4. Hamiltonformalismus

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1 4. Hamiltonormalismus Für die praktische Lösung von Problemen bietet der Hamiltonormalismus meist keinen Vorteil gegenüber dem Lagrangeormalismus. Allerdings bietet der Hamiltonormalismus einen direkten Ausgangspunkt ür die Quantenmechanik. Der Begri des Phasenraumes ist in vielen Gebieten der Physik von großer Bedeutung Hamilton-Funktion Die Lagrangeunktion Lq, q,t ist eine Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten. Im Hamiltonormalismus werden die verallgemeinerten Geschwindigkeiten q i durch die verallgemeinerten Impulse p i ersetzt p i = L q i,, 72

2 Damit können wir die Impulse ausdrücken q i als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und q k = q k q, p, t Zur Vereinachung der Notation verwenden wir die Abkürzungen q = q 1,,q, q = q 1,, q, p = p 1,, p Die Hamiltonunktion ist deiniert als H q, p,t = q i q, p,t p i Lq, qq, p,t,t q i q, p, t Da die als Funktion der verallgemeinerten Koordinaten und Impulse ausgedrückt wird, ist die Hamiltonunktion auch nur von q und p abhängig. 73

3 Beispiel: linearer harmonischer Oszillator L = m 2 ẋ 2 k 2 x 2 p = L ẋ = m ẋ ẋ = p m H x, p = p m p m 2 p m 2 k 2 x 2 = p2 2 m k 2 x 2 Die verallgemeinerten Koordinaten und Impulse werden als von einander unabhängige Größen betrachtet, q k = 0. 74

4 4.2. kanonische (Hamiltonsche) Gleichungen Das Prinzip der kleinsten Wirkung (Hamiltonsches Prinzip) t 2 S [q] = dt Lq, q,t = 0 t 1 besagt, dass die tatsächliche Bahnkurve q(t) die Wirkung S minimiert. Die Variation nach Funktionen q i (t) mit esten Randwerten ür ein System mit Freiheitsgraden lieert Dierenzialgleichungen 2. Ordnung (Lagrange- Gleichungen). Wir ersetzen L durch H t 2 S [q, p] = dt t 1 p i q i H q, p,t = 0 Da q und p unabhängige Variablen sind, müssen wir nach 2-Größen variieren. 75

5 Für este Randwerte qt 1 = qt 2 = 0 pt 1 = pt 2 = 0 erhalten wir t 2 S [q, p] = t 1 dt H p i q i p i q i q i H p i Der zweite Term kann durch partielle Integration ( g' = g - 'g) umgeschrieben werden t 2 t 1 t 2 dt p i q i = p i q i dt ṗ i q i t 1 Nach Ausnutzen der Randwerte erhalten wir t 2 S [q, p] = t 1 dt [ q i H p i ṗi H q i] = 0 Da die Variationen δp i und δq i Klammern Null werden. beliebige Funktionen sind, müssen die ( ) 76

6 Kanonische (Hamiltonsche) Gleichungen q i = H ṗ i = H i = 1,..., sind die kanonischen oder Hamilton'schen Gleichungen. Die kanonischen Gleichungen sind 2 Dierenzialgleichungen 1. Ordnung und völlig äquivalent zu den Dierenzialgleichungen 2. Ordnung (Lagrange-Gleichungen 2. Art). Bewegung eines Teilchens in einem Potenzial U(x,y,z,t): L = m r 2 Die verallgemeinerten Impulse sind Die Hamiltonunktion lautet: 2 U r,t = m 2 ẋ2 ẏ 2 ż 2 U x, y, z,t p x = L ẋ = m ẋ, p y = m ẏ, p z = m ż 3 H q, p,t = q i p i Lq, q,t = = p 2 x p 2 2 y p z 2m i= x, y, z U r,t = p2 U r,t 2 m p i m p i m 2 p x m 2 p y m 2 p z m 2 U r,t = 77

7 Die kanonischen Gleichungen ür die x-koordinate lauten: ṗ x = H x = U x, ẋ= H p x = p x m Die Ausdrücke ür die y- und z-koordinate sind ähnlich, so dass die kanonischen Gleichungen in Vektororm zusammen geasst werden können. p = gradu r,t, r = p m Ableiten des zweiten Ausdruckes und einsetzen des Ergebnisses in den ersten gibt r = p m m r = gradu r,t Die Äquivalenz mit den Lagrangegleichungen bzw. den Newtonschen Axiomen ist hoentlich oensichtlich. 78

8 Energieerhaltung: dh dt = d dt p i q i L = d dt L q i q i L = L t = H t Wenn L nicht explizit von der Zeit abhängt, ist der Klammer-Ausdruck konstant (siehe 4.1. Homogenität der Zeit). Wenn die kinetische Energie nur quadratisch von den Geschwindigkeiten abhängt q i L q q i = m i q 2 i = 2T T = m i 2 q i2 Dann ist die Hamiltonunktion H = 2T - L H q, p,t = T U gleich der Energie. Wenn die Koordinaten kartesisch sind und das Potenzial nicht von den Geschwindigkeiten abhängt, hat die Hamiltonunktion die obige einache Form als Summe von kinetischer und potenzieller Energie, im allgemeinen Fall gilt dieser Zusammenhang nicht. 79

9 4.3. Phasenraum Die Angabe von 2 Werten q i,..., q und p 1,..., p legt den Zustand eines Systems zu einer bestimmten Zeit est. Wir ordnen nun jedem Zustand einen Punkt in einem abstrakten, 2-dimensionalen Raum zu, der durch die Größen q i und p i augespannt wird. Dieser Raum wird Phasenraum genannt. Die zeitliche Entwicklung eines Systems wird durch eine Kurve im Phasenraum dargestellt. Beispiel: linearer harmonischer Oszillator p p max H x, p = p2 2m k 2 x2 x x max 80

10 Da die Energie erhalten bleibt H(x, p) = E = const. 1 2 m E p2 k 2 E x 2 = 1 ist eine Ellipse im Phasenraum. Die Halbachsen der Ellipse sind a = 2 E k b = 2 m E x 2 a 2 y 2 b 2 = 1 Das Phasenraumvolumen ist gleich der von der Kurve H(q, p)=e eingeschlossenen Fläche. Für die Ellipse des harmonischen Oszillators erhalten wir V PR E = H q, pe dq dp = a b = 2 E k / m = 2 E 81

11 4.4 Poissonklammer Wenn ein System durch q i und p i bestimmt ist, kann eine beliebige physikalische Größe nur von diesen Variablen und der Zeit abhängen. Zwei physikalische Größen F = F q 1,,q, p 1,, p,t K = K q 1,,q, p 1,, p,t seien gegeben. Wir deinieren die Poissonklammer in der Form {F, K } = F K F K Eigenschaten: {F, K } = {K, F } {F, F } = 0 82

12 Im Hamiltonormalismus sind q und p unabhängige Variablen p j = q j = ij p j = q j = 0 t = t = 0 Damit erhalten wir z. B. {q i,q j } = { p i, p j } = 0 { p i,q j } = ij Wenn wir in der Poissonklammer ür K=q j oder K=p j einsetzen, erhalten wir {F, q j } = F q j F q j = F ij = F p j {F, p j } = F q i p j F p j = F ij = F q j 83

13 Die vollständige Zeitableitung einer beliebigen physikalischen Größe F(q,p,t) ist df dt = F t = F t {F, H } F q i F ṗ i unter Ausnutzung der kanonischen Gleichungen. Wenn F nicht explizit von der Zeit abhängt, dann ist diese Größe eine Erhaltungsgröße, alls die Poisson-Klammer mit H verschwindet. z. B. F = H d H d t = H t {H, H } = H t Falls H nicht explizite von der Zeit abhängt, olgt die zeitliche Konstanz von H, d.h. die Energie des Systems bleibt erhalten. 84

14 4.5 Hamilton-Jacobi-Gleichung Durch Variablentransormation (q, p) -> (Q,P) lässt sich eine neue Hamiltonunktion H' inden, ür die gelten soll: W q,q,t H ' Q, P,t = H q, p,t 0 t H q,,q q,t W q,t W q,t 1, W,, q 1 q,t t = 0 Für die tatsächliche Bahn entspricht die Größe W der Wirkung. Die Hamilton- Jacobi-Gleichung ist eine partielle DGL 1. Ordnung ür die Funktion W. Sie kann ebenso wie die Lagrange-Gleichungen oder Hamiltonschen Gleichungen als Grundgleichung ür die Bewegung mechanischer Systeme augeasst werden. Allerdings dient die Hamilton-Jacobi-Gleichung weniger zur Lösung von konkreten mechanischen Bewegungen, sondern zeigt Beziehungen zwischen Mechanik, Optik und Quantenmechanik. 85