Zusammenfassung: Flächenintegrale

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1 Zusammenfassung: Flächenintegrale Gerichtetes Flächenelement: "Fluss" durch Flächenelement: "Fläche über G": "Fluss" durch die Fläche : Für orthogonale Koordinaten: Betrag des Flächenelements: Richtung: Fläche über G: Kapitel 12: Integralsätze der Vektoranalysis Vorausschau/Überblick: "Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab" Hauptsatz der Analysis: Linienintegral des Gradients = Differenz an den Enden Linie "Rand" der Linie = Punkte Satz v. Stokes: Flächenintegral der Rotation = Linienintegral Fläche Rand der Fläche = Linie Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen Rand des Volumens = Oberfläche

2 Erinnerung: Gradient und Linienintegral (siehe Seite F25) Sei Gradient: ein skalares Feld. ist ein Vektorfeld, definiert durch Änderung von mit Schritt : Summe über viele Wegelemente: Beiträge v. benachbarten Wegelementen heben sich weg Gesamtänderung entlang Weg : Zusammenfassung der Strategie: finde geometrische Interpretation für Änderung auf einem infinitesimalem Wegelement; Summe über viele Elemente liefert ein Integral. Analoge Strategie funktioniert auch bei Gauß & Stokes (diese & nächste Vorlesung) 12.1 Satz v. Gauß: Volumenintegral v. Divergenz = Flussintegral über Fläche Satz v. Gauss: Ist ein Gebiet mit Rand und ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf einer Umgebung von, so gilt: Interpretation: alles was quillt... muss durch die Aussenfläche! Anmerkungen: (i) Gaußsches Gebiet: geeignete Vorsichtsmaßnahmen bei Berandung (ii) ist der Rand von ( = Oberfläche) (iii) ist Gebiet einschließlich seines Randes

3 Begründung des Satz v. Gauß: Finde zunächst geometrische Interpretation der Divergenz: "Ausfluss pro sei ein Vektorfeld: (zur Anschauung: "Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit") Koordinaten der Punkte 1 bis 6: Infinitesimaler Würfel und Aussenfläche Gesamtfluss aus Volumenelement Fluss durch Flächen (1) bis (6) "Ausfluss pro Volumenelement" = Divergenz (6) kann als geometrische Definition der Divergenz angesehen werden!

4 Beispiele: mehr fließt raus als rein z.b.: mehr fließt rein als raus Satz von Gauss: Betrachte nun endliches Volumen,, umschlossen durch Aussenfläche : Volumen Fläche aufgeteilt in viele infinitesimal kleine Quader: Ausfluss aus Würfel Beiträge innerer Flächen heben sich weg, denn Normalvektoren benachbarter Quader sind entgegengesetzt Aussenflächen Satz von Gauss [Mathematikvorlesung: sauberer Limesprozess, Approximation von durch Würfel.]

5 Anmerkungen: (1) Volumenberechnung durch Flussintegral: Wähle das triviale Vektorfeld Volumen Ermöglicht Volumenberechnung durch Integration allein über Oberfläche! Beispiel Kugel K mit Radius R: in Kugelkoordinaten (siehe Seite OFI6) (2) Der Fluss über geschlossene Oberflächen quellenfreier Vektorfelder ist 0: Sei dann "quellenfrei" Explizites Beispiel für (1): Seite OFI12 Anwendung: Maxwell-Gleichung für Magnetfeld lautet: also sind Magnetfelder quellenfrei, und (1) gilt. (3) Maxwell-Gleichung für elektrisches Feld: Integriere über Volumen : Ladungsdichte Dielektrische Konstante Gesetz v. Gauß: Ladung in Fluss durch Oberfläche

6 (4) Kontinuitätsgleichung: Sei = Massendichte, = Geschwindigkeitsfeld = Massenstromdichte Massenerhaltung in einem Volumen : - Massenänderung pro Zeit = Ausgeströmte Masse pro Zeit (4.1) rückwärts (4) gilt für jedes Gebiet "Kontinuitätsgleichung", äquivalent zu Erhaltung der Masse (5) Krummlinig orthogonale Koordinaten: Betrachte "krummen Quader": Ausfluss: 2 zyklische vertauschte Terme (u,v,w) (2)=(4): 2 zyklische vertauschte Terme (u,v,w) (5) ist allgemeine Formel für Divergenz in krummlinig orthogonalen Koordinaten!

7 Für alternative (direktere) Herleitung von (12.5) betrachte zunächst Gradient in krummlinigen Koordinatensystemen: Def. v. Gradient (in cartesischen KS) Komponente v. in - Richtung : Gradient in Koordinaten ausgedrückt: Kettenregel Zylinderkoordinaten: Kugelkoordinaten: Divergenz in krummlinigen Koordinaten: in cartesischen Koordinaten in krummlinigen Koordinaten Betrachte Vektorfeld: Divergenz cartesisch: krummlinig: Stunden später... (siehe Nolting) ortsabhängig!! Abl. wirkt auf Komponenten und auf Dreibein!!

8 Beispiele: Zylinderkoordinaten: Kugelkoordinaten: Anwendung: Sei Sei

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