Analysis für Ingenieurstudenten Band 2

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1 * Horst Stöcker (Hrsg.) Siegfried Fuchs Jens Konopka Manfred Schneider Analysis für Ingenieurstudenten Band 2 Mit 177 Aufgaben und Lösungen sowie 138 Abbildungen Verlag Harri Deutsch Thun und Frankfurt am Main

2 Inhaltsverzeichnis I Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen 1 1 Funktionen mehrerer unabhängiger Variablen Grundlagen Funktionsbegriff Einteilung und Darstellungsarten Analytische und tabellarische Darstellung Analytische Darstellung Tabellarische Darstellung Geometrische Darstellung Räumliches kartesisches Koordinatensystem Zylinderkoordinatensystem Kugelkoordinatensystem Nomographische Darstellung* Funktionsskalen und Funktionsnetze Fluchtlinientafeln Netztafeln Grenzwerte und Stetigkeit Grenzwertbegriff Stetigkeitsbegriff 39 2 Differentialrechnung für Funktionen zweier unabhängiger Variablen Partielle Ableitungen und totales Differential Partielle Ableitungen erster Ordnung Partielle Ableitungen zweiter Ordnung Totales Differential Differentiale höherer Ordnung Differentiationsregeln Extrema ohne und mit Nebenbedingungen Relative Extrema ohne Nebenbedingungen 47

3 iv INHALTSVERZEICHNIS Relative Extrema mit Nebenbedingungen Grundlagen der Fehler- und Ausgleichsrechnung* Fehlerrechnung Ausgleichsrechnung 60 3 Integralrechnung für Funktionen zweier unabhängiger Variablen Parameterintegrale Definition und geometrische Deutung Spezialfälle Die Funktion {f(y)} Differentiation von Parameterintegralen Mehrfachintegrale Doppelintegrale Dreifachintegrale Flächen- und Raumintegrale Flächenintegrale Raumintegrale Kurvenintegrale Kurvenintegrale erster Art Kurvenintegrale zweiter Art Aufgaben zum Teil I 107 II Vektorrechnung Vektoralgebra Vektoren und Skalare Rechenoperationen mit Vektoren Rechenoperationen in Komponentendarstellung Skalares und vektorielles Produkt in Komponentendarstellung Skalares Produkt Vektorielles Produkt 135

4 INHALTSVERZEICHNIS v 6 Vektoranalysis Vektorfunktionen Skalares und vektorielles Feld Skalares Feld Vektorielles Feld Differentiation und Integration von Vektorfunktionen Ableitung einer Vektorfunktion Integration einer Vektorfunktion Gradient und Richtungsableitung eines skalaren Feldes Gradient Richtungsableitung Differentialoperatoren Konservatives Feld und Potential Linienintegrale in vektorieller Form Konservatives Feld und sein Potential Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes Divergenz Rotation Zusammengesetzte Ausdrücke von Gradient, Divergenz und Rotation Oberflächenintegrale Oberflächenintegrale erster Art Oberflächenintegrale zweiter Art Volumenableitungen Integralsätze Integralsatz von Gauß Integralsatz von Stokes Greensche Formeln Aufgaben zum Teil II 181 III Unendliche Reihen Unendliche Zahlenreihen Definition und Konvergenz 188

5 vi INHALTSVERZEICHNIS 8.2 Konvergenzkriterien Eigenschaften Spezielle Zahlenreihen und Fehlerabschätzungen Potenzreihen Grundlagen Definition und Konvergenz von Potenzreihen Eigenschaften konvergenter Potenzreihen Potenzreihenentwicklung von Funktionen Anwendungen Fourier-Reihen Entwicklung von Funktionen mit der Periode 2ir in eine Fourier-Reihe Entwicklung von Funktionen mit beliebiger Periode T in eine Fourier- Reihe* Fourier-Reihen in spektraler und komplexer Darstellung Numerische harmonische Analyse* Aufgaben zum Teil III 227 IV Gewöhnliche Differentialgleichungen Grundlagen Definition und Einteilung Aufstellen einer Differentialgleichung Lösungsbegriff Anfangs- und Randwertaufgaben Geometrische Interpretation der Lösung Über Lösungsmethoden Differentialgleichungen erster Ordnung Lineare Differentialgleichungen Integration der homogenen Differentialgleichung Integration der inhomogenen Differentialgleichung durch Variation der Konstanten Spezielle Lösungsmethoden für die inhomogene Differentialgleichung 248

6 INHALTSVERZEICHNIS vii 13.2 Spezielle Differentialgleichungen erster Ordnung Integration durch Trennen der Variablen Integration durch Substitution Exakte Differentialgleichung und integrierender Faktor Numerische Lösungs verfahren* Streckenzugverfahren von Euler Verfahren von Heun Modifiziertes Euler-Verfahren Runge-Kutta-Verfahren Dormand-Prince-Verfahren Differentialgleichungen zweiter Ordnung Spezialfälle Lineare Differentialgleichungen Sätze für Lösungen linearer Differentialgleichungen Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Lineare homogene Differentialgleichungen Lineare inhomogene Differentialgleichungen Differentialgleichungen höherer Ordnung und Systeme von Differentialgin Allgemeine Aussagen Definitionen und Sätze Lineare Systeme Systeme von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Lineare homogene Systeme Lineare inhomogene Systeme Näherungsverfahren zur Lösung von Differentialgleichungssystemen* Runge-Kutta-Verfahren Lösung durch Potenzreihen Aufgaben zum Teil IV 298 V Integraltransformationen Allgemeines über Integraltransformationen 306

7 viii INHALTSVERZEICHNIS 18 Laplace-Transformation Definition der Laplace-Transformation und ihrer Umkehrtransformation Transformation einer Funktion in den Bildbereich Rücktransformation einer Funktion in den Originalbereich Laplace-Transformierte einer ganzrationalen Funktion Inverse Laplace-Transformierte einer gebrochenrationalen Funktion Transformationssätze und -formein Additions- oder Linearitätssatz Ähnlichkeitssatz Dämpfungssatz Verschiebungssätze Differentiationssätze Integrationssätze Faltungssatz Grenzwertsätze Spezielle Transformationsformeln Übersicht über die Transformationssätze Anwendungen Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Lösung von Systemen von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Fourier-Transformation Fourier-Integral Fourierscher Integralsatz Darstellungsformen des Fourier-Integrals Fourier-Transformation und ihre Umkehrtransformation Begriffsbildungen Spezielle Fourier-Transformationen Transformationssätze Additions- oder Linearitätssatz Ähnlichkeitssatz Dämpfungssatz Verschiebungssatz 357

8 INHALTSVERZEICHNIS ix Differentiationssätze Integrationssatz und Parsevalsche Gleichung Faltungssatz i-w-dualitätsprinzip Übersicht über die Transformationssätze Anwendungen Anwendungsgebiete Vergleich von Laplace- und Fourier-Transformation Diskrete Fourier-Transformation (DFT)* Definition und Koeffizienten Diskrete Sinus- und Kosinustransformation Aufgaben Teil V 373 VI Lösungen der Aufgaben Lösungen zum Teil I Lösungen zum Teil II Lösungen zum Teil III Lösungen zum Teil IV Lösungen zum Teil V Index 399