Theoretische Physik 1

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1 Florian Scheck Theoretische Physik 1 Mechanik Von den Newtonschen Gesetzen zum deterministischen Chaos Achte Auflage mit 171 Abbildungen, 11 praktischen Übungen und 119 Aufgaben und Lösungen 4ü Springer

2 Inhaltsverzeichnis XV i. Elementare Newton'sche Mechanik 1.1 Die Newton'schen Gesetze (1687) und ihre Interpretation Gleichförmig geradlinige Bewegung und Inertialsysteme Inertialsysteme in relativer Bewegung Impuls und Kraft Typische Kräfte; Bemerkung über Maßeinheiten Raum, Zeit und Kräfte Das Zwei-'Teilchen-System mit inneren Kräften Schwerpunkts- und Relativbewegung Gravitationskraft zwischen zwei Himmelskörpern (Kepler-Problem) Schwerpunkts- und Relativimpuls im Zwei-Teilchen-System Systeme von endlich vielen Teilchen Der Schwerpunktsatz Der Drehimpulssatz Der Energiesatz Das abgeschlossene n-teilchen-system Galilei-Transformationen Raum und Zeit der Mechanik bei Galilei-Invarianz Konservative Kraftfelder Eindimensionale Bewegung eines Massenpunktes Bewegungsgleichungen in einer Dimension Harmonischer Oszillator, Das ebene mathematische Pendel im Schwerefeld Phasenraum für das n -Teilchen-System (im l 3 ) Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen der Bewegungsgleichungen Physikalische Konsequenzen des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes Lineare Systeme Zur Integration eindimensionaler Bewegungsgleichungen Das ebene Pendel bei beliebigem Ausschlag Das Zwei-Teilchen-System mit Zentralkraft Rotierendes Koordinatensystem: Coriolis- und Zentrifugalkräfte Coriolis-Beschleunigung auf der Erde Streuung zweier Teilchen, die über eine Zentralkraft miteinander wechselwirken: Kinematik Zwei-Teilchenstreuung mit Zentralkraft: Dynamik Coulomb-Streuung zweier Teilchen mit gleichen Massen und Ladungen Ausgedehnte mechanische Körper Virial und zeitliche Mittelwerte 69 Anhang: Praktische Übungen 71

3 xvi Inhaltsverzeichnis ; 2. Die Prinzipien der kanonischen Mechanik 2.1 Zwangsbedingungen und verallgemeinerte Koordinaten Definition von Zwangsbedingungen Generalisierte Koordinaten Das d'alembert'sche Prinzip Definition der virtuellen Verrückungen Statischer Fall Dynamischer Fall Die Lagrange'schen Gleichungen Einfache Anwendungen des d'alembert'sehen Prinzips Exkurs über Variationsprinzipien Hainil ton'sches Extremalprinzip Die Euler-Lagrange-Gleichungen Einige Anwendungen des Hamilton'schen Prinzips Lagrangefunktionen sind nicht eindeutig Eichtransformationen an der Lagrangefunktion Zulässige Transformationen der verallgemeinerten Koordinaten Die Hamiltonfunktion und ihr Zusammenhang mit der Lagrangefunktion Legendre-Transformation für den Fall einer Variablen Legendre-Transformation im Fall mehrerer Veränderlicher Kanonische Systeme Einige einfache kanonische Systeme Variationsprinzip auf die Hamiltonfunktion angewandt Symmetrien und Erhaltungssätze Satz von E. Noether Infinitesimale Erzeugende für Drehung um eine Achse Exkurs über die Drehgruppe Infinitesimale Drehungen und ihre Erzeugenden Kanonische Transformationen Beispiele von kanonischen Transformationen Die Struktur der kanonischen Gleichungen Lineare, autonome Systeme in einer Dimension Kanonische Transformationen in kompakter Notation Zur symplektischen Struktur des Phasenraums Der Liouville'sche Satz Lokale Form Integrale Form Beispiele zum Liouville'schen Satz Die Poisson-Klammer Eigenschaften der Poisson-Klammern, Infinitesimale kanonische Transformationen Integrale der Bewegung Hamilton-Jacobi'sche Differentialgleichung Einfache Anwendungen der Hamilton-Jacobi'sehen Differentialgleichung Hamilton-Jacobi-Gleichung und integrable Systeme Lokale Glättung von Hamilton'schen Systemen 145 t Integrable Systeme Winkel-und Wirkungsvariable Störungen an quasiperiodischen Hamilton'schen Systemen 155

4 Inhaltsverzeichnis XVII 2.39 Autonome, nichtausgeartete Hamilton'sche Systeme in der Nähe von integrablen Systemen Beispiele, Mittelungsmethode Anharmonischer Oszillator Mittelung von Störungen 161 Anhang: Praktische Übungen Mechanik des starren Körpers 3.1 Definition des starren Körpers Infinitesimale Verrückung eines starren Körpers Kinetische Energie und Trägheitstensor Eigenschaften des Trägheitstensors Der Satz von Steiner Beispiele zum Satz von Steiner.T Drehimpuls des starren Körpers Kräftefreie Bewegung von starren Körpern Die Euler'schen Winkel Definition der Euler'schen Winkel Die Bewegungsgleichungen des starren Körpers Die Euler'schen Gleichungen Anwendungsbeispiel: Der kräftefreie Kreisel Kräftefreier Kreisel und geometrische Konstruktionen Der Kreisel im Rahmen der kanonischen Mechanik Beispiel: Symmetrischer Kinderkreisel im Schwerefeld Anmerkung zum Kreiselproblem Symmetrischer Kreisel mit Reibung: Der Aufstehkreisel" Eine Energiebetrachtung Bewegungsgleichungen und Lösungen konstanter Energie 211 Anhang: Praktische Übungen Relativistische Mechanik 4.1 Schwierigkeiten der nichtrelativistischen Mechanik Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Die Lorentz-Transformationen Analyse der Lorentz- und Poincare-Transformationen Drehungen und Spezielle Lorentz-Transformationen Bedeutung der Speziellen Lorentz-Transformationen Zerlegung von Lorentz-Transformationen in ihre Komponenten Satz über orthochrone eigentliche Lorentz-Transformationen Korollar zum Zerlegungssatz und einige Konsequenzen , 4.6 Addition von relativistischen Geschwindigkeiten Galilei- und Lorentz-Raumzeit-Mannigfaltigkeiten Bahnkurven und Eigenzeit Relativistische Dynamik Relativistisches Kraftgesetz Energie-Irripulsvektor Die Lorentz-Kraft Zeitdijatation und Längenkontraktion Mehr über die Bewegung kräftefreier Teilchen.' Die Konforme Gruppe 262

5 XVlll Inhaltsverzeichnis ; 5. Geometrische Aspekte der Mechanik 5.1 Mannigfaltigkeiten von verallgemeinerten Koordinaten Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Der Euklidische Raum W Glatte oder differenzierbare Mannigfaltigkeiten Beispiele für glatte Mannigfaltigkeiten Geometrische Objekte auf Mannigfaltigkeiten Funktionen und Kurven auf Mannigfaltigkeiten Tangentialvektoren an eine glatte Mannigfaltigkeit Das Tangentialbündel einer Mannigfaltigkeit Vektorfelder auf glatten Mannigfaltigkeiten Äußere Formen Kalkül itsf Mannigfaltigkeiten Differenzierbare Abbildungen von Mannigfaltigkeiten Integralkurven von Vektorfeldern..." Äußeres Produkt von Einsformen Die äußere Ableitung Äußere Ableitung und Vektoren im R Hamilton-Jacobi'sche und Lagrange'sche Mechanik Koordinaten-Mannigfaltigkeit Q, Geschwindigkeitsraum TQ und Phasenraum T* Q Die kanonische Einsform auf dem Phasenraum Die kanonische Zweiform als symplektische Form auf M Symplektische Zweiform und Satz von Darboux Die kanonischen Gleichungen Die Poisson-Klammer Zeitabhängige Hamilton'sche Systeme Lagrange'sche Mechanik und Lagrangegleichungen Zusammenhang der beiden Formulierungen der Mechanik Die Lagrange'sche Zweiform Energie als Funktion auf TQ und Lagrange'sches Vektorfeld Vektorfelder auf dem Geschwindigkeitsraum TQ und Lagrange'sche Gleichungen Legendre-Transformation und Zuordnung von Lagrange- und Hamiltonfunktion Riemann'sche Mannigfaltigkeiten in der Mechanik Affiner Zusammenhang und Paralleltransport Parallele Vektorfelder und Geodäten Geodäten als Lösungen von Euler-Lagrange-Gleichungen Der kräftefreie, unsymmetrische Kreisel Stabilität und Chaos 6.1 Qualitative Dynamik Vektorfelder als dynamische Systeme Einige Definitionen für Vektorfelder und ihre Integralkurven 340 ' Gleichgewichtslagen und Linearisierung von Vektorfeldern Stabilität von Gleichgewichtslagen Kritische Punkte von Hamilton'schen Vektorfeldern Stabilität und Instabilität beim kräftefreien Kreisel 352

6 Inhaltsverzeichnis XIX 6.3 Langzeitverhalten dynamischer Flüsse und Abhängigkeit von äußeren Parametern Strömung im Phasenraum Allgemeinere Stabilitätskriterien Attraktoren Die Poincare-Abbildung Verzweigungen von Flüssen bei kritischen Punkten Verzweigungen von periodischen Bahnen Deterministisches Chaos Iterative Abbildungen in einer Dimension Quasi-Definition von Chaos Ein Beispiel: Die logistische Gleichung Quantitative Aussagen über ungeordnete Bewegung Aufbruch in deterministisches Chaos Liapunov'sche Charakteristische Exponenten Seltsame Attraktoren und Fraktale 388" 6.6 Chaotische Bewegungen in der Himmelsmechanik Rotationsdynamik von Planetensatelliten Bahndynamik von Planetoiden mit chaotischem Verhalten Kontinuierliche Systeme 7.1 Diskrete und kontinuierliche Systeme Grenzübergang zum kontinuierlichen System Hamilton'sches Extremalprinzip für kontinuierliche Systeme Kanonisch konjugierter Impuls und Hamiltondichte Beispiel: Die Pendelkette Ausblick und Bemerkungen 411 Anhang A Einige mathematische Begriffe 417 A. 1 Ordnung" und modulo" 417 A.2 Abbildung "417 A.3 Stetige und differenzierbare Abbildungen 419 A.4 Ableitungen 419 A.5 Differenzierbarkeit einer Funktion 420 A.6 Variablen und Parameter 420 A.7 Lie'sche Gruppe 420 B Einige Hinweise zum Rechnereinsatz 421 B. 1 Bestimmung von Nullstellen 422 B.2 Zufallszahlen 423 B.3 Numerische Integration gewöhnlicher Differentialgleichungen 423 B.4 Numerische Auswertung von Integralen 425 C Historische Anmerkungen 426 Aufgaben 431 Lösungen der Aufgaben 459 Literatur 529 Sachverzeichnis 533 Namenverzeichnis 537