgt E( r) = 4πε Q r 2 êr. Der Fluss des elektrischen Feldes durch eine Kugeloberfläche vom Radius R, in deren Ursprung die Ladung sitzt, beträgt Φ E = E d f Kugeloberfläche Q = 4πε R 2 êr R 2 sin ϑ dϑ dϕê ϕ Kugeloberfläche π 2π = Q 4πε = Q 4πε 2π dϑ d( cos ϑ) dϕ R2 R 2 sin ϑ = Q ε Mit Hilfe geeigneter krummliniger Koordinaten können wir auch Volumenintegrale oft leichter berechnen. In einem dreidimensionalen Koordinatensystem ist das Volumenelement gegeben durch das Spatprodukt der infinitesimalen Tangentialvektoren dv = (d r d r 2 ) d r 3.
8 Das Volumenelement der Kugel berechnet sich damit zu dv Kugei = (d r d r ϑ ) d r ϕ = h r h ϑ h ϕ dr dϑ dϕ (ê r ê ϑ ) ê ϕ = r 2 sin ϑdr dϑ dϕ. Analog gilt für das Volumenelement in Zylinderkoordinaten dv Zylinder = (d r ρ d r ϕ ) d r z = dρ ρdϕdz(ê ρ ê ϕ ) ê z = ρdρdϕdz. Damit kann man das Volumen eines Zylinders der Höhe H mit Radius R berechnen als R 2π H R V = dv = dρ dϕ dz ρ = H 2π ρdρ = π R 2 H. Zylinder
3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes
3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes Das Gauß sche Gesetz V E d f = ɛ Q in = ɛ V ρ el dv stellte eine beachtliche Verbindung her zwischen dem elektrischen Feld E und seinen Quellen,
MehrFelder und Wellen WS 2016/2017
Felder und Wellen WS 216/217 Musterlösung zum 2. Tutorium 1. Aufgabe (**) Berechnen Sie das el. Feld einer in z-richtung unendlich lang ausgedehnten unendlich dünnen Linienladung der Ladungsdichte η pro
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 12: Integralsätze von Gauss und Stokes Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 12. Integralsätze 1 / 25 1 Gauss-scher Integralsatz
Mehr3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten
3.3.5 Rechenregeln Für Skalarfelder f, g und Vektorfelder v, w gelten die Beziehungen fg) = f g + g f v w) = v ) w + w ) v + v w) + w v) f v) = f v + v f v w) = w v) v w) 3.5a) 3.5b) 3.5c) 3.5d) f) = div
MehrKapitel 3. Koordinatensysteme
Kapitel 3 Koordinatensysteme Bisher haben wir uns bei der Beschreibung von Vektoren auf das kartesische Koordinatensystem konzentriert. Für viele physikalische Anwendungen sind aber kartesische Koordinaten
Mehr1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil
1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg
Mehr19.3 Oberflächenintegrale
19.3 Oberflächenintegrale Definition: Sei D R 2 ein Gebiet und p : D R 3 eine C 1 -Abbildung x = p(u) mit x R 3 und u = (u 1, u 2 ) T D R 2 Sind für alle u D die beiden Vektoren und u 1 linear unabhängig,
MehrFerienkurs - Experimentalphysik 2 - Übungsblatt - Lösungen
Technische Universität München Department of Physics Ferienkurs - Experimentalphysik 2 - Übungsblatt - Lösungen Montag Daniel Jost Datum 2/8/212 Aufgabe 1: (a) Betrachten Sie eine Ladung, die im Ursprung
Mehr12. Übungsblatt zur Mathematik II für MB
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. U. Reif R. Hartmann, T. Koch SS 1 5.7.21 12. Übungsblatt zur Mathematik II für MB Aufgabe 39 Divergenz Berechnen Sie die Divergenz folgender Vektorfelder: xyz + 2xy F 1
MehrVIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme
V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot
Mehr12. Mehrfachintegrale
- 1-1. Mehrfachintegrale Flächen- und Volumenelemente Naive Gemüter sind geneigt, den Flächeninhalt dx dy (kartesische Koordinaten) in den neuen Koordinaten durch du dv anzugeben. Das ist i.a. falsch!
Mehr14.3 Berechnung gekrümmter Flächen
4.3 Berechnung gekrümmter Flächen Gekrümmte Flächen werden berechnet, indem sie als Graph einer Funktion zweier Veränderlicher aufgefasst werden. Fläche des Graphen einer Funktion zweier Veränderlicher
MehrEinführung in die theoretische Physik II Sommersemester 2015
Einführung in die theoretische Physik II Sommersemester 25 martin.eckstein@mpsd.cfel.de Ausgewählte Aufgaben zur Klausurvorbereitung Lösungshinweise Aufgabe : Elektrostatik Betrachten Sie eine geladene
MehrAufgabe Summe max. P Punkte
Klausur Theoretische Elektrotechnik TET Probeklausur xx.xx.206 Name Matr.-Nr. Vorname Note Aufgabe 2 3 4 5 6 7 Summe max. P. 5 0 5 5 5 5 5 00 Punkte Allgemeine Hinweise: Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner,
Mehr2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n
2. VEKTORANALYSIS 2.1 Kurven Definition: Ein Weg ist eine stetige Abbildung aus einem Intervall I = [a; b] R in den R n : f : I R n f ist in dem Fall ein Weg in R n. Das Bild f(t) des Weges wird als Kurve
MehrSei Φ(x, y, z) ein skalares Feld, also eine Funktion, deren Wert in jedem Raumpunkt definiert ist.
Beim Differenzieren von Vektoren im Zusammenhang mit den Kreisbewegungen haben wir bereits gesehen, dass ein Vektor als dreiwertige Funktion a(x, y, z) aufgefasst werden kann, die an jedem Punkt im dreidimensionalen
MehrDie nummerierten Felder bitte mithilfe der Videos ausfüllen:
5 Koordinatensysteme Zoltán Zomotor Versionsstand: 6. August 2015, 21:43 Die nummerierten Felder bitte mithilfe der Videos ausfüllen: http://www.z5z6.de This work is based on the works of Jörn Loviscach
Mehr3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome
Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe13 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 45 Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de 3. Erhaltungsgrößen und die Newton schen Axiome Übung 3.1:
MehrFakultät für Physik Wintersemester 2016/17. Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik
Fakultät für Physik Wintersemester 16/17 Übungen zur Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Dr. Andreas K. Hüttel Blatt 8 / 7.1.16 1. Schwerpunkte Berechnen Sie den Schwerpunkt in
Mehr2 Grundgrößen und -gesetze der Elektrodynamik
Grundgrößen und -gesetze der Elektrodynamik. Grundgrößen der Elektrodynamik.. Ladung und die dreidimensionale δ-distribution Ladung Q, q Ladungen treten in zwei Variationen auf: positiv und negativ Einheit:
MehrIntegration über allgemeine Integrationsbereiche.
Integration über allgemeine Integrationsbereiche. efinition: Sei R n eine kompakte und messbare Menge. Man nennt Z = { 1,..., m } eine allgemeine Zerlegung von, falls die Mengen k kompakt, messbar und
MehrVektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64
1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:
MehrKlassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung: Blatt 12. PD
Mehr9. Die Integralrechnung II
9. Die Integralrechnung II 9.. Mehrdimensionale Bereichsintegrale Dimension n des Integrationsbereiches B Dimension des Definitionsbereiches D. (i) n = : Einfachintegrale (Int-B = Gerade ; db = d ) db.
MehrÜbungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie C Elektrodynamik) WS Aufgabe 1: Ampère-Gesetz (2+2+2=6 Punkte)
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theorie der Kondensierten Materie Übungen zur Klassischen Theoretischen Physik III (Theorie Elektrodynamik) WS 1-13 Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterlösung:
MehrÜbungsblatt 3 - Lösungen
Übungsblatt 3 - Lösungen zur Vorlesung EP2 (Prof. Grüner) im 2010 3. Juni 2011 Aufgabe 1: Plattenkondensator Ein Kondensator besteht aus parallelen Platten mit einer quadratischen Grundäche von 20cm Kantenlänge.
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrÜbungsaufgaben Vektoren
Kallenrode, www.sotere.uos.de Übungsaufgaben Vektoren 1. Gegeben sind die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten e ϱ = cos ϕ sin ϕ, e ϕ = sin ϕ cos ϕ und e z = 0 0 0 0 1 und Kugelkoordinaten: sin ϑ cos
MehrD-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas. Serie 9: Satz von Stokes und Divergenzsatz
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik II FS 15 Dr. Ana Cannas Serie 9: Satz von Stokes und Divergenzsatz Bemerkungen: Die Aufgaben der Serie 9 bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 28./30. April. 1. Berechnen
MehrGrundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
Mehr4 Grenzflächen, Leiter und das elektrostatische Randwertproblem
4 Grenzflächen, Leiter und das elektrostatische Randwertproblem Bei der Berechnung elektrostatischer Felder und Potentiale mussten wir bisher voraussetzen, dass wir die Ladungsverteilungen im gesamten
MehrAnalysis II für Ingenieure Übersicht: Integration. 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld
Analysis II für Ingenieure Übersicht: Integration 1 Kurvenintegral über ein Skalarfeld 1.1 erechnung c f ds = b a f ( c(t) ) c(t) dt 1. Kurve c parametrisieren: c : [a, b] R n, t c(t). 2. c(t) und dann
Mehr1.4 Gradient, Divergenz und Rotation
.4 Gradient, Divergenz und Rotation 5.4 Gradient, Divergenz und Rotation Die Begriffe Gradient, Divergenz und Rotation erfordern die partiellen Ableitung aus Abschnitt.. sowie das Konzept des Differentialoperators.
MehrTheoretische Physik: Mechanik
Ferienkurs Theoretische Physik: Mechanik Sommer 2016 Vorlesung 1 (mit freundlicher Genehmigung von Verena Walbrecht) Technische Universität München 1 Fakultät für Physik Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische
Mehr8. Starre Körper. Die φ-integration liefert einen Faktor 2π. Somit lautet das Ergebnis
Übungen zur T1: Theoretische Mechanik, SoSe213 Prof. Dr. Dieter Lüst Theresienstr. 37, Zi. 425 8. Starre Körper Dr. James Gray James.Gray@physik.uni-muenchen.de Übung 8.1: Berechnung von Trägheitstensoren
MehrÜbungen zur Experimentalphysik 3
Übungen zur Experimentalphysik 3 Prof. Dr. L. Oberauer Wintersemester / Anwesenheitsübung -.November Musterlösung Franziska Konitzer (franziska.konitzer@tum.de) Aufgabe ( ) ( Punkte) Eine harmonische elektromagnetische
MehrFormelsammlung Elektrodynamik
Formelsammlung Elektrodynamik SS 2006 RWTH Aachen Prof. Kull Skript Simon Sawallich Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeines 3 1.1 Funktionen............................................ 3 Trigonometrische Funktionen..................................
Mehr2. Räumliche Bewegung
2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Massenpunkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort im Raum zu bestimmen. Es muss ein Ortsvektor angegeben werden. Prof.
Mehr00. Einiges zum Vektorraum R n
00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen
MehrVorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 UMIT. Einleitung
Vorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 Dr. Leonhard Wieser UMIT Einleitung Begriff Vektoranalysis: Kombination aus Linearer Algebra/Vektorrechnung mit Differential- und Integralrechnung Inhaltsangabe:
MehrWELLEN im VAKUUM. Kapitel 10. B t E = 0 E = B = 0 B. E = 1 c 2 2 E. B = 1 c 2 2 B
Kapitel 0 WELLE im VAKUUM In den Maxwell-Gleichungen erscheint eine Asymmetrie durch Ladungen, die Quellen des E-Feldes sind und durch freie Ströme, die Ursache für das B-Feld sind. Im Vakuum ist ρ und
Mehr3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60
Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt
Mehr$Id: kurven.tex,v /12/07 16:43:16 hk Exp hk $ 3.4 Umparametrisierungen und Koordinatentransformation. F (r, φ, ψ) = cos 2 ψ φ +
Mathematik für Ingenieure III, WS 29/2 Montag 7.2 $Id: kurven.tex,v.5 29/2/7 6:43:6 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.4 Umparametrisierungen und Koordinatentransformation Wir haben gesehen wie man beide Arten von
MehrBetrachtet man einen starren Körper so stellt man insgesamt sechs Freiheitsgrade der Bewegung
Die Mechanik besteht aus drei Teilgebieten: Kinetik: Bewegungsvorgänge (Translation, Rotation) Statik: Zusammensetzung und Gleichgewicht von Kräften Dynamik: Kräfte als Ursache von Bewegungen Die Mechanik
MehrVektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren
Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man
MehrGeometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,
MehrVektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen
Vektorrechnung in der Physik und Drehbewegungen 26. November 2008 Vektoren Vektoren sind bestimmt durch a) Betrag und b) Richtung Beispiel Darstellung in 3 Dimensionen: x k = y z Vektor in kartesischen
MehrÜbungsaufgaben zu Kapitel 7 und 8
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Sommersemester 016 Fakultät Informatik/Mathematik Prof. Dr.. Jung Übungsaufgaben zu Kapitel 7 und 8 Aufgabe 1: Für die rennweite einer einfachen, bikonvexen
MehrPhysikalische Anwendungen II
Physikalische Anwendungen II Übungsaufgaben - usterlösung. Berechnen Sie den ittelwert der Funktion gx = x + 4x im Intervall [; 4]! ittelwert einer Funktion: f = b fxdx b a a ḡ = 4 x + 4x dx = [ ] 4 4
Mehr10 Tensorfelder . (10.1) ds = lim 21
10 Tensorfelder Im letzten Kapitel haben wir Tensoren nur im Zusammenhang mit Vektorräumen diskutiert. In physikalischen Theorien tauchen Tensoren aber meistens in Form Tensorfelder auf, zum Beispiel als
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten
MehrFerienkurs Experimentalphysik II Elektrodynamik. Übung zur Magnetostatik Musterlösung. 12. September 2011 Michael Mittermair
Ferienkurs Experimentalphysik II Elektrodynamik Übung zur Magnetostatik Musterlösung 12. September 211 Michael Mittermair Aufgabe 1 Bestimmen sie das B-Feld eines dünnen,(unendlich)langen, geraden Leiters,
MehrElektromagnetische Felder und Wellen. Klausur Herbst Aufgabe 1 (5 Punkte) Aufgabe 2 (3 Punkte) Aufgabe 3 (5 Punkte) Aufgabe 4 (12 Punkte) Kern
Elektromagnetische Felder und Wellen Klausur Herbst 2000 Aufgabe 1 (5 Punkte) Ein magnetischer Dipol hat das Moment m = m e z. Wie groß ist Feld B auf der z- Achse bei z = a, wenn sich der Dipol auf der
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 9: Mehrdimensionale Integrale Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 9. Mehrdim. Int. 1 / 39 1 Doppelintegrale 2 Prof.
MehrFerienkurs Experimentalphysik II Elektrodynamik. Magnetostatik. 12. September 2011 Michael Mittermair
Ferienkurs Experimentalphysik II Elektrodynamik Magnetostatik 12. September 2011 Michael Mittermair Inhaltsverzeichnis 1 Permanentmagnete und Polstärke 2 2 Magnetfelder stationärer Ströme 3 2.1 Magnetfeldstärke
Mehr10.1 Ampère sches Gesetz und einfache Stromverteilungen
1 Magnetostatik Solange keine Verwechslungen auftreten, werden wir in diesem und in den folgenden Kapiteln vom magnetischen Feld B an Stelle der magnetischen Induktion bzw. der magnetischen Flußdichte
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2013/14): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 3/4): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema 3, Aufgabe 4) Im R 3 seien die beiden Ebenen E : 6x+4y z = und E : +s +t 4 gegeben.
Mehr2.4. GAUSSSCHER SATZ π ε 0 r 2. π r 2)
2.4. GAUSSSCHER SATZ 23 2.4 Gaußscher Satz Das Fel einer Punktlaung genügt er Gleichung: E = 1 4 π ε 0 Q r 2 Desweiteren berechnet sich ie Oberfläche einer Kugel, eren Punkte vom Mittelpunkt en Abstan
MehrZwei Paradoxa zur Existenz magnetischer Felder
Zwei Paradoa zur Eistenz magnetischer Felder Claus W. Turtur, Fachhochschule Braunschweig-Wolfenbüttel Wolfenbüttel, 14. Dez. 7 Zusammenfassung Ein Gedankeneperiment wird betrachtet, in welchem ein Beobachter
MehrLösung 12 Klassische Theoretische Physik I WS 15/16
Karlsruher Institut für Technologie Institut für theoretische Festkörperphysik www.tfp.kit.edu ösung 1 Klassische Theoretische Physik I WS 1/16 Prof. Dr. G. Schön + Punkte Sebastian Zanker, Daniel Mendler
MehrAnalytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung
Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme?
MehrInduktion, Polarisierung und Magnetisierung
Übung 2 Abgabe: 11.03. bzw. 15.03.2016 Elektromagnetische Felder & Wellen Frühjahrssemester 2016 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Induktion, Polarisierung und Magnetisierung In dieser
MehrTheoretische Physik I: Lösungen Blatt Michael Czopnik
Theoretische Physik I: Lösungen Blatt 2 15.10.2012 Michael Czopnik Aufgabe 1: Scheinkräfte Nutze Zylinderkoordinaten: x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z Zweimaliges differenzieren ergibt: ẍ = r cos ϕ 2ṙ ϕ sin
MehrInhaltsverzeichnis Elektrostatik
Inhaltsverzeichnis 1 Elektrostatik 1 1.1 Grundbegriffe...................................... 1 1.1.1 Elektrische Ladung, Coulomb-Gesetz..................... 1 1.1.2 Das elektrische Feld..............................
MehrPhysik-Department. Ferienkurs zur Experimentalphysik 2 - Musterlösung
Physik-Department Ferienkurs zur Experimentalphysik 2 - Musterlösung Daniel Jost 27/08/13 Technische Universität München Aufgaben zur Magnetostatik Aufgabe 1 Bestimmen Sie das Magnetfeld eines unendlichen
MehrAnleitung zu Blatt 6 Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 4/5 r. Hanna Peywand Kiani 6..5 Anleitung zu Blatt 6 Analysis III für Studierende der Ingenieurwissenschaften Bereichsintegrale, Transformationssatz,
MehrBlatt 10. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag
Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmologie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übungen zu Klassischer Mechanik T) im SoSe 20 Blatt 0. Hamilton-Formalismus- Lösungsvorschlag Aufgabe 0.. Hamilton-Formalismus
Mehr1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil
Inhaltsverzeichnis 1 Vorlesungen: 24.10.2005 und 31.10.2005 Vektor Rechnung: 1.Teil 4 1.1 Definition und Darstellung eines Vektors................... 4 1.2 Rechnen mit Vektoren.............................
MehrVektoranalysis. Dennoch ist es nicht gestattet, das Material für eigene Vorlesungen und Vorträge zu verwenden! Dipl.-Ing. Thomas Tyczynski TU-Dresden
Vektoranalysis Dieses Folienpaket ist ausschließlich als Begleit- und Orientierungsmaterial zu einer Vorlesung zu verstehen, die ansonsten frei gehalten und an der Tafel präsentiert wird. Sie ist daher
MehrVektorrechnung Raumgeometrie
Vektorrechnung Raumgeometrie Sofja Kowalewskaja (*1850, 1891) Hypatia of Alexandria (ca. *360, 415) Maria Gaetana Agnesi (*1718, 1799) Emmy Noether (*1882 1935) Émilie du Châtelet (*1706, 1749) Cathleen
MehrVorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch
Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 206 A. Kersch Vektoren. Vektorrechnung Definition Ein Vektor ist eine gerichtete Größe welche einen Betrag ( Zahl und eine Richtung ( in 2D, 2 in 3D hat. Alternativ
Mehrmit 0 < a < b um die z-achse entsteht.
Übungen (Aufg. u. Lösungen) zu Mathem. u. Lin. Alg. II SS 6 Blatt 8 13.6.6 Aufgabe 38: Berechnen Sie das Volumen des Volltorus, der durch Rotation der reisscheibe { (x, y, z) R 3 y, (x b) + z a } mit
MehrElektromagnetische Felder und Wellen: Klausur
Elektromagnetische Felder und Wellen: Klausur 2009-2 Name : Vorname : Matrikelnummer : Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: Aufgabe 5: Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: Aufgabe 10: Aufgabe
MehrBrahe Kepler. Bacon Descartes
Newton s Mechanics Stellar Orbits! Brahe Kepler Gravity! Actio = Reactio F = d dt p Gallilei Galilei! Bacon Descartes Leibnitz Leibniz! 1 Statistical Mechanics Steam Engine! Energy Conservation Kinematic
MehrLernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:
Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben
MehrÜbungen zu Integralsätzen Lösungen zu Übung 19
9. Sei IR 3 der Einheitswürfel Übungen zu Integralsätzen Lösungen zu Übung 9 erifizieren Sie für : {(x, y, z) IR 3 : x, y, z.} den Gaußschen Divergenzsatz. Lösung: v(x, y, z) : (4xz, y, yz) erifizieren
MehrFelder und Wellen 1/20 Klausur F14. r = a
Felder und Wellen 1/2 Klausur F14 Aufgabe 1 (16 Punkte) Gegeben ist folgende kugelsymmetrische Anordnung: r = c r = a r = b Die einzelnen Raumbereiche weisen dabei folgende Raumladungsdichten, Leitfähigkeiten
Mehr5 Elektrizität und Magnetismus
5.1 Elektrische Ladung q Ursprung: Existenz von subatomaren Teilchen Proton: positive Ladung Elektron: negative Ladung besitzen jeweils eine Elementarladung e = 1.602 10 19 C (Coulomb) Ladung ist gequantelt
MehrÜbungen zu Physik 1 für Maschinenwesen
Physikdepartment E13 WS 2011/12 Übungen zu Physik 1 für Maschinenwesen Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Eva M. Herzig, Dr. Volker Körstgens, David Magerl, Markus Schindler, Moritz v. Sivers Vorlesung
MehrKinematik des Massenpunktes
Technische Mechanik II Kinematik des Massenpunktes Prof. Dr.-Ing. Ulrike Zwiers, M.Sc. Fachbereich Mechatronik und Maschinenbau Hochschule Bochum WS 2009/2010 Übersicht 1. Kinematik des Massenpunktes Eindimensionale
MehrMathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder
DGL Schwingung Physikalische Felder Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder Johannes Wiedersich 23. April 2008 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/
MehrMathematik II für Inf und WInf
Gruppenübung Mathematik II für Inf und WInf 8. Übung Lösungsvorschlag G 28 (Partiell aber nicht total differenzierbar) Gegeben sei die Funktion f : R 2 R mit f(x, ) := x. Zeige: f ist stetig und partiell
MehrElektrizitätslehre und Magnetismus
Elektrizitätslehre und Magnetismus Othmar Marti 09. 06. 2008 Institut für Experimentelle Physik Physik, Wirtschaftsphysik und Lehramt Physik Seite 2 Physik Klassische und Relativistische Mechanik 09. 06.
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Prof Dr D Castrigiano Dr M Prähofer Zentralübung 85 Oberfläche des Torus im R 4 TECHNICHE UNIVERITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Mathematik für Physiker 4 (Analysis http://wwwmatumde/hm/ma924 2W/ Gegeben
MehrÜbung 3 - Musterlösung
Experientalphysik 2 für Lehratskandidaten und Meteorologen 5. Mai 200 Übungsgruppenleiter: Heiko Dulich Übung 3 - Musterlösung Aufgabe 6: Wann funkt es? Eigene Koordinaten r 2, 2. Hohlkugel: Koordinaten
MehrDas entscheidende Ergebnis der Analysis einer rellen Variablen ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. f (x) dx = F (b) F (a),
Kapitel Integralsätze.1 Einleitung und Übersicht Das entscheidende Ergebnis der Analysis einer rellen Variablen ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung b a f (x) (b) (a), der es erlaubt,
MehrDivergenz und Rotation von Vektorfeldern
Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Mit Hilfe des Nabla-Operators können nun zwei weitere wichtige elementare Operationen definiert werden, welche formal der Bildung des Skalarproduktes bzw. des äußeren
MehrTheoretische Mechanik
Prof. Dr. R. Ketzmerick/Dr. R. Schumann Technische Universität Dresden Institut für Theoretische Physik Sommersemester 2008 Theoretische Mechanik 9. Übung 9.1 d alembertsches Prinzip: Flaschenzug Wir betrachten
MehrPhysik 1 für Ingenieure
Physik 1 für Ingenieure Othmar Marti Experimentelle Physik Universität Ulm Othmar.Marti@Physik.Uni-Ulm.de Skript: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1 Übungsblätter und Lösungen: http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/physing1/ueb/ue#
Mehr1 Felder bewegter Ladungen
Universität Leipzig, Fakultät für Physik und Geowissenschaften Vorlesung zur Experimentalphysik III Wintersemester 2008/2009 Prof. Dr. Josef A. Käs Vorlesungsmitschrift zur Vorlesung vom 16.10.2008 1 Felder
MehrAtomvorstellung: Antike bis 19. Jh.
GoBack Atomvorstellung der Griechen Atomvorstellung Demokrits Daltonsches Atommodell 1 / 24 Atomvorstellung der Griechen Atomvorstellung der Griechen Atomvorstellung Demokrits Daltonsches Atommodell Die
Mehr2.3. Vektorprodukt und Spatprodukt
.3. Vektorprodukt und Spatprodukt Das Vektorprodukt In sehr vielen mathematischen und physikalisch-technischen Problemstellungen geht es darum, zu einer gegebenen Fläche deren Inhalt und auf ihr senkrecht
Mehr2. Räumliche Bewegung
2. Räumliche Bewegung Prof. Dr. Wandinger 1. Kinematik des Punktes TM 3 1.2-1 2. Räumliche Bewegung Wenn die Bahn des Punkts nicht bekannt ist, reicht die Angabe einer Koordinate nicht aus, um seinen Ort
MehrDie Dirac sche δ-funktion
Gero Hillebrandt, Matthias Köhler 20. Oktober 203 Inhaltsverzeichnis Definition und Eigenschaften der δ-funktion 2. Die Heaviside sche Einschaltfunktion................ 2.2 Eigenschaften der δ-funktion....................
MehrMusterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II. x 2
Musterlösung zu den Übungen zur Vorlesung Mathematik für Physiker II Wiederholungsblatt: Analysis Sommersemester 2011 W. Werner, F. Springer erstellt von: Max Brinkmann Aufgabe 1: Untersuchen Sie, ob die
MehrHöhere Mathematik III
Blatt 4 Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik III el, kyb, mecha, phys Prof. Dr. J. Pöschel Dr. D. Zimmermann Dipl.-Math.. Sanei ashani 1.11.14 Vortragsübungen (Musterlösungen)
MehrKapitel 5 Untermannigfaltigkeiten. 5.1 Glatte Flächen in R 3
Kapitel 5 Untermannigfaltigkeiten 5.1 Glatte Flächen in R 3 Bisher haben wir unter einem glatten Weg im R n stets eine differenzierbare Abbildung γ:i R n, definiert auf einem Intervall I R, verstanden.
MehrStickstoff kann als ideales Gas betrachtet werden mit einer spezifischen Gaskonstante von R N2 = 0,297 kj
Aufgabe 4 Zylinder nach oben offen Der dargestellte Zylinder A und der zugehörige bis zum Ventil reichende Leitungsabschnitt enthalten Stickstoff. Dieser nimmt im Ausgangszustand ein Volumen V 5,0 dm 3
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
Mehr