PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER MATHEMATISCHEN PHYSIK

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1 S. G. MICHLIN PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN IN DER MATHEMATISCHEN PHYSIK In deutscher Sprache herausgegeben von Prof. Dr. rer. nat. habil. S. PRÖSSDORF Mit 56 Abbildungen 1978 VERLAG HARRI DEUTSCH THUN FRANKFURT/MAIN

2 INHALTSVERZEICHNIS Einführung 1 1. Der Gegenstand des Lehrganges 1 2. Einige Definitionen und Bezeichnungen 5 TEIL I ERGÄNZENDE FRAGEN DER ANALYSIS Kapitel 1. Parameterintegrale Gleichmäßig konvergente Integrale Kugelkoordinaten Integraloperatoren mit schwacher Singularität Integraloperatoren mit schwacher Singularität (Fortsetzung) 24 Kapitel 2. Mittelfunktionen Der Mittelungskern ' Mittelfunktionen Konvergenz der Mittelfunktionen 29 Kapitel 3. Verallgemeinerte Ableitungen Der Begriff der verallgemeinerten Ableitung Die einfachsten Eigenschaften der verallgemeinerten Ableitung Grenzwerteigenschaften der verallgemeinerten Ableitungen Der Fall einer unabhängigen Veränderlichen Über eine Eigenschaft von Funktionen, die eine verallgemeinerte erste Ableitung besitzen Ableitungen von Integralen mit schwacher Singularität 42 Kapitel 4. Die SoBOLEWsenen Räume Die Definition der SoBOLEWschen Räume Die SoBOLEWSche Integralidentität Einbettungssätze Die Übertragung auf allgemeinere Gebiete Äquivalente Normen in Wffi Die Ungleichungen von FBIEDRICHS und POINCABÄ Über die Fortsetzung von Funktionen Der Einbettungssatz für den Grenzexponenten 66 Kapitel 5. Positiv-definite Operatoren Der Begriff des quadratischen Funktionais Positiv-definite Operatoren 71

3 X Inhaltsverzeichnis 3. Der energetische Raum Das Energiefunktional und sein Minimumproblem Die verallgemeinerte Lösung Über die Separabilität des energetischen Raumes Die Erweiterung eines positiv-definiten Operators Das einfachste Randwertproblem für die gewöhnliche lineare Differentialgleichung Ein allgemeineres Minimumproblem für das quadratische Funktional Der Fall eines nur positiven Operators 98 Kapitel 6. Das Eigenspektrum eines positiv-definiten Operators Der Begriff des Eigenspektrums eines Operators Eigenwerte und Eigenelemente eines symmetrischen Operators Das verallgemeinerte Eigenspektrum eines positiv-definiten Operators Die Variationsfassung des Eigenwertproblems Der Satz über den kleinsten Eigenwert Ein Satz über das diskrete Spektrum Die Entwicklung nach dem Eigenspektrum eines positiv-definiten Operators Das STUBM-LiotrviLiiBsche Problem Einige Elementarfälle Das Mini-Max-Prinzip Über das Wachstum der Eigenwerte beim STURM-LioxrviLLESchen Problem Kapitel 7. Gleichungen in BANACH-Räumen und eindimensionale singulare Integralgleichungen Einige Grundbegriffe Die NoETHERschen Sätze Sätze über die Stabilität des Index Das Symbol Das CAircHYsche singulare Integral Der CAUCHYSche Operator im Raum i 2 (-T) Das Symbol und die Regularisierung des singulären Operators Die Berechnung des Index des singulären Operators 141 Kapitel S. Elemente der Theorie mehrdimensionaler singulärer Integralgleichungen Einige Eigenschaften der ForaiER-Transformation Definition und Existenzbedingungen für das singulare Integral Der Satz von GIRATTD Die FouRiER-Transformierte des singulären Kerns Singulare Integrale in Über die Differentiation von Integralen mit schwacher Singularität 161 TEIL II ALLGEMEINES ÜBER PARTIELLE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN Kapitel 9. Differentialgleichungen und Bandwertauf gaben Der Differentialausdruck und die Differentialgleichung Die Klassifizierung der Differentialgleichungen zweiter Ordnung Randbedingungen und Randwertaufgaben Das CAtiCHYsche Problem Existenz-, Eindeutigkeits-und Korrektheitsprobleme bei Randwertaufgaben. 178

4 Inhaltsverzeichnis XI Kapitel 10. Charakteristiken. Die kanonische Form. Die GKEENSchen Formeln l. Transformation der unabhängigen Veränderlichen Charakteristiken. Die Beziehung zwischen den CATTCHYschen Anfangswerten auf der Charakteristik Transformation der Differentialgleichungen zweiter Ordnung auf die kanonische Form Der Fall zweier unabhängiger Veränderlicher Formal adjungierte Differentialausdrücke Die GREENschen Formeln Differentialausdrücke höherer Ordnung.196 Kapitel 11. Verallgemeinerte Lösungen von Differentialgleichungen Lokal summierbare verallgemeinerte Lösungen Distributionen und verallgemeinerte Funktionen Verallgemeinerte Funktionen endlicher Ordnung Verallgemeinerte Lösungen aus der Klasse der verallgemeinerten Funktionen. Singulare Lösungen Die singulare Lösung der LAFLACE-Gleichung Die singulare Lösung der Wärmeleitungsgleichung Die singulare Lösung der Wellengleichung 209 TEIL III GLEICHUNGEN VOM ELLIPTISCHEN TYP Kapitel 12. LAPLACE- Gleichung und harmonische Funktionen Grundbegriffe Variablensubstitution im LAPLACE-Operator Die Integraldarstellung für Funktionen der Klasse C< 2 ) und für harmonische Funktionen Der Potentialbegriff Die Eigenschaften des Volumenpotentials Der Mittelwertsatz Das Maximumprinzip Teilräume harmonischer Funktionen Übertragung auf Gleichungen mit variablen Koeffizienten 235 Kapitel 13. Das DiRicHLETSche und das NEUMANNSche Problem Aufgabenstellung Unitätssätze für die LAPLACE-Gleichung Die Lösung des DmiCHLETSchen Problems für die Kugel Der Satz von LIOUVILLE Das DiRicHLETSche Problem für das Außengebiet der Kugel Das Verhalten der Ableitungen einer harmonischen Funktion im Unendlichen Hebbare Singularitäten harmonischer Funktionen 255 Kapitel 14. Kugelfunktionen Der Begriff der Kugelfunktionen Die Differentialgleichung der Kugelfunktionen Hilfskonstruktionen und einige Hilfssätze Der Operator ö und seine Potenzen. Die Orthogonalität der Kugelfunktionen Die Entwicklung der singulären Lösung in eine Reihe von Polynomen Die Integralgleichung der Kugelfunktionen 268

5 XII Inhaltsverzeichnis 7. Die Vollständigkeit des Systems der Kugelfunktionen Über das Symbol des singulären Integrals 272 Kapitel 15. Elementare Methoden zur Lösung der Grundprobleme Die DroiCHLETSchen und NEUMANNSchen Probleme für den Kreis Das DiBlCHXETsche Problem für das Kreisringgebiet Die Anwendung der konformen Abbildungen Die Anwendung der Kugelfunktionen 281 Kapitel 16. Potentialtheorie ' LjAPUNOW-Flächen Der Raumwinkel Der direkte Wert des Potentials der Doppelschicht Das GAtrsssche Integral Die Grenzwerte des Potentials der Doppelschicht Die Stetigkeit des Potentials der einfachen Schicht Die Normalableitung des Potentials der einfachen Schicht 301 Kapitel 17. Die Integralgleichungen der Potentialtheorie Zurückführung der DraiCHLETSchen und NETjMAiraschen Probleme auf Integralgleichungen Die DraiCHLETSchen und NEUMANNschen Probleme im Halbraum Untersuchung des ersten Paares adjungierter Gleichungen Untersuchung des zweiten Paares adjungierter Gleichungen Die Lösung des DiRiCHLETschen Problems für das Außengebiet Der Fall zweier unabhängiger Veränderlicher Die Gleichungen der Potentialtheorie für den Kreis Über die Korrektheit des DmiCHLETSchen Problems Über die Korrektheit des äußeren NEUMANNschen Problems Über die Korrektheit des inneren NEUMANNschen Problems 326 Kapitel 18. Das Problem der Richtungsableitung Aufgabenstellung Der Fall zweier Variabler. Der Index des Problems Über die Stetigkeit der Lösung Ein etwas einfacherer Fall Der Fall mehrerer Veränderlicher 337 Kapitel 19. Die Variationsmethode. Sehwache Lösungen Das DraiCHLETSche Problem mit einer homogenen Randbedingung Der energetische Raum des DraiCHLETSchen Problems Das DraiCHLETSche Problem für die homogene Gleichung Über die Existenz der zweiten Ableitungen der schwachen Lösung der LAPLACE- Gleichung Die Fortsetzbarkeitsbedingung Die GBEENSche Funktion Das NEUMANNsche Problem. Der Fall C(x) > Der Fall G(x) = Das NEUMANNsche Problem mit der inhomogenen Randbedingung Elliptische Differentialgleichungen höherer Ordnung und Gleichungssysteme Das DiEiCHLETSche Problem für ein unbeschränktes Gebiet 368

6 Inhaltsverzeichnis XIII Kapitel 20. Das Spektrum des DiRicHLETSchen und des NEUMANNSchen Problems Ein Einbettungssatz Das Spektrum des DmiCHLETschen Problems für das beschränkte Gebiet Einige Elementarfälle Die Wachstumsordnung der Eigenwerte Das Spektrum des NEUMANNSchen Problems für ein beschränktes Gebiet Nicht selbstadjungierte Gleichungen Das DiEicHLETSche und das NETJMANNsche Problem für eine nicht selbstadjungierte Gleichung 382 Kapitel 21. Starke Lösungen Die Lösung der LAPLACE-Gleichung für das Parallelepiped Das Produkt der schwachen Lösung mit einer glatten Funktion Starke Lösungen in beliebigen Gebieten Inhomogene Randbedingungen Der Fall eines hinreichend glatten Bandes Elliptische Systeme 396 TEIL IV NICHT STATIONÄRE GLEICHUNGEN Kapitel 22. Die Wärmeleitungsgleichung Die Wärmeleitungsgleichung und ihre Charakteristiken Das Maximumprinzip Das CAUCHYsche Problem und das gemischte Problem Eindeutigkeitssätze Abstrakte Funktionen einer reellen Veränderlichen Die schwache Lösung des gemischten Problems 413 Kapitel 28. Die Wellengleichung Der Begriff der Wellengleichung Das gemischte Problem und seine schwache Lösung Die Wellengleichung mit konstanten Koeffizienten. Das CAtTCHYsche Problem. Der charakteristische Kegel Der Eindeutigkeitssatz für das CAucHYSche Problem. Das Abhängigkeitsgebiet Die Erscheinung der Wellenausbreitung 424 Kapitel 24. Die FoUBiEBSche Methode Die FoiiBiERsche Methode für die Wärmeleitungsgleichung Die Begründung der Methode * Die Korrektheit des gemischten Problems für die Wärmeleitungsgleichung Über die Stabilisierung der Lösung Über die Existenz der klassischen Lösung. Ein Spezialfall Der Fall des nicht selbstadjungierten elliptischen Teils Die FouBiEKsche Methode für die Wellengleichung Die Begründung der Methode für die homogene Gleichung Die Begründung der Methode für homogene Anfangsbedingungen Die Saitenschwingungsgleichung. Bedingungen für die Existenz der klassischen Lösung 445 Kapitel 25. Das CAUCHYSche Problem für die Wärmeleitungsgleichung Die Herleitung der PoissoNschen Formel Eine andere Herleitung der PoissoNschen Formel 451

7 XIV Inhaltsverzeichnis 3. Die Begründung der Poissosschen Formel... ' Die unendliche Geschwindigkeit der Wärmeübertragung 457 Kapitel 26. Das CAUCHYSche Problem für die Wellengleichung Die Anwendung der FouisiEB-Transformation. ' Die Anwendung der singulären Lösung Der Fall einer ungeraden Anzahl von Koordinaten. Die verallgemeinerte KERCH- HOFFsche Formel Die hintere Wellenfront Die Begründung der KiBCHHOFFschen Formel Der Fall einer geraden Anzahl von Koordinaten Die Saitenschwingungsgleichung Über die Korrektheit des CATJCHYschen Problems 473 Kapitel 27. Die Potentiale nicht stationärer Gleichungen Wärmepotentiale. '' Die Integralgeichung der gemischten Probleme. Der Fall eines konvexen Bandes Der Fall einer LjAPTJNOW-Fläche Wellenpotentiale Grenzwertsätze für Wellenpotentiale Gemischte Probleme für den Halbraum 493 Kapitel 28. Das CAUCHysche Problem für die Wellengleichung mit Tariablen Koeffizienten Die energetische Ungleichung und der Eindeutigkeitssatz Der Existenzsatz Über das CAUCHYsche Problem für hyperbolische Gleichungen 504 Literaturverzeichnis 512 Sachverzeichnis 516