Florian Scheck MECHANIK. Von den Newtonsehen Gesetzen zum deterministischen Chaos. Mit 134 Abbildungen. Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

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1 Springer-Lehrbuch

2 Florian Scheck MECHANIK Von den Newtonsehen Gesetzen zum deterministischen Chaos Mit 134 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

3 Professor Dr. Florian Scheck Fachbereich Phy sik, Institut für Physik Johannes-Gutenberg-Universit ät, Postfach D-65oo Mainz 1 ISBN ISBN (ebook) DOI / CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Scheck, Florian: Mechanik : von d. Newton. Gesetzen zum determinist. Chaos I F. Scheck. - Berlin ; Heidelberg ; New York ; London ; Paris ; Tokyo : Springer, 1988 Dieses Werk ist urheb errechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der Fassung vom 24. Juni 1985 zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1988 Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbeze ichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Satz: K + V Fotosatz, 6124Beerfelden 2156/ Gedruckt auf säurefreiem Papier

4 Vorwort Die Mechanik ist nicht nur das alteste Thilgebiet der Physik, sie stellt bis heute die Grundlage fur die ganze theoretische Physik dar: So ist zum Beispiel die Quantenmechanik ohne die klassische Mechanik kaum verstandlich, vielleicht sogar nicht einmal formulierbar. Aber auch jede klassische Feldtheorie, wie etwa die Elektrodynamik, baut auf dem von der Mechanik vorgegebenen Fundament auf. Dabei geht es nicht nur urn die physikalischen Grundbegriffe, die man hier kennen und anwenden lernt, sondern auch urn den formalen Rahmen der Mechanik, ihre mathematisch-geometrische Struktur als Prototyp einer physikalischen Theorie. Diese Leitfunktion zieht sich bis hinein in Fragen der modernen, theoretisch-physikalischen Forschung, wo man immer wieder - wenn auch oft in ganz anderen Zusammenhangen - auf die Mechanik zuruckkommt. Es ist daher nicht verwunderlich, wenn ihre Darstellung stets auch Entwicklungen der modernen Physik widerspiegelt. Wir setzen heute die Akzente in diesem klassischen Gebiet wesentlich anders als zu Zeiten von Arnold Sommerfeld oder in den funfziger Jahren. Zum Beispiel spielen Symmetrien und Invarianzprinzipien eine wichtige Rolle, ebenso die Struktur des Raum-Zeitkontinuums und die geometrische Natur der Mechanik, wahrend die Anwendungen der Theorie der partiellen Differentialgleichungen etwas mehr in den Hintergrund geruckt sind. Als Anfanger soli man von vornherein wissen und im Gedachtnis behalten, dab es primar nicht urn die Beschreibung von Flaschenzugen, reibungslos rollenden Kugeln in rotierenden Ringen oder anderen recht kilnstlich anmutenden Beispielen von kuriosen Systemen geht, sondern: Um das Aufstellen von allgemeinen Prinzipien, aus denen physikalische Bewegungsgleichungen folgen und die sich uber die Mechanik hinaus verallgemeinern lassen; urn die Erkenntnis, welche Bedeutung Symmetrien fur die Behandlung physikalischer Systeme haben; und, nicht zuletzt, urn die Ubung, wie man ein prazises Begriffssystem aufstellt, mit dem sich ein physikalisches Teilgebiet verstehen und klar formulieren labt. Das sind grundsatzliche Bezuge, die man anhand der noch weitgehend anschaulichen klassischen Mechanik lernt, dann aber soweit abstrahieren soli, dab sie in anderen Bereichen der Physik erkennbar und anwendbar werden. Ein anderer Gesichtspunkt, der die Auswahl des Stoffes und die Gestaltung der klassischen theoretischen Physik bestimmen mu6, ist der des Aufbaus des modernen Physikstudiums. Der Weg yom Beginn des Studiums bis zu einem Kenntnisstand auf dem Niveau der heutigen Forschung darf nicht zu lang werden. Das bedeutet, dab man einerseits einige der klassischen Themen auslassen mub, und andererseits, dab man ubergreifende, vereinheitlichte Methoden und moderne mathematisch-physikalische Begriffsbildungen so fruh wie m6glich einfuhren und verwenden soli. Uber ihre Bedeutung als Fundament der ganzen theoretischen Physik und als erstes, noch weitgehend anschauliches Ubungsfeld fur physikalische Begriffsbildungen wollen

5 VI Vorwort wir aber nicht verges sen, dab die Mechanik ftir sich genommen ein wunderschones Gebiet ist. Sie ist for den Anfanger im allgemeinen zunachst schwer zu lernen, wei! sie vielschichtig und in ihrem Aufbau heterogener ist als etwa die Elektrodynamik. Man wird dieses reizvoile, aber etwas sprode Gebiet in der Regel nicht im ersten Anlauf verstehen und "verdauen", sondern wird im Laufe der Zeit immer wieder auf Teilaspekte der Mechanik zurtickkommen und dabei - vielleicht mit Uberraschung - feststeilen, dab man sie dabei noch einmal und ein StOck tie fer versteht. Es ist auch ein Irrtum zu glauben, die Mechanik sei ein abgeschlossenes und langst archiviertes Gebiet. Spatestens im 6. Kapitel wird man lernen, dab sie auch heute noch ein interessantes Forschungsgebiet ist und dab viele Fragen der modernen, qualitativen Mechanik unbeantwortet sind. Ziele und Aufbau Einige allgemeine Leitlinien for den Aufbau dieses Buches waren die folgenden: I) Dieser Kurs tiber Mechanik ist so konzipiert, dab er als Einstieg in die theoretische Physik im modernen Sinne dienen kann. Anhand von Systemen der makroskopischen, "vorstellbaren" Mechanik werden Konzepte und Methoden eingefohrt, die in allen Bereichen der Physik vorkommen. Dabei werden diejenigen betont und besonders motiviert, deren Tragfahigkeit tiber die klassische Mechanik hinausreicht. So hat die Theorie des Kreisels, urn nur ein Beispiel zu nennen, unter anderem auch deshalb besondere Bedeutung, wei! man in ihr ein erstes und zugleich letztes anschauliches Beispiel for eine Liegruppe in der Physik, der Drehgruppe im dreidimensionalen Raum, kennenlernt. II) So wichtig die (wenigen) integrablen FaIle for das Verstandnis sind, es bleibt unbefriedigend, wenn man sich auf diese und auf lokale Existenzaussagen for LOsungen von nichtintegrablen Systemen beschrankt. 1m fortiaufenden Text und in den Praktischen Obungen habe ich daher eine Reihe einfacher, aber nichttrivialer, Beispie1e ausgearbeitet oder beschrieben, die jeder Leser auf einem Kleinrechner nachvoilziehen, erweitern und variieren kann. Diese PC-gestOtzten Beispiele ermoglichen ohne Zweifel eine Vertiefung des Verstandnisses und die Entwicklung eines GefOhls for das VerhaIten von LOsungen. Andererseits sind sie einfach genug, dab man kaum Gefahr lauft, tiber der Beschaftigung mit dem Rechner die Physik zu vergessen, die man vertiefen wollte. III) Schon die Mechanik tragt deutliche geometrische Ztige. 1m 5. Kapitel wird der geometrische Charakter dieses Gebietes, der vor diesem nur vereinzelt aufscheint, klar herausgearbeitet. Gleiehzeitig wird damit eine EinfOhrung in die strenge, differentialgeometrische Formulierung gegeben, die man unbedingt kennen mub, wenn man die moderne mathematische Literatur zur Mechanik lesen mochte. Ich hoffe hier ein wenig dazu beizutragen, dab die Kluft zwischen den "physikalischen" Btichern tiber Mechanik und der modernen, mathematischen Literatur etwas kleiner und for den Anfanger leichter tiberwindbar wird. IV) Auch wenn man die Mechanik als Anfanger oder Nichtspezialist nicht in ihrem vollen Umfang lernen mochte, sollte man doch eine Vorstellung tiber globale und qualitative Fragestellungen der Mechanik haben, die Gegenstand der modernen Forschung auf diesem Gebiet sind. Das 6. Kapitel gibt daher einen Uberblick tiber die notwendigen Begriffsbildungen und die wichtigsten Fragen der qualitativen Dynamik, die in so faszinierende Phanomene wie das deterministische Chaos tiberleiten. Der Schwierigkeitsgrad der einzelnen Kapitel ist unterschiedlich. Das vierte ist aus physikalischer Sieht vermutlieh das schwierigste, das fonfte ist sieher das mathematisch

6 Vorwort VII anspruchsvollste Kapitel. Dabei ist mir nattirlich klar, dab diese Bewertung subjektiv ist und dab verschiedene Leser je nach personlichen Neigungen und Vorkenntnissen an ganz unterschiedlichen Stellen ihren ersten Schwierigkeiten begegnen werden. Auf das vierte Kapitel wird man in der Elektrodynamik zurtickkommen und die physikalische Bedeutung der Speziellen RelativiUitstheorie aus einem anderen Blickwinkel erkennen. Wenn man mochte, kann man das fiinfte Kapitel (Geometrische Aspekte) beim ersten Durchgang auslassen und erst auf der Basis einer grtindlichen Kenntnis des zweiten und des sechsten studieren. Ich habe mich bemtiht, die Nattirlichkeit der geometrischen Formulierung zu zeigen und die dazu erforderlichen mathematischen Begriffe ausfiihrlich zu motivieren. Dennoch wird man einzelne Abschnitte des fiinften Kapitels mehrmals durcharbeiten mtissen, wobei der Inhalt des sechsten als Illustration und Quelle ftir Beispiele dienen kann. 1m tibrigen ist der Text weitgehend "selbsttragend" konzipiert, d. h. unter anderem, dab man fast aile Herleitungen nachrechnen und nachvollziehen kann. Das mag an manchen Stellen nicht einfach sein und einige Zeit des Grtibelns erfordern. Man sollte aber nicht zu rasch aufgeben, denn was man nicht selbst einmal "durchspielt", versteht man nicht wirklich. Zum Umfang dieses Buches Das Buch enthait wesentlich mehr Stoff als man in einer viersttindigen Vorlesung in einem Semester bewaltigen kann. In diesem Fall wird man also eine Auswahl treffen mtissen und den tibrigen Text als erganzende Lektiire verwenden. Das erste Kapitel, das noch keinen Gebrauch von Variationsprinzipien und Begriffen der kanonischen Mechanik macht, habe ich allerdings so angelegt, dab man es als Begleittext zu einer Vorlesung tiber Experimentalphysik (bzw. einem integrierten Kursus) oder zu einer Einftihrung in die theoretische Physik verwenden kann. In diesem Fall kann die eigentliche Mechanikvorlesung im wesentlichen mit dem zweiten Kapitel beginnen und dann auch bis in das 6. Kapitel durchfiihren. Neben den Praktischen Ubungen enthalt das Buch zahlreiche Aufgaben, die das Verstandnis vertiefen sollen. Fast aile dieser Aufgaben sind in begleitenden Ubungen und Klausuren von den Mainzer Studenten behandelt worden. Da Interessen und Begabungen recht unterschiedlich sind, ist es schwer etwas tiber den Schwierigkeitsgrad der Ubungsaufgaben auszusagen. Was der eine als schwer empfindet, ist fiir einen anderen klar und einfach. Man soli sich also nicht entmutigen lassen, wenn man die eine oder andere Aufgabe nicht im ersten Anlauf versteht. Ein Begleitheft zum Buch wird vorbereitet. Mathematische Hilfsmittel Als Physiker mub man eine gewisse Flexibilitat im Gebrauch der Mathematik lernen: Einerseits kann man unmoglich aile deduktiven Schritte bis in aile Einzelheiten und in aller Strenge durchfiihren, da man auf diese Weise erst sehr spat zu den physikalisch wesentlichen Aussagen kommt. Andererseits mub man wenigstens einige der Grundlagen in ihrer mathematischen Gestalt kennen und im tibrigen wenigstens "wissen, wie es geht", d. h. man sollte immer in der Lage sein, Einzelheiten der Argumentation mit den Hilfsmitteln zu erganzen, die man in den Kursen tiber Mathematik gelernt hat. Ftir die Mechanik, wie ftir jedes andere Teilgebiet der Physik, ist es charakteristisch, dab sie Begriffe, Methoden und Satze aus ganz unterschiedlichen mathematischen Gebieten ver-

7 VIII Vorwort wendet. Diesen etwas grobzugigen Umgang mit den mathematischen Grundlagen wird man auch in diesem Buch finden. Einige mathematische Aspekte sind weitgehend ausgearbeitet, bei anderen wird auf Kenntnisse aus der Analysis und der Linearen Algebra verwiesen. Man kann auch hier nicht erwarten, dab man aile Begriffe aus der Mathematik schon parat hat, wenn sie in der Physik verwendet werden. 1m Einzelfall ist es ratsam, die Dinge punktuell nachzulesen oder - im Idealfall - sich aus den Grundlagen selbst abzuleiten. 1m Anhang A habe ich einige generelle Aussagen zusammengestellt, die fur den Text hilfreich sein mogen. Danksagungen Dieses Buch ist aus Vorlesungen im Rahmen des Mainzer Theoriekursus entstanden, angereichert durch ein Seminar uber geometrische Aspekte der Mechanik. Daher mochte ich an erster Stelle den Studenten und meinen Mitarbeitem danken, die durch ihr Interesse, ihre Begeisterung und durch ihre kritischen Fragen viel zu seiner Gestaltung beigetragen haben. In meinen Zurcher Jahren habe ich viel Anregung durch Diskussionen und Gesprache mit Res Jost, Klaus Hepp und Norbert Straumann erfahren, die mein Interesse an diesem wunderschonen Gebiet vertieft haben. Klaus Hepp danke ich besonders fur freundschaftlichen und hilfreichen Rat bei der Gestaltung dieses Buches. Ebenso mochte ich Nikolaos Papadopoulos, mit dem ich besonders geme die geometrischen Aspekte der Mechanik diskutiere, und Manfred Stingl fur konstruktive Kritik und Verbesserungsvorschlage danken. Peter Beckmann hat mir freundlicherweise die schonen Figuren zur logistischen Gleichung (Kap. 6) zur VerfUgung gestellt und mir einige Hinweise zur Auswahl von Beispielen zum deterministischen Chaos gegeben. Maraike zur Hausen gebuhrt mein Dank fur ihre geduldige Arbeit an den verschiedenen Versionen des Manuskriptes. Herm Dr. H.-V. Daniel yom Springer-Verlag danke ich herzlich fur die gute und verstandnisvolle Zusammenarbeit, Herm C.-D. Bachem fur die gelungene Gestaltung des Satzes dieses Buches. Dieses Buch widme ich allen Studenten, die sich mit der Mechanik intensiv auseinandersetzen mochten. Wenn ich ihre Begeisterung wecken und sie fur die Faszination der Physik emp/iinglich machen konnte, dann ist ein wesentfiches Ziel dieses Buches erreicht. Mainz, Juni 1988 Florian Scheck

8 Inhaltsverzeichnis 1. Elementare Newtonsche Mechanik Die Newtonschen Gesetze (1687) und ihre Interpretation Gleichformig geradlinige Bewegung Definition von Inertialsystemen Satz tiber Inertialsysteme Das Zweiteilchensystem mit inneren Kraften, Schwerpunktsund Relativbewegung Beispiel: Gravitationskraft zwischen zwei Himmelskorpern (Keplerproblem) Schwerpunkts- und Relativimpuls im Zweiteilchensystem Systeme von endlich vielen Teilchen Der Schwerpunktsatz Der Drehimpulssatz Der Energiesatz Das abgeschlossene n-teilchensystem Galileitransformationen Bemerkungen tiber Raum und Zeit bei Galileiinvarianz Eindimensionale Bewegung eines Massenpunktes Beispiel: Harmonischer Oszillator Beispiel: Das ebene mathematische Pendel im Schwerefeld Phasenraum fur das n-thilchensystem (im 1R 3 ) Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz fur LOsungen von (1.37) Physikalische Konsequenzen von Satz aus Abschnitt Lineare Systeme Zur Integration eindimensionaler Bewegungsgleichungen Beispiel: Ebenes Pendel mit beliebigem Ausschlag Beispiel: Zweiteilchensystem mit Zentralkraft Rotierendes Koordinatensystem: Coriolis- und Zentrifugalkrafte Beispiele zu Abschnitt Streuung zweier Teilchen, die tiber eine Zentralkraft miteinander wechselwirken: Kinematik Zweiteilchenstreuung mit Zentralkraft: Dynamik Beispiel: Coulombstreuung zweier Teilchen mit gleichen Massen und Ladungen Ausgedehnte mechanische Korper Anhang: Praktische Ubungen... 47

9 x Inhaltsverzeichnis 2. Die Prinzipien der kanonischen Mechanik Zwangsbedingungen und verallgemeinerte Koordinaten Definition von Zwangsbedingungen Generalisierte Koordinaten Das d'alembertsche Prinzip Definition der virtuellen Verrfickungen Statischer Fall Dynamischer Fall Die Lagrangeschen Gleichungen Beispiele zu Abschnitt Exkurs fiber Variationsprinzipien Hamiltonsches Extremalprinzip Die Euler-Lagrangegleichungen Beispiele zu Abschnitt Anmerkung fiber die Nicht-Eindeutigkeit der Lagrangefunktion Eichtransformationen an der Lagrangefunktion Zulassige Transformationen der verallgemeinerten Koordinaten Die Hamiltonfunktion und ihr Zusammenhang mit der Lagrangefunktion L Legendretransformation fur den Fall einer Variablen Legendretransformation im Fall mehrerer Veranderlicher Kanonische Systeme Beispiele zu Abschnitt Variationsprinzip auf die Hamiltonfunktion angewandt Symmetrien und Erhaltungssatze Satz von E. Noether Infinitesimale Erzeugende fur Drehung um eine Achse Exkurs fiber die Drehgruppe Infinitesimale Drehungen und ihre Erzeugenden Kanonische 1tansformationen Beispiele von kanonischen Transformationen Die Struktur der kanonischen Gleichungen Beispiel: Lineares, autonomes System in einer Dimension Kanonische 1tansformationen in kompakter Notation Zur symplektischen Struktur des Phasenraums Der Liouvillesche Satz Lokale Form Integrale Form Beispiele zum Liouvilleschen Satz Die Poissonklammer Eigenschaften der Poissonklammern Infinitesimale kanonische 1tansformationen Integrale der Bewegung Hamilton-lacobische Differentialgleichung Beispiele zur Hamilton-lacobischen Differentialgleichung Anhang: Praktische Ubungen

10 Inhaltsverzeichnis XI 3. Mechanik des starren Korpers Definition des starren Korpers Infiniiesimale Verrtickung eines starren Korpers Kinetische Energie und Tragheitstensor Eigenschaften des nagheitstensors Der Satz von Steiner Beispiele zum Satz von Steiner Drehimpuls des starren Korpers Kraftefreie Bewegung von starren Korpern Die Eulerschen Winkel Definition der Eulerschen Winkel Die Bewegungsgleichungen des starren Korpers Die Eulerschen Gleichungen Anwendungsbeispiel: Der kraftefreie Kreisel Kraftefreier Kreisel und geometrische Konstruktionen Der Kreisel im Rahmen der kanonischen Mechanik Beispiel: Symmetrischer Kinderkreisel im Schwerefeld Anmerkung zum Kreiselproblem Anhang: Praktische Ubungen Relativistische Mechanik Schwierigkeiten der nichtrelativistischen Mechanik Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Die Lorentztransformationen Analyse der Lorentz- und Poincaretransformationen Drehungen und Spezielle Lorentztransformationen Bedeutung der Speziellen Lorentztransformationen Zerlegung von Lorentztransformationen in ihre Komponenten Satz tiber orthochrone eigentlic~e Lorentztransformationen Korollar zum Satz und einige Konsequenzen Addition von relativistischen Geschwindigkeiten Galilei- und Lorentz-Raumzeitmannigfaltigkeiten Bahnkurven und Eigenzeit Relativistisches Kraftgesetz Zeitdilatation und Uingenkontraktion Mehr tiber die Bewegung kraftefreier Thilchen Die konforme Gruppe Geometrische Aspekte der Mechanik..., Mannigfaltigkeiten von verallgemeinerten Koordinaten Differenzierbare Mannigfaltigkeiten Der Euklidische Raum IR n Glatte oder differenzierbare Mannigfaltigkeiten Beispiele ftir glatte Mannigfaltigkeiten Geometrische Objekte auf Mannigfaltigkeiten Funktionen und Kurven auf Mannigfaltigkeiten Tangentialvektoren an eine glatte Mannigfaltigkeit Das Tangentialbtindel einer Mannigfaltigkeit Vektorfelder auf glatten Mannigfaltigkeiten

11 XII Inhaltsverzeichnis AuBere Formen Kalkiil auf Mannigfaltigkeiten Differenzierbare Abbildungen von Mannigfaltigkeiten Integralkurven von Vektorfeldern AuBeres Produkt von Einsformen Die aubere Ableitung AuBere Ableitung und Vektoren im 1R Hamilton-lacobische und Lagrangesche Mechanik Koordinatenmannigfaltigkeit Q, Geschwindigkeitsraum 1Q, und Phasenraum T*Q Die kanonische Einsform auf dem Phasenraum (T*Q) Die kanonische Zweiform als symplektische Form auf M Symplektische Zweiform und Satz von Darboux Die kanonischen Gleichungen Die Poissonklammer Zeitabhangige Hamiltonsche Systeme Lagrangesche Mechanik und Lagrangegleichungen Zusammenhang der beiden Formulierungen der Mechanik Die Lagrangesche Zweiform Energie als Funktion auf 1Q und Lagrangesches Vektorfeld Vektorfelder auf dem Geschwindigkeitsraum 1Q und Lagrangesche Gleichungen Legendretransformation und Zuordnung von Lagrangeund Hamiltonfunktion Stabilitiit odd Chaos Qualitative Dynamik Vektorfelder als dynamische Systeme Einige Definitionen fur Vektorfelder und ihre Integralkurven Gleichgewichtslagen und Linearisierung von Vektorfeldern StabiliUlt von Gleichgewichtslagen Kritische Punkte von Hamiltonschen Vektorfeldern Stabilitat und Instabilitat beim kraftefreien Kreisel Langzeitverhalten dynamischer Flfisse und Abhangigkeit von auberen Parametern Stromung im Phasenraum Aligemeinere Stabilitatskriterien Attraktoren Die Poincareabbildung Verzweigungen von Flfissen bei kritischen Punkten Verzweigungen von periodischen Bahnen Deterministisches Chaos Iterative Abbildungen in einer Dimension Quasi-Definition von Chaos Ein Beispiel: Die logistische Gleichung Chaotische Bewegungen in der Himmelsmechanik Rotationsdynamik von Planetensatelliten Bahndynamik von Planetoiden mit chaotischem Verhalten

12 Inhaltsverzeichnis XIII Anhang A. Einige mathematische Begriffe Literatur Aufgaben Sachverzeichnis