Gewöhnliche Differentialgleichungen

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1 Vladimir I. Arnold Gewöhnliche Differentialgleichungen Übersetzt aus dem Russischen von Tobias Damm Zweite Auflage Springer

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Grundbegriffe 9 1. Phasenräume 9 1. Beispiele für Evolutionsprozesse 9 2. Phasennüsse Intergralkurven im Richtungsfeld Eine Differentialgleichung und ihre Lösungen Die Evolutionsgleichung mit eindimensionalem Phasenraum Beispiel: Die Gleichung der normalen Vermehrung Beispiel: Die Explosionsgleichung Beispiel: Die logistische Kurve Beispiel: Fangquoten Beispiel: Der Fang mit relativer Quote Gleichungen mit mehrdimensionalem Phasenraum Beispiel: Die Differentialgleichung eines Räuber-Beute Systems Beispiel: Ein freies Teilchen auf der Geraden Beispiel: Der freie Fall Beispiel: Kleine Schwingungen Beispiel: Das mathematische Pendel Beispiel: Das umgedrehte Pendel Beispiel: Kleine Schwingungen des sphärischen Pendels Vektorfelder auf der Geraden Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen Ein Gegenbeispiel Beweis der Eindeutigkeit Direkte Produkte Beispiele direkter Produkte Gleichungen mit trennbaren Veränderlichen Beispiel: Das Volterra-Lotka Modell Lineare Gleichungen Lineare homogene Gleichungen Lineare homogene Gleichungen erster Ordnung mit periodischen Koeffizienten 48

3 VI Inhaltsverzeichnis 3. Lineare inhomogene Gleichungen Die Greensche Funktion und <$-förmige Inhomogenitäten Lineare inhomogene Gleichungen mit periodischen Koeffizienten Phasenflüsse Die Operation von Gruppen auf einer Menge Einparametrige Transformationsgruppen Einparametrige Gruppen von Diffeomorphismen Das Vektorfeld der Phasengeschwindigkeit Die Operation von Diffeomorphisnien auf Vektorfeldern und Richtungsfeldern Die Operation glatter Abbildungen auf Vektoren Die Operation von Diffeomorphismen auf Vektorfeldern Variablensubstitution in einer Gleichung Die Operation eines Diffeomorphismus auf einem Richtungsfeld Die Operation eines Diffeomorphismus auf einem Phasenfluß Symmetrien Symmetriegruppen Anwendung einer einparametrigen Symmetriegruppe zur Integration einer Gleichung Homogene Gleichungen Quasihomogene Gleichungen Ähnlichkeits- und Dimensionsbetrachtungen Methoden der Integration von Differentialgleichungen 85 Kapitel 2. Grundlegende Sätze Rektifizierungssätze Rektifizierbare Richtungsfelder Existenz- und Eindeutigkeitssätze Sätze über die stetige und differenzierbare Abhängigkeit einer Lösung von den Anfangswerten Transformationen in der Zeit von fo bis t Sätze über die stetige und differenzierbare Abhängigkeit von einem Parameter Fortsetzungssätze Rektifizierung eines Vektorfeldes Anwendungen auf Gleichungen höherer Ordnung Die Äquivalenz einer Gleichung n-ter Ordnung zu einem System von n Gleichungen erster Ordnung Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz Differenzierbarkeits- und Fortsetzungssätze Systeme von Gleichungen Bemerkungen zur Terminologie 113

4 Inhaltsverzeichnis VII { 9. Phasenkurven eines autonomen Systems Autonome Systeme Verschiebungen in der Zeit Geschlossene Phasenkurven Die Ableitung in Richtung eines Vektorfeldes und erste Integrale Die Ableitung in Richtung eines Vektors Die Ableitung in Richtung eines Vektorfeldes Eigenschaften der Richtungsableitung Die Liealgebra der Vektorfelder Erste Integrale Lokale erste Integrale Zeitabhängige erste Integrale Lineare und quasilineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung Lineare homogene Gleichungen Das Cauchyproblem Lineare inhomogene Gleichungen Die quasilineare Gleichung Die Charakteristiken einer quasilinearen Gleichung Integration einer quasilinearen Gleichung Nichtlineare partielle Differentialgleichungen erster Ordnung Das konservative System mit einem Freiheitsgrad Definitionen Der Energieerhaltungssatz Energieniveaulinien Die Energieniveaulinien in der Nähe singulärer Punkte Fortsetzung der Lösungen der Newtonschen Gleichung Nichtkritische Energieniveaulinien Beweis des Satzes aus Abschnitt Kritische Niveaulinien Ein Beispiel Kleine Störungen eines konservativen Systems 152 Kapitel 3. Lineare Systeme Lineare Probleme Beispiel: Linearisierung Beispiel: Einparametrige Gruppen linearer Transformationen des R n Die lineare Gleichung Die Exponentialfunktion Die Norm eines Operators 158

5 VIII Inhaltsverzeichnis 2. Der metrische Raum der Operatoren Beweis der Vollständigkeit Reihen Definition der Exponentialfunktion e A Ein Beispiel Die Exponentialfunktion für einen diagonalen Operator Die Exponentialfunktion für einen nilpotenten Operator Quasipolynome Eigenschaften der Exponentialfunktion Die Gruppeneigenschaft Der Fundamentalsatz der Theorie linearer Gleichungen mit konstanten Koeffizienten Die allgemeine Gestalt einparametriger Gruppen linearer Transformationen des M n Eine zweite Definition der Exponentialfunktion Beispiel: Die Eulersche Formel für e Eulersche Polygonzüge Die Determinante des Operators e A Die Determinante eines Operators Die Spur eines Operators Der Zusammenhang zwischen der Determinanten und der Spur Die Determinante des Operators e A Praktische Berechnung der Matrixexponentialfunktion: Der Fall reeller paarweise verschiedener Eigenwerte Diagonale Operatoren Ein Beispiel Der diskrete Fall Komplexifizierung und Reellifizierung Reellifizierung Komplexifizierung Die komplexe Konjugation Exponentialfunktion, Determinante und Spur eines komplexen Operators Die Ableitung einer Kurve mit komplexen Werten Die lineare Gleichung mit komplexen Koeffizienten Definitionen Der Fundamentalsatz Der diagonale Fall Beispiel: Eine lineare Gleichung, deren Phasenraum die komplexe Gerade ist Ein Korollar 187

6 Inhaltsverzeichnis IX 20. Die Komplexifizierung einer reellen Gleichung Die komplexifizierte Gleichung Invariante Unterräume eines reellen Operators Lineare Gleichungen in der Ebene Klassifikation singulärer Punkte in der Ebene Beispiel: Das Pendel mit Reibung Die allgemeine Lösung einer linearen Gleichung im Fall einfacher Wurzeln der charakteristischen Gleichung Klassifikation der singulären Punkte eines linearen Systems Beispiel: Singuläre Punkte im dreidimensionalen Raum Lineare, differenzierbare und topologische Äquivalenz Die lineare Klassifikation Die differenzierbare Klassifikation Die topologische Klassifizierung singulärer Punkte Ein Satz Reduktion auf den Fall m_ = Die Ljapunovfunktion Konstruktion der Ljapunovfunktion Eine Abschätzung der Ableitung Die Konstruktion des Homöomorphismus h Beweis von Lemma Der Beweis des topologischen Klassifizierungssatzes Stabilität von Gleichgewichtslagen Stabilität nach Ljapunov Asymptotische Stabilität Ein Satz über die Stabilität in erster Näherung Beweis des Satzes Der Fall rein imaginärer Eigenwerte Topologische Klassifikation Ein Beispiel Die Phasenkurven von (4) auf dem Torus Folgerungen Der mehrdimensionale Fall Die gleichmäßige Verteilung Der Fall mehrfacher Eigenwerte Die Berechnung von e M für einen Jordanblock A Anwendungen Anwendungen auf Systeme höherer Ordnung Der Fall einer Gleichung n-ter Ordnung Rekursive Folgen Kleine Schwingungen 232

7 X Inhaltsverzeichnis 26. Quasipolynome Ein Funktionenvektorraum Der Vektorraum der Lösungen einer linearen Gleichungen Invarianz bezüglich Verschiebungen Eine historische Bemerkung Inhomogene Gleichungen Die Methode der komplexen Amplituden Anwendung zur Berechnung schwach nichtlinearer Schwingungen Lineare nichtautonome Gleichungen Definition Existenz von Lösungen Der Vektorraum der Lösungen Die Wronskische Determinante Der Fall einer einzigen Gleichung Der Satz von Liouville Die Sturmschen Sätze über die Nullstellen der Lösungen einer Gleichung zweiter Ordnung Lineare Gleichungen mit periodischen Koeffizienten Die Abbildung nach einer Periode Stabilitätskriterien Stark stabile Systeme Rechnungen Variation der Konstanten Der einfachste Fall Der allgemeine Fall Rechnungen 272 Kapitel 4. Beweise der grundlegenden Sätze Kontrahierende Abbildungen Definition Satz über kontrahierende Abbildungen Bemerkung Beweis des Existenzsatzes und des Satzes über die stetige Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen Sukzessive Approximationen nach Picard Vorbereitende Abschätzungen Die Lipschitzbedingung Differenzierbarkeit und Lipschitzbedingung Die Größen C,L,a',b' Der metrische Raum M Die kontrahierende Abbildung A: M - M Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz Weitere Anwendungen kontrahierender Abbildungen 284

8 Inhaltsverzeichnis XI ;32. Der Differenzierbarkeitsatz Die Variationsgleichung Der Satz von der Differenzierbarkeit 286 r 4 3. Höhere Ableitungen nach x Ableitungen nach x und t 288 i' 5. Der Rektifizierungssatz Die höchste Ableitung 292 Kapitel 5. Differentialgleichungen auf Mannigfaltigkeiten Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Beispiele für Mannigfaltigkeiten Definitionen Beispiele für Atlanten Kompaktheit Zusammenhang und Dimension Differenzierbare Abbildungen Bemerkung Untermannigfaltigkeiten Beispiel Tangentialbündel. Vektorfelder auf Mannigfaltigkeiten Der Tangentialraum Tangentialbündel Bemerkungen zur Parallelisierbarkeit Tangentialabbildungen Vektorfelder Der durch ein Vektorfeld definierte Phasenfluß Ein Satz Konstruktion der Diffeomorphismen g l für kleine t Konstruktion von g 1 für beliebige t Bemerkung Der Index singulärer Punkte eines Vektorfeldes Der Index einer Kurve Eigenschaften des Index Beispiele Der Index eines singulären Punktes des Vektorfeldes Satz von der Indexsumme Die Indexsumme singulärer Punkte auf der Sphäre Exakte Grundlagen Der mehrdimensionale Fall 327

9 XII Inhaltsverzeichnis Prüfungsprogramm 331 Beispiele für Prüfungsaufgaben 333 Literaturverzeichnis 339 Sachverzeichnis 341