INHALTSVERZEICHNIS. Seite 1 VEKTOREN UND EINFACHE GESETZMÄSSIGKEITEN

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1 I INHALTSVERZEICHNIS Seite 1 VEKTOREN UND EINFACHE GESETZMÄSSIGKEITEN Skalare und Vektoren 1.2 Art von Vektoren 1.3 Summe und Differenz von Vektoren 1.4 Parallele Vektoren 1.5 Betrag eines Vektors 1.6 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar 1.7 Einheitsvektor 1.8 Einheitsvektor im Koordinatensystem 1.9 Beispiele Skalares Produkt von Vektoren 2.1 Definition des skalaren Produktes 2.2 Eigenschaften des skalaren Produktes 2.3 Geometrische Interpretation des skalaren Produktes 2.4 Zerlegung eines Vektors 2.5 Richtungswinkel, Richtungskosinus 2.6 Dreiecksungleichung 2.7 Lotvektoren und Vektorgleichungen Lotvektoren Vektorgleichungen 2.8 Beispiele zum skalaren Produkt von Vektoren 2.9 Arbeit 2.10 Übungsaufgaben Lineare Transformation Kartesischer Koordinaten bzw. Kartesischer Komponenten eines Vektors 3.1 Translation des Koordinatensystems 3.2 Drehung des Koordinatensystems in der Ebene 3.3 Polarkoordinaten 3.4 Darstellung eines beliebigen Vektors in Polarkoordinaten in der Ebene 3.5 Drehung des Koordinatensystems im Raum Drehung des Koordinatensystems um die z-achse Drehung des Koordinatensystems um eine willkürliche Achse Echter Vektor 3.6 Übungsaufgaben zum skalaren Produkt Vektorprodukt oder Kreuzprodukt 4.1 Definition des Kreuzproduktes 4.2 Eigenschaften des Vektorproduktes 4.3 Skalarprodukt und Kreuzprodukt der Einheitsvektoren 4.4 Komponenten des Vektors a x b

2 II 4.5 Spat-Produkt Das Spat-Produkt in Koordinatenschreibweise Vektorprodukt Mehrfache Kreuzprodukte Moment Übungsaufgaben Geraden Projektion einer Geraden auf die Koordinatenebenen Spurpunkte von Geraden Parallele und gleiche Geraden Windschiefe bzw. sich schneidende Geraden Koordinatengleichungen von Geraden Abstand eines Punktes von einer Geraden Abstand zweier paralleler Geraden Abstand zweier windschiefer Geraden Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden Übungsaufgaben 43 6 EBENE Parameterform (Punktrichtungsform) der Ebene Dreipunktegleichung der Ebene Die Spurgeraden der Ebene Parallele und gleiche Ebenen Punkt-Normale-Form der Geraden und der Ebene Abstand eines Punktes von einer Ebene Bestimmung vom Lot von einem Punkt ri auf eine Gerade Abstand einer Geraden von einer Ebene Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene Abstand zweier paralleler Ebenen Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen 50 7 Determinanten-Formen der Geraden- und Ebenengleichung Die Geradengleichung in Form von Determinanten Die Ebenengleichung in der Determinanten-Form Kreis und Kugel Gleichung von Kreis und Kugel Tangente an den Kreis / die Kugel Übungsaufgaben 54 II VEKTORANALYSIS 8 Kurven in xy- und x y z-dimensionen Vektorielle Darstellung von Kurven Differentiation von Vektoren nach Skalaren (Parametern) Differentiation einer Vektorsumme 60

3 III Tangente und Normale als Einheitsvektoren Differentiation eines Produktes aus Skalar und Vektor Integration von Vektorfunktionen Integration einer Summe aus Vektorfunktionen Übungsaufgaben Infinitesimale Winkeln Bogenlänge einer Kurve Differentiation eines Vektors a(t), der als Produkt aus Betrag und Einheitsvektor dargestellt ist Differentiation und Integration einer Vektorfunktion Die Geschwindigkeit eines Körpers im kartesischen Koordinatensystem (KKS) Beschleunigung eines Körpers im KKS Beschleunigung in koordinatenfreier Darstellung Übersicht über Normalen-und Tangenteneinheitsvektoren Differentiation bei Parameterdarstellung Krümmung Ableitung der Formel Gl( ) 72 9 Differentiation von Produkten von Vektoren Differentiation skalaren Produktes von Vektoren Differentiation des Vektorproduktes Krümmung einer Kurve Tangente und Tangentenvektor Normalen-Vektor Krümmung Binormale Torsion Ebenen der Einheitsvektoren Torsion x als Funktion des Ortes Magnetische Kraft auf eine bewegte elektrische Punktladung Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter Weitere Beispiele aus der Physik Rotationsgeschwindigkeit eines Teilchens Bewegung einer elektrischen Ladung im homogenen Magnetfeld Zweites Kepler'sches Gesetz Ebene Bewegung eines Punktes P in Polarkoordinaten Räumliche Bewegung, Zylinderkoordinaten Räumliche Bewegung in natürlichen Koordinaten Translation eines Bezugssystems Rotation um eine feste Achse Rotation eines Körpers um einen festen Punkt Allgemeine ebene Bewegung Allgemeine räumliche Bewegung Relativbewegungen 95

4 IV 11.1 Bewegungsgleichungen in einem Nicht-Newton' sehen Bewegungssystem Unabhängigkeit der Winkelgeschwindigkeit von der Wahl des Drehpunktes A Rotierendes Bezugssystem Translation und gleichzeitige Rotation eines Bezugssystems S' relativ zu einem ruhenden System S Linienintegrale (Kurvenintegrale) Wegunabhängige Linienintegrale Arbeit-Energie Konservative Kraftfelder Andere Ausdrucksweise des Linienintegrals Linienintegral in Bezug auf Bogenlänge Lösung von Doppelintegralen Geometrische Anschauung Dreifachintegrale Auswertung von Dreifachintegralen Flächen-und Volumenintegrale allgemein Parametrisierung von Flächenfunktionen 111 Flächen im Raum Vektorielle Darstellung einer Fläche Kurve auf einer Fläche Tangentialebene einer gekrümmten Fläche Linienelement Flächennormale Oberflächenelement, Oberflächenintegral Flächen vom Typ z = f(x, y) 3.8 Rotationsflächen 4.9 Halbkugelfläche 6.10 Schraubenfläche 6.11 Ebene in Polarkoordinaten 7. Eine beliebige Fläche 7 13 Skalar- und Vektorfelder Skalarfelder bzw. Skalarfunktionen Vektorfeld bzw. Vektorfunktion Der Gradient, Erläuterung Maximum und Minimum einer Funktion mit zwei oder drei Veränderlichen Die Richtungsableitung einer Ortsfunktion Das totale Differential Rechenregeln für Gradienten Gradient einer Summe (in kartesischen Koordinaten) Gradient eines Produktes (in kartesischen Koordinaten) Gradient der Funktion einer Ortsfunktion Das Gradientenfeld 14.1 Definition des Gradientenfeldes

5 V 14.2 Linienintegral eines Gradienten Potentialfeld Konservatives Vektorfeld Berechnung von Linienintegralen Tangentialfläche an einer beliebigen Fläche Funktionen mit zwei Variablen Funktionen mit drei Veränderlichen Normalengerade g n Fläche der Form z = f(x, y) Potential Physikalische Anwendungen des Potentialbegriffs Elektrostatisches Feld Energie eines Dipols im elektrischen Feld Potentielle Energie eines Moleküls mit elektrischem Dipolmoment Ermittlung einer Funktion aus ihrem Gradienten Die Divergenz Vektorlinien Vektorfluss Divergenz eines Vektorfeldes Divergenz in kartesischen Koordinaten Divergenzbegriff-Gaußscher Integralsatz Zirkulation und Zirkulationsdichte Rotation und Stokes'scher Satz Rotation analytisch Rotation in kartesischen Koordinaten Rotation einer Summe von Vektoren Rotation eines Produktes CA Der Nabla Operator V Gradient Divergenz Rotation Rechnen mit dem Nabla Operator Zusammenstellung der wichtigsten Beziehungen der Vektoranalysis Gauß, Stokes, Green Der Gauß'sche Satz Elektrostatisches Feld Der Gauß'sche Integralsatz in der Ebene Stokes Rotation von Umfanggeschwindigkeit v eines rotierenden starren Körpers Satz von Green Ausgewählte Kapitel der Elektrizitätslehre 199

6 VI 19.1 Spannung Energie W Elektrisches Feld Das elektrische Potential Stromdichte Punktförmige Elektrode im unendlich ausgedehnten Medium Unendlich lange linienförmige Elektrode Das elektrostatische Feld Verschiebungsfluss Beziehung zwischen Verschiebungsdichte D und Feldstärke E Beziehung zwischen Ladung und Spannung, Kondensator Elektrostatische Felder Verschiebungsstrom Kraft auf Punktladung im elektrischen Feld Magnetische Felder Durchflutungsgesetz, 1. Maxwellsche Gleichung Biot-Savartsches Gesetz Magnetische Feldstärke und Induktion an Trennflächen Magnetisches Potential Induktion Raumenergie des elektrostatischen Feldes Raumenergie im magnetostatischen Feld Energieumwandlung und Energieströmung im zeitlich veränderlichen elektromagnetischen Feld Wellengleichung Nichtkartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Transformationsgleichungen für Vektoren Differenzieren in Zylinderkoordinaten Gradient einer skalaren Funktion in Zylinderkoordinaten Divergenz in Zylinderkoordinaten Der Laplace-Operator in Zylinderkoordinaten Rotation in Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Zusammenhang zwischen kartesischen und Kugelkoordinaten Transformationsgleichungen für Vektoren Differenzieren in Kugelkoordinaten, Differentiation der Koordinaten-Einsvektoren Gradient in Kugelkoordinaten Divergenz in Kugelkoordinaten Der Laplace-Operator in Kugelkoordinaten Rotation in Kugelkoordinaten Übungen Lösungen der Übungsaufgaben 242