15 Hamiltonsche Mechanik

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1 15 Hamiltonsche Mechanik Wie bereits an anderer Stelle kurz erwähnt, stellt das Wirkungsprinzip so etwas wie das Bindeglied zwischen der klassischen Physik und der Quantenphysik her. Wenn man für ein bestimmtes mechanisches System ein Wirkungsprinzip angeben kann, dann lässt sich dasselbe System auch im Rahmen der Quantenmechanik konsistent beschreiben. Wie dieser Übergang von der klassischen zur Quantenmechanik aussieht, ist natürlich nicht Inhalt dieser Vorlesung. Man kann den Übergang jedoch bereits im Rahmen der klassischen Physik vorbereiten und ihn damit sowohl technisch als auch konzeptuell erleichtern. Wir formulieren dazu das Wirkungsprinzip aus dem letzten Kapitel ein wenig um, und gelangen so zur Hamiltonschen Formulierung der Bewegungsgleichungen für ein mechanisches System. Unabhängig von ihrer Bedeutung für die Quantenmechanik haben die Bewegungsgleichungen in dieser Form auch in der klassischen Mechanik einige sehr nützliche Eigenschaften. So können wir zum Beispiel die Zeitentwicklung eines Systems in einer geometrisch sehr anschaulichen Art und Weise darstellen. Darüber hinaus können wir einige Sätze über Erhaltungsgrößen beweisen, die das Auffinden von Lösungen erleichtern. Die Wirkung erster Ordnung Ein Extremalproblem, das von mehreren Variablen abhängt, kann man schrittweise lösen. Ist zum Beispiel das Minimum einer Funktion x, y) hx, y) gesucht, so können wir zuerst x als Konstante betrachten und das Minimum der Funktion y hx, y) suchen. Nehmen wir an, diese Funktion hätte ein Minimum bei y = y min x), wobei der Wert von y min im allgemeinen von x abhängen wird. Im zweiten Schritt betrachten wir dann die Funktion x hx, y min x)). Wenn diese Funktion bei x = x 0 ein Minimum hat, so liegt das gesuchte Minimum der Funktion x, y) hx, y) bei x = x 0 und y = y min x 0 ). Wir können auch umgekehrt vorgehen, also zuerst y als Konstante betrachten und die Funktion x hx, y) minimieren. Nehmen wir wieder an, das Minimum dieser Funktion befinde sich bei x = x min y). Dann müssen wir nur noch die Funktion y hx min y), y) minimieren, um das gestellte Extremalproblem zu lösen. Wenn das Minimum dieser Funktion bei y = y 0 liegt, so finden wir das Minimum der Funktion hx, y) diesmal bei x = x min y 0 ) und y = y 0. Da das Ergebnis in beiden Fällen dasselbe sein muss, gilt natürlich x 0 = x min y 0 ) bzw. y 0 = y min x 0 ). Ein typisches Beispiel für ein Extremalproblem dieser Art ist, die kürzeste Verbindung zwischen zwei Teilmengen eines metrischen Raumes zu finden. Ist x ein Punkt in der ersten Teilmenge, y ein Punkt in der zweiten Teilmenge, so ist der Abstand dieser Punkte eine Funktion dx, y) der beiden Punkte. Man findet den minimalen Abstand der beiden Teilmengen, indem man zuerst für jeden Punkt x in der einen Teilmenge den nächsten Punkt y in der zweiten Teilmenge sucht, und anschließend denjenigen Punkt x auswählt, für den dieser minimale Abstand wiederum minimal wird. Eigentlich ist es aber nicht diese Lösungsstrategie für spezielle Extremalprobleme, die uns an dieser Stelle interessiert, sondern ein ganz anderer Aspekt, der sich aus diesen Überlegungen ergibt. Betrachten wir noch einmal die jeweils im zweiten Schritt auftretenden, zu minimierenden Funktionen x hx, y min x)) bzw. y hx min y), y). Beides sind Funktion, die von jeweils einer reellen Variablen abhängen. Es sind jedoch im allgemeinen völlig andere Funktionen, denen man unter Umständen gar nicht mehr ansieht, dass sie sich auf die dargestellte Art und Weise aus einer Funktion hx, y) ableiten lassen. Trotzdem sind die beiden durch diese Funktionen definierten Extremalprobleme in einem gewissen Sinne äquivalent. Beide lösen dasselbe, ursprünglich gestellte Extremalproblem, das von zwei Variablen abhing. Nehmen wir nun an, der Ausgangspunkt sei gar nicht dieses Problem, sondern das Extremalproblem für die Funktion x hx, y min x)). Dann können wir dieses Extremalproblem auf ein äquivalentes Problem 139

2 abbilden, nämlich auf das für die Funktion y hx min y), y), indem wir gewissermaßen einen Umweg über das Extremalproblem für x, y) hx, y) machen. Unter Umständen kann dieser Umweg nützlich sein, etwa wenn das äquivalente Extremalproblem eine sehr viel einfachere Lösung besitzt. Auf dieser Idee beruht im wesentlichen die Hamiltonsche Formulierung der Bewegungsgleichungen eines mechanisches Systems, die wir im folgenden herleiten wollen. Man geht von dem bekannten Wirkungsprinzip aus, und ersetzt dieses durch ein anderes, äquivalentes Wirkungsprinzip, aus dem man schließlich eine neue, etwas einfachere Darstellung der Bewegungsgleichungen erhält. Es sei also ein mechanisches System gegeben mit einem Konfigurationsraum Q und einer Lagrange- Funktion Lq, v, t), mit q Q und v T Q. Die Wirkung einer Bahn qt) mit den Randbedingungen q ) = q 1 und qt 2 ) = q 2 ist dann S[q] = t 2 L qt), qt), t ) dt, 15.1) und das Wirkungsprinzip verlangt, dass dieses Funktional für die physikalische Bahn stationär wird. Da wir im folgenden zwischen der Geschwindigkeit als Argument der Lagrange-Funktion und der Geschwindigkeit als Ableitung einer Bahn nach der Zeit unterscheiden müssen, verwenden wir für das Argument der Lagrange-Funktion ein anderes Symbol. Wir schreiben also Lq, v, t), um deutlich zu machen, dass die Lagrange-Funktion von einem Punkt q Q im Konfigurationsraum und von einem Vektor v T Q im Tangentenraum abhängt. Zwischen diesen Argumenten besteht zunächst kein Zusammenhang. Erst, wenn wir die Lagrange-Funktion entlang einer Bahn qt) auswerten, so wie dies in 15.1) geschieht, ist es sinnvoll, für q den Punkt qt) und für v die Zeitableitung qt) einzusetzen. Diesen Umstand haben wir bisher durch eine etwas verkürzte Notation verschleiert. Es sollte aber klar sein, dass es erst dann einen Sinn hat, von einer Geschwindigkeit als Zeitableitung des Ortes zu sprechen, wenn dieser eine Funktion der Zeit ist. Man kann nun dieses Einsetzen der Bahn in die Lagrange-Funktion und das anschließende Berechnen der Wirkung noch auf eine andere Art und Weise beschreiben. Wir betrachten dazu das erweiterte Wirkungsfunktional, das sich ergibt, wenn wir die Funktionen qt) und vt) als voneinander unabhängig betrachten. Wir verlangen also nicht, dass vt) = qt) ist. Wir bekommen dann ein Funktional, dass von zwei Funktionen abhängt, nämlich S[q, v] = t 2 L qt), vt), t ) dt. 15.2) Das Wirkungsprinzip besagt nun, dass die physikalisch realisierte Bahn dieses Funktional stationär macht, allerdings nicht um Raum aller Funktionen qt) und vt), sondern in einem Teilraum davon, nämlich in demjenigen Unterraum, der durch die Beziehung vt) = qt) bestimmt wird. Das ist eine an die Argumente des Funktionals gestellte Nebenbedingung, die wir mit Hilfe von Lagrange-Multiplikatoren berücksichtigen können. Die Gleichung vt) = qt) muss zu jedem Zeitpunkt erfüllt sein, und sie setzt sich als Vektorgleichung aus dim Q Komponenten v µ t) = q µ t) zusammen. Wir brauchen deshalb für jeden Zeitpunkt t und für jeden Wert des Index µ einen Multiplikator. Wir bezeichnen diese Multiplikatoren mit p µ t) und fassen die Komponenten zu einem dualen Vektor pt) zusammen, der selbst wieder zu einer Funktion der Zeit wird. Dann lässt sich das Wirkungsprinzip wie folgt formulieren. Wir betrachten alle möglichen Bahnen qt) von q ) = q 1 nach qt 2 ) = q 2, sowie alle glatten Funktionen vt) und pt) für t t 2, an die wir keine weiteren Randbedingungen stellen müssen. Als Funktional davon definieren wir die erweiterte 140

3 Wirkung S[q, v, p] = t 2 L qt), vt), t ) + p µ t) q µ t) v µ t) )) dt. 15.3) Schließlich verlangen wir, dass die physikalische Bahn diejenige ist, für die dieses Funktional stationär wird, und zwar bei einer gleichzeitigen Variation aller Argumente, also der Funktionen qt), vt) und pt). Obwohl es sich eigentlich aus der Konstruktion ergibt, wollen wir zeigen, dass aus diesem Wirkungsprinzip tatsächlich wieder auf die ursprünglichen Bewegungsgleichungen folgen. Wir variieren zuerst die Funktion pt). Das ergibt unmittelbar δs[q, v, p] = t 2 δp µ t) q µ t) v µ t) ) dt. 15.4) Die Wirkung ist genau dann bei einer beliebigen Variation δp µ t) der Lagrange-Multiplikatoren p µ t) stationär, wenn die Geschwindigkeiten v µ t) die Zeitableitungen der Koordinatenfunktionen q µ t) sind. Das ist natürlich nicht weiter überraschend, denn genau das hatten wir als Nebenbedingung gefordert, und dafür die Funktionen p µ t) als Lagrange-Multiplikatoren eingeführt. Aus dem erweiterten Wirkungsprinzip folgt also v µ t) = q µ t). 15.5) Als nächstes betrachten wir eine Variation der Funktion vt). Für diese gilt δs[q, v, p] = t 2 δv µ t) Dieser Ausdruck verschwindet genau dann für alle δv µ t), wenn L ) ) qt), vt), t v µ pµ t) dt. 15.6) p µ t) = L v µ qt), vt), t ) 15.7) ist. Wenn L, wie es üblicherweise für ein mechanisches System der Fall ist, durch T V gegeben ist, und wenn nur die kinetische Energie T von der Geschwindigkeit abhängt, so stehen auf der rechten Seite dieser Gleichung die verallgemeinerten Impulse, die wir ursprünglich als Ableitungen der kinetischen Energie nach den Komponenten der Geschwindigkeit definiert hatten. Es liegt deshalb nahe, diese Definition noch weiter zu verallgemeinern, und die Größen p µ t) auch dann als Impulse zu bezeichnen, wenn die Lagrange-Funktion nicht von der speziellen Form L = T V ist. Wir ändern unsere Definition aus Kapitel 11 ab, indem wir den Impuls nicht mehr als Ableitung der kinetischen Energie nach der Geschwindigkeit definieren, sondern statt dessen von der Lagrange-Funktion ausgehen. Der Impuls eines mechanischen Systems ist die Ableitung der Lagrange-Funktion nach der Geschwindigkeit. Das erklärt auch, warum es sinnvoll war, die Multiplikatoren p µ t) zu einem dualen Vektor pt) zusammenzufassen. Da L ein Skalar ist und v µ die Komponenten eines Vektors sind, sind p µ = L/ v µ die Komponenten eines dualen Vektors. Der in 15.3) unter dem Integral gebildete Ausdruck ist das Produkt des dualen Vektors pt) mit dem Vektor vt) qt), also wieder ein Skalar. Die erweiterte Wirkung ist somit unabhängig davon, in welchem Koordinatensystem wir sie ausrechnen, wenn wir alle dort auftretenden Größen entsprechend transformieren. 141

4 Nun müssen wir noch zeigen, dass die erweiterte Wirkung auch tatsächlich die richtigen Bewegungsgleichungen liefert. Wir müssen dazu noch eine Variation der Bahn qt) betrachten. Das ergibt δs[q, v, p] = t 2 δq µ t) L ) ) qt), vt), t + δ q µ q µ t) p µ t) dt. 15.8) Im Gegensatz zu den beiden vorherigen Variationen müssen wir hier eine partielle Integration durchführen, um die Zeitableitung von der Variation δ q µ t) zu entfernen. Es tritt also ein Randterm auf, δs[q, v, p] = [ ] δq µ t2 t) p µ t) + t 2 δq µ t) L ) ) qt), vt), t q µ ṗµ t) dt. 15.9) Der Randterm verschwindet jedoch, da wir an die Bahn qt) die üblichen Randbedingungen stellen, also die Anfangs- und Endkonfiguration festgelegen. Daher verschwindet δq µ t) bei t = und t = t 2. Es bleibt schließlich die Gleichung ṗ µ t) = L q µ qt), vt), t ) ) Fassen wir das Ergebnis noch einmal wie folgt zusammen. Die erweiterte Wirkung 15.3) ist genau dann stationär, wenn die Funktionen qt), vt) und pt) den Gleichungen v µ t) = q µ t), p µ t) = L v µ qt), vt), t ), ṗµ t) = L q µ qt), vt), t ) 15.11) genügen. Dass diese Gleichungen zu den ursprünglichen Bewegungsgleichungen äquivalent sind, sieht man nun sehr leicht. Man muss nur die Funktionen vt) und pt) eliminieren, indem man die ersten beiden Gleichungen in die dritte Gleichung einsetzt. Das führt unmittelbar auf die Euler-Lagrange-Gleichung d dt L ) L ) qt), qt), t qt), qt), t = ) q µ q µ Aufgabe 15.1 Man wiederhole die einzelnen Schritte in diesem Kapitel für den speziellen Fall eines mechanisches Systems mit einem Freiheitsgrad mit Lq, v) = m v 2 /2 V q). Aufgabe 15.2 Bei der Herleitung der Bewegungsgleichungen aus der erweiterten Wirkung sind wir schrittweise vorgegangen, indem wir zuerst nur die Funktion pt) variiert haben, dann nur die Funktion vt), und schließlich nur die Funktion qt). Das Wirkungsprinzip verlangt jedoch, dass die Wirkung unter einer gleichzeitigen Variation aller Argumente stationär ist. Genau genommen haben wir aber nur sehr spezielle Richtungsableitungen des Funktionals 15.3) berechnet und von diesen verlangt, dass sie Null sind. Warum führt dieses Vorgehen trotzdem zum richtigen Resultat? Die Hamilton-Funktion Was haben wir mit diesem nochmaligen Umschreiben der Bewegungsgleichungen nun eigentlich gewonnen? Sind die neuen Gleichungen 15.11) nicht viel komplizierter als die alten Euler-Lagrange- Gleichungen 15.12)? In einem gewissen Sinne schon, da sie von mehr Funktionen abhängen, aber in einem anderen Sinne sind sie auch einfacher. Sie bilden nämlich ein System von Differenzialgleichungen erster Ordnung. Es kommen nur noch die ersten Ableitungen der gesuchten Funktionen nach der Zeit vor, und die Gleichungen sind sogar nach diesen aufgelöst. 142

5 Die mittlere der drei Bewegungsgleichungen ist darüber hinaus noch nicht einmal eine echte Differenzialgleichung. Wir werden dies jetzt benutzen, um eine der beiden Hilfsfunktionen wieder zu eliminieren. Dazu benutzen wir die am Anfang beschriebene Methode. Ein Variationsproblem können wir schrittweise lösen. Wir betrachten zuerst nur eine Variation der Funktion vt), während wir die Funktionen qt) und pt) festhalten. Wie wir gesehen haben, führt dies auf die Gleichung p µ t) = L v µ qt), vt), t ) ) Sie stellt eine Beziehung zwischen den Größen pt), vt) und qt) her, die zu jedem Zeitpunkt t gelten muss. Es treten dabei keine Zeitableitungen auf, so dass die Gleichung zu jedem Zeitpunkt unabhängig von den Gleichungen zu allen anderen Zeitpunkten ist. Wir nehmen nun an, dass diese Gleichung nach vt) auflösbar ist. Mit anderen Worten, wir können vt) als Funktion von qt) und pt) darstellen. Für typische mechanische Systeme, wie wir sie bisher kennen gelernt haben, ist dies immer der Fall. Die Geschwindigkeit ist immer eindeutig durch den Impuls bestimmt, wobei der Zusammenhang aber vom Ort abhängen kann, zum Beispiel wenn wir ein krummliniges Koordinatensystem benutzen oder Zwangsbedingungen vorliegen. Für Systeme mit zeitabhängigen Zwangsbedingungen kann der Zusammenhang auch zeitabhängig sein. Wenn diese Voraussetzung erfüllt ist, können wir die Geschwindigkeit vt) immer so bestimmen, dass das Funktional S[q, v, p] bezüglich einer Variation von vt) stationär ist. Es bleibt dann noch ein reduziertes Funktional S[q, p] = t 2 p µ t) q µ t) [ p µ t) v µ t) L qt), vt), t )] =,,t) ) dt, 15.14) das nur noch von den Funktionen qt) und pt) abhängt, und dessen Variation bezüglich dieser Funktionen für die physikalischen Bahnen verschwinden muss. In der eckigen Klammer müssen wir für vt) die in 15.13) gefundene Lösung einsetzen, was durch die etwas verkürzte Notation v = vq, p, t) angedeutet werden soll. Wir wollen uns diesen Ausdruck etwas genauer ansehen. Es handelt sich um eine Funktion, die nur von qt), pt) und t abhängt, nicht aber von den Ableitungen dieser Größen oder ihren Werten zu anderen Zeitpunkten. Das folgt aus der Tatsache, dass die Gleichung 15.13), die vt) als Funktion von qt) und pt) bestimmt, zwar im allgemeinen von der Zeit t abhängen kann, aber keine Zeitableitungen enthält und alle drei Größen nur zu einem Zeitpunkt eingehen. Man nennt den Ausdruck in der eckigen Klammer die Hamilton-Funktion des mechanischen Systems. Eine sehr elegante Art und Weise, die Hamilton-Funktion darzustellen, ist Hamilton- Funktion Hq, p, t) = Ext pµ v µ Lq, v, t) ), 15.15) wobei Ext für das Extremum im Raum aller Geschwindigkeiten v steht. Wie wir gleich sehen werden, handelt es sich typischerweise um ein Maximum, aber darauf kommt es nicht an. Tatsächlich liefert das Extremum des Ausdrucks 15.15) bis auf ein Vorzeichen genau die eckige Klammer in 15.14). Das Extremum liegt nämlich bei der Geschwindigkeit v, für die p µ = L/ v µ ist. Am besten machen wir uns dies an ein paar Beispielen klar. Zunächst betrachten wir ein Teilchen in einer Raumrichtung, das sich in einem Potenzial bewegt. Seine Lagrange-Funktion ist Lq, v) = m v 2 /2 V q). Sie hängt nicht explizit von der Zeit ab, so dass auch die Hamilton-Funktion nicht zeitabhängig ist. Man findet Hq, p) = Ext p v m v 2 v2 + V q) )= p2 + V q) ) 2 m 143

6 Hier haben wir verwendet, dass der Ausdruck in der Klammer sein Extremum bei v = p/m annimmt und dies dann für v eingesetzt. Wie man leicht sieht, ist die Hamilton-Funktion in diesem Fall gerade die Gesamtenergie des Teilchens, ausgedrückt als Funktion von Ort und Impuls. Das gilt sogar ganz allgemein. Wenn nämlich L = T V ist, und T eine quadratische Funktion der Geschwindigkeit ist, die wir durch eine symmetrische Massenmatrix darstellen können, während V nur vom Ort abhängt, so findet man Lq, v) = 1 2 M µνq) v µ v ν V q) p µ = L v µ = M µνq) v ν ) Für mechanische Systeme ist die kinetische Energie immer positiv, also ist die Massenmatrix invertierbar. Wie bezeichnen die inverse Matrix mit M µν q), und können dann die Geschwindigkeit als Funktion des Ortes und des Impulses darstellen, M µν q) M νρ q) = δ µ ρ v µ = M µν q) p ν ) Nun können wir die Hamilton-Funktion berechnen. Es ist Hq, p) = Ext p µ v µ 1 ) 2 M µνq) v µ v µ + V q) = 1 2 M µν q) p µ p ν + V q) ) Der erste Summand ist, wie man sich leicht überzeugt, wieder die kinetische Energie, jetzt allerdings dargestellt als Funktion des Ortes q und des Impulses p. Und der zweite Summand ist natürlich die potenzielle Energie. Der Übergang von der Lagrange-Funktion, die eine Funktion von Ort und Geschwindigkeit ist, zur Hamilton-Funktion als Funktion von Ort und Impuls, bewirkt in diesem Fall, dass sich das relative Vorzeichen von kinetischer und potenzieller Energie umkehrt. Allerdings gilt dieser Zusammenhang nur dann, wenn sich die Lagrange-Funktion in der Form L = T V darstellen lässt, und T quadratisch von der Geschwindigkeit abhängt. Dann ist H = T + V, also die Gesamtenergie. Wenn die Lagrange-Funktion nicht von dieser speziellen Form ist, ist es trotzdem sinnvoll, die Hamilton- Funktion mit der Energie des Systems zu identifizieren. In diesem Fall ist nämlich die Größe Energie noch gar nicht definiert. Die einzige Stelle, an der wir diesen Begriff bisher im Rahmen der Lagrangeschen Mechanik verwendet haben, war die Definition der Lagrange-Funktion als Differenz von kinetischer und potenzieller Energie. Wir nehmen uns daher die Freiheit, den Begriff Energie auf diese Weise zu verallgemeinern. Die Hamilton-Funktion repräsentiert die Gesamtenergie eines mechanischen Systems als Funktion von Ort und Impuls. Warum das sinnvoll ist, werden wir in den nächsten Abschnitten sehen. Unter bestimmten Voraussetzungen ist nämlich die Hamilton-Funktion eine Erhaltungsgröße, und zwar unabhängig davon, ob L = T V und somit H = T + V ist oder nicht. Dies führt auf eine Verallgemeinerung des Energieerhaltungsatzes, wenn man den Begriff der Energie entsprechend verallgemeinert. Fassen wir an dieser Stelle noch einmal kurz zusammen, was wir bisher getan haben. Ausgehend von der Lagrange-Funktion und dem daraus abgeleiteten Wirkungsprinzip 15.1) sind wir zu einer alternativen, aber äquivalenten Formulierung übergegangen, bei dem die Wirkung durch 15.14) oder S[q, p] = t 2 p µ t) q µ t) H qt), pt), t )) d5.20) als Funktional der Funktionen qt) und pt) gegeben ist. Die Hamilton-Funktion Hq, p, t) ergibt sich dabei durch 15.15) aus der Lagrange-Funktion Lq, v, t). Jetzt müssen wir nur noch verlangen, dass diese Wirkung stationär wird, um die physikalischen Bahnen zu finden. 144

7 Aufgabe 15.3 Der Übergang von der Lagrange- zur Hamilton-Funktion wird in der Mathematik als Legendre-Transformation bezeichnet. Sie ist, ähnlich wie die Fourier-Transformation, eine Abbildung zwischen Funktionen, die von verschiedenen Argumenten abhängen. Man zeige, dass die Umkehrung der Legendre-Transformation wieder eine solche Transformation ist. Man kann also aus der Hamilton- Funktion Hq, p, t) wieder die Lagrange-Funktion Lq, v, t) bestimmen, indem man das Extremum Lq, v, t) = Ext pµ v µ Hq, p, t) ) 15.21) bildet. Die Transformation Lq, v) Hq, p) ist in diesem Sinne symmetrisch. Man verifiziere dies explizit am Beispiel eines Teilchens im Potenzial in einer Raumdimension. Aufgabe 15.4 Wenn der Konfigurationsraum Q des mechanischen Systems eine glatte Mannigfaltigkeit ist, so hatten wir am Ende von Kapitel 13 gezeigt, dass die Lagrange-Funktion L eine reelle Funktion, also ein skalares Feld auf dem Tangentenbündel TQ) ist. Auf welchem Raum ist in diesem Fall die Hamilton-Funktion H eine reelle Funktion? Warum ist sie unabhängig von dem in der Definition 15.15) verwendeten Koordinatensystem? Aufgabe 15.5 Bekanntlich ist die Lagrange-Funktion eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld durch den Ausdruck 11.77) gegeben, Lr, v) = 1 2 m v v + q Ar, t) v q φr, t), 15.22) c wobei Ar, t) das magnetische Vektorpotenzial und φr, t) das elektrische Potenzial sind. Wie sieht die Hamilton-Funktion aus? Welcher Zusammenhang besteht zwischen dem Impuls p und der Geschwindigkeit v? Bewegungsgleichungen und Phasenraum Nun kommen wir zurück zu den eigentlichen Bewegungsgleichungen des mechanischen Systems. Wie wir gerade gezeigt haben, ergeben sie sich aus dem Wirkungsprinzip 15.20), das heißt das dort definierte Funktional muss für physikalische Bahnen stationär sein. Als Randbedingungen geben wir wieder die Konfigurationen q ) = q 1 am Anfang und qt 2 ) = q 2 am Ende des Zeitintervalls vor. An die Impulse p ) und p t 2 ) müssen wir keine Einschränkungen machen. Die Bewegungsgleichungen, die sich daraus ergeben, haben eine sehr einfache Form. Variieren wir zuerst wieder die Funktion pt), so finden wir t 2 δs[q, p] = δp µ t) q µ t) H p µ qt), pt), t ) ) dt ) Entsprechend ergibt eine Variation von qt), nachdem wir die übliche partielle Integration durchgeführt haben, t 2 δs[q, p] = δq µ t) ṗ µ t) + H ) ) qt), pt), t q µ dt ) Damit die Wirkung stationär ist, müssen die folgenden Bewegungsgleichungen erfüllt sind. Hamiltonsche Bewegungsgleichungen q µ = H p µ, 145 ṗ µ = H q µ )

8 Dies ist ein System von Differenzialgleichungen erster Ordnung, die bereits nach den Ableitungen der Funktionen qt) und pt) aufgelöst sind. Einfacher lassen sich die Bewegungsgleichungen für ein mechanisches System eigentlich nicht mehr darstellen. Viele typische Eigenschaften von mechanischen Systemen können wir aus diesen Hamiltonschen Bewegungsgleichungen sofort ablesen. So zum Beispiel die Eigenschaft, dass die Zeitentwicklung eines Systems eindeutig festgelegt ist, wenn wir zu irgendeinem Zeitpunkt t 0 sowohl den Ort qt 0 ) = q 0 als auch den Impuls pt 0 ) = p 0 kennen. In diesem Sinne ist der Zustandsraum des Systems, also die Menge aller Bewegungszustände, die das System annehmen kann und die die Zeitentwicklung eindeutig festlegen, nun der Raum aller Orte q und Impulse p. Man nennt diesen Raum den Phasenraum. Der Phasenraum P eines mechanischen Systems ist der Menge aller Bewegungszustände, dargestellt durch den Ort q Q und den Impuls p T Q. Ist der Konfigurationsraum Q des System ein affiner Raum, so ist der Ort q Q ein Punkt in diesem Raum und der Impuls ein dualer Vektor p T Q. Folglich ist der Phasenraum der Produktraum P = Q T Q. Dies ist wieder ein affiner Raum, wobei dim P = 2 dim Q ist. Der Phasenraum hat also für jeden Freiheitsgrad zwei Dimensionen. Wenn der Konfigurationsraum Q kein affiner Raum ist, sondern nur eine glatte Mannigfaltigkeit, so müssen wir zusätzlich beachten, dass der duale Vektor p ein Vektor am Bezugspunkt q ist, also im Kotangentenraum T Q. Der Phasenraum ist dann die Menge aller Paare q, p) mit q Q und p T Q. Das ist das Kotangentenbündel P = T Q) des Konfigurationsraum, also der zu dem am Ende von Kapitel 13 eingeführten Tangentenbündel TQ) duale Raum. Auf jeden Fall ist der Phasenraum ein 2 N-dimensionaler Raum, wenn das System N Freiheitsgrade besitzt. Zu jedem Koordinatensystem {q µ } auf Q gehört ein Satz von verallgemeinerten Impulsen {p µ }, die die Komponenten eines dualen Vektors bilden. Man bezeichnet die Größen {p µ } in der Hamiltonschen Mechanik auch als die den Koordinaten {q µ } zugeordneten kanonisch konjugierten Impulse. Gemeinsam bilden die Ortskoordinaten und die konjugierten Impulse ein kanonisches Koordinatensystem {q µ }, {p µ }) auf dem Phasenraum P. Jeder Bewegungszustand wird auf diese Weise eindeutig durch eine Satz von 2 N reelle Zahlen festgelegt. Ein kanonisches Koordinatensystem auf dem Phasenraum P eines mechanischen Systems besteht aus den Ortskoordinaten {q µ } auf dem Konfigurationsraum Q und den konjugierten Impulsen {p µ }, die die Komponenten eines dualen Vektors bilden. Wenn wir zu einem anderen Koordinatensystem {q µ } auf dem Konfigurationsraum übergehen, so müssen wir auch die Impulskomponenten {p µ } und die Hamilton-Funktion entsprechend transformieren. Verwenden wir die Notation aus Kapitel 13 und bezeichnen das alte Koordinatensystem mit {q µ m) } und das neue mit {q ν n) }, so besteht zwischen den alten Impulsen {p m)µ } und den neuen Impulsen {p n)ν } der Zusammenhang p n)ν = q m) µ ν q p m)µ p m)µ = q ν n) µ n) q p n)ν ) m) Es treten die üblichen Übergangsmatrizen bei der Transformation eines dualen Vektors auf. Für die Zeitableitung der Koordinaten entlang einer Bahn gilt natürlich wieder die Kettenregel, q ν n) = q n) ν µ q q m) µ q µ m) = q µ m) ν m) q q n) ν ) n) Daraus folgt, dass die Wirkung 15.20) in jedem Koordinatensystem durch den gleichen Ausdruck dargestellt wird. Wir können sie auch ganz koordinatenfrei in der Form S[q, p] = t 2 pt) qt) H qt), pt), t )) d5.28) 146

9 darstellen, um deutlich zu machen, dass der Integrand ein Skalar ist. Der Punkt bezeichnet wieder wie üblich das Produkt eines dualen Vektors mit einem Vektor. Aus dieser Überlegung folgt sofort, dass auch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen in jedem kanonischen Koordinatensystem die Form 15.25) annehmen. Denn sie ergeben sich aus der Forderung, dass die Wirkung 15.28) für die physikalische Bahn stationär sein muss. Und wenn diese Wirkung, wie gerade gezeigt, von der Wahl des Koordinatensystems unabhängig ist, dann sind es natürlich auch die Bewegungsgleichungen. Genau wie die Lagrangeschen oder d Alembertschen Bewegungsgleichungen beschreiben auch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen die Dynamik des Systems in einer geometrischen Sprache, die vom Koordinatensystem unabhängig ist. Tatsächlich wird sich später herausstellen, dass wir sogar noch sehr viel allgemeinere Koordinatentransformationen zulassen können als die hier betrachteten, unter denen die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ihre Form beibehalten. In diesem Sinne ist die Hamiltonsche Formulierung der Bewegungsgleichen noch allgemeiner als die Lagrangesche Form. Außerdem sind die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen in ihrer Struktur sehr viel einfacher als die Lagrangeschen Gleichungen. Es sind, wie wir bereits betont haben, Differenzialgleichungen erster Ordnung, die zudem schon nach den Ableitungen aufgelöst sind, während die Euler-Lagrange-Gleichungen Differenzialgleichungen zweiter Ordnung sind, in denen die Zeitableitungen zudem noch etwas verschachtelt sind. Es stellt sich daher die Frage, warum wir eigentlich nicht gleich diese Form der Bewegungsgleichungen verwendet haben, um mechanische Systeme im allgemeinen zu beschreiben. Die Antwort ist recht einfach. Es lassen sich nur ganz spezielle Systeme mit einer Hamilton-Funktion beschreiben. In der Herleitung haben wir zwei Annahmen gemacht, die nicht für alle mechanischen Systeme erfüllt sind. Zum einen sind wir davon ausgegangen, dass es überhaupt eine Lagrange-Funktion für das System gibt. Es dürfen also keine Reibungs- oder anderen Kräfte auftreten, die sich nicht aus einer Lagrange-Funktion ableiten lassen. Auch dürfen keine anholonomen Zwangsbedingungen vorliegen, die ja im wesentlichen auch Reibungskräfte sind. Der Konfigurationsraum Q kann der reduzierte Konfigurationsraum eines Systems mit holonomen Zwangsbedingungen sein, aber es dürfen keine weiteren Einschränkungen an die Bewegungsfreiheit vorliegen. Zum anderen geht ganz entscheidend in die Herleitung ein, dass sich die Gleichung 15.13) nach der Geschwindigkeit v als Funktion von q und p auflösen lässt. Oder äquivalent dazu, das Extremum in 15.15) muss existieren existiert und es muss eindeutig sein. Nur dann existiert überhaupt eine Hamilton-Funktion. Systeme, die diese Bedingung erfüllen, heißen Hamiltonsche oder kanonische mechanische Systeme. Im wesentlichen kann man sagen, dass alle mechanischen Systeme kanonisch sind, in denen keine Reibungskräfte und keine anholonomen Zwangsbedingungen auftreten. Die zweite Forderung bedeutet für typische mechanische Systeme keine Einschränkung, solange die kinetische Energie in der Geschwindigkeit quadratisch und positiv ist. Auf sie kann man im Prinzip sogar verzichten, was auf eine verallgemeinerte Version der Hamiltonschen Mechanik führt. Darauf werden wir allerdings nicht weiter eingehen. Wir gehen hier stets davon aus, dass der Konfigurationsraum Q der reduzierte Konfigurationsraum des Systems ist, also alle holonomen Zwangsbedingungen bereits eliminiert wurden, und die Geschwindigkeit eine eindeutige Funktion des Impulses ist. Aufgabe 15.6 Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lassen sich auch ohne Umweg über das Variationsprinzip direkt aus den Lagrangeschen Bewegungsgleichungen herleiten. Man geht von den Gleichungen d dt L q µ L q µ = ) für die Koordinaten q µ t) aus. Um dieses System von Differenzialgleichungen zweiter Ordnung in ein System erster Ordnung zu verwandeln, führt man die kanonischen Impulse als Hilfsfunktionen ein, indem 147

10 man setzt. Die Hamilton-Funktion definiert man durch p µ = L q µ 15.30) Hq, p, t) = p µ q µ Lq, q, t), 15.31) wobei man für q µ auf der rechten Seite die Lösung von 15.30) einsetzt, so dass die Geschwindigkeit eine Funktion von Ort und Impuls wird. Man zeige, dass sich so auch die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen 15.25) ergeben, und dass sie zu den Lagrangeschen Gleichungen äquivalent sind. Aufgabe 15.7 Für welche mechanischen Systeme aus den Abbildungen in Kapitel 12 existiert eine Hamilton-Funktion, für welche nicht? Man bestimme die Hamilton-Funktionen für diejenigen Systeme, die dies zulassen, leite daraus die Bewegungsgleichungen ab und zeige, dass sie zu den Lagrangeschen Bewegungsgleichungen äquivalent sind. Einfache Beispiele Wir beginnen mit dem einfachsten denkbaren mechanischen System, einem freien Teilchen im einer Raumdimension. Es sei q die Ortskoordinate, v die Geschwindigkeit und p der Impuls. Dann ist Lq, v) = m 2 v2 Hq, p) = Ext p v m )= p2 v 2 v2 2 m ) Daraus lassen sich unmittelbar die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ablesen. Sie lauten q = H p = p m, ṗ = H q = ) Also ist pt) = p 0 konstant und qt) = q 0 + p 0 t/m beschreibt eine gleichförmige Bewegung. Wir sehen außerdem, dass H wieder die Energie des Teilchens ist, die in diesem Fall allein aus der kinetischen Energie besteht. Ein anderes, ebenfalls sehr einfaches Beispiel ist der harmonischer Oszillator. Er wird uns später noch eine Weile verfolgen, denn an ihm lassen sich sehr viele wichtige Eigenschaften der Hamiltonschen Mechanik einfach und klar darstellen. Die Lagrange-Funktion ist in diesem Fall Lq, v) = m 2 v2 κ 2 q ) Die es sich um eine Funktion der Form L = T V handelt, und die kinetische Energie in der Geschwindigkeit quadratisch ist, ergibt sich die Hamilton-Funktion zu H = T + V. Allerdings müssen wir sie als Funktion von q und p darstellen, wobei p = L/ v = m v wieder der gewöhnliche Impuls ist. Es gilt daher Hq, p) = Ext p v m v 2 v2 + κ )= p2 2 q2 Für die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen ergibt sich 2 m + κ q ) q = H p = p m, ṗ = H q = κ q ) Die zweite Gleichung ist nichts anderes als die Newtonsche Bewegungsgleichung, wonach die Zeitableitung des Impulses die Kraft ist, und diese wiederum als Ableitung des Potenzials gegeben ist. Und die 148

11 erste Gleichung ist eigentlich redundant, da sie nur noch einmal die bereits bekannte Beziehung zwischen Impuls und Geschwindigkeit herstellt. Wir sehen also, dass wir immer noch dieselbe Mechanik betreiben. Nur unsere Begriffe haben sich etwas verändert. Die Lösungen der Bewegungsgleichungen sind natürlich immer noch die gleichen. Die allgemeinen Lösungen von 15.36) lassen sich sofort angeben. Es gilt qt) = a sinω t + ϕ), pt) = m ω a cosω t + ϕ), 15.37) wobei a und ϕ Integrationskonstanten sind, die durch die Anfangsbedingung festgelegt werden, und ω 2 = κ/m die Eigenfrequenz des Oszillators ist. Um die Dynamik eines ebenen Pendels zu beschreiben, können wir ganz ähnlich vorgehen. Wir benutzen als Ortskoordinate q die Auslenkung des Pendels, also die Stecke, die das Pendel vom Ruhepunkt aus zurückgelegt hat. Da sich ein Pendel auf einem Kreis bewegt, ist dies eine periodische Koordinate. Bei einer Pendellänge l gilt q q + 2π l. Der Konfigurationsraum ist die Mannigfaltigkeit Q = S 1, also eine eindimensionale Sphäre. Wie sieht dann der Phasenraum aus? Da der Konfigurationsraum eindimensional ist, ist sein Kotangentenraum an jeder Stelle q Q ein eindimensionaler Vektorraum T q Q. Der Impuls wird folglich durch eine reelle Zahl p dargestellt. Der Phasenraum ist die Vereinigung aller dieser Vektorräume, also das Kotangentenbündel T S 1 ). Wenn wir an jeden Punkt auf der Kreislinie einen eindimensionalen Vektorraum anheften, so bekommen wir einen Zylinder. Der Phasenraum eines Pendels ist folglich ein Zylinder. Die Ortskoordinate q ist periodisch, und der konjugierte Impuls p dient als zweite, nicht periodisch Koordinate. Um die Hamilton-Funktion zu bestimmen, gehen wir wieder von der Lagrange-Funktion aus. Die kinetische Energie ist weiterhin T = m v 2 /2, wobei v = q die Zeitableitung der Auslenkung ist. Für die potenzielle Energie müssen wir V = m g l cosq/l) setzen, wenn der Ruhepunkt bei q = 0 liegen soll. Dann ist L = T V, und T ist in v quadratisch. Also gilt H = T + V. Um die kinetische Energie als Funktion des Impulses p darzustellen, benötigen wir nur noch die übliche Beziehung p = L/ v = m v. Wir bekommen dann die Hamilton-Funktion Hq, p) = p2 p2 m g l cosq/l) 2 m 2 m + m g q2 m g ) 2 l Bis auf eine Konstante, die sich auf die Bewegungsgleichungen nicht auswirkt, stimmt sie für kleine Auslenkungen näherungsweise mit der Hamilton-Funktion eines harmonischen Oszillators überein. Wir müssen nur für die Federkonstante κ = m g/l setzen, so dass sich für die Eigenfrequenz der bekannte Ausdruck ω 2 = κ/m = g/l ergibt. Die Bewegungsgleichungen lauten schließlich q = H p = p m, ṗ = H q g q = m g sinq/l) m ) l Aufgabe 15.8 Wie sieht die Hamilton-Funktion für das Pendel aus, wenn man als Ortskoordinate statt der Auslenkung q den Auslenkwinkel ϑ = q/l verwendet? Was ist dann der konjugierte Impuls, und welche Bewegungsgleichungen ergeben sich? Koordinatentransformationen Als nächstes betrachten wir ein System mit zwei Freiheitsgraden, um zu zeigen, was bei einer Koordinatentransformation geschieht, und wie sich dabei die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen transformieren. Das einfachste System mit zwei Freiheitsgraden ist ein Teilchen in einer Ebene. Es soll sich dort in einem zeitunabhängigen Potenzial bewegen, für das wir der Einfachheit halber wieder das eines harmonischen Oszillators einsetzen. Ist x, y) ein kartesischen Koordinatensystem in der Ebene, so ist die Lagrange- Funktion Lx, y, v x, v y ) = m v x ) 2 + v y ) ) 2 κ x 2 + y 2 ) )

12 Der Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten v x, v y ) und den konjugierten Impulsen p x, p y ) ist wieder der übliche, p x = L v x = m vx, p y = L v y = m vy ) Da die Lagrange-Funktion wieder von der Form L = T V ist, und T eine quadratische Funktion der Geschwindigkeiten ist, gilt für die Hamilton-Funktion H = T + V, wobei wir die kinetische Energie als Funktion der Impulse schreiben müssen. Das ergibt Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lauten Hx, y, p x, p y ) = p x 2 2 m + p 2 y 2 m + κ x2 2 + κ y ) ẋ = H p x = p x m, ẏ = H p y = p y m, ṗ x = H x = κ x, ṗ y = H y = κ y ) Es handelt sich einfach um zwei voneinander unabhängige harmonische Oszillatoren mit der Eigenfrequenz ω 2 = κ/m. Dass die Bewegungen in die beiden Richtungen unabhängig ablaufen, ergibt sich auch daraus, dass die Lagrange-Funktion als Summe von zwei Funktionen dargestellt werden kann, wobei die eine nur von x und v x, die andere nur von y und v y abhängt. Offenbar gilt in diesem Fall dasselbe für die Hamilton-Funktion, die ebenfalls eine Summe von zwei Funktionen ist. Hier hängt der eine Summand nur von x und p x ab,. der andere nur von y und p y. Aufgabe 15.9 Man finde die allgemeine Lösung von 15.43). Welche spezielle Lösung ergibt sich für die Anfangsbedingungen x0) = a, y0) = 0, p x 0) = 0, p y 0) = b? Nun wollen wir dieselben Bewegungsgleichungen in einem anderen Koordinatensystem darstellen. Der Konfigurationsraum Q des Teilchens ist eine Euklidische Ebene. Wie führen dort ein Polarkoordinatensystem r, ϕ) ein, so dass wie üblich x = r cos ϕ und y = r sin ϕ gilt. Es gibt dann mehrere Stellen in der gerade durchgeführten Herleitung, an der wir diese Koordinatentransformation einsetzen können. Wir können zum Beispiel ganz von vorne beginnen, und zuerst die Lagrange-Funktion umrechnen. Das ergibt Lr, ϕ, v r, v ϕ ) = m 2 v r ) 2 + r 2 v ϕ ) 2 ) κ 2 r2, 15.44) wobei v r, v ϕ ) die Komponenten der Geschwindigkeit in Polarkoordinaten sind, also die radiale und die Winkelgeschwindigkeit. Diesen Ausdruck für die Lagrange-Funktion hatten wir schon mehrmals benutzt, so dass wir ihn hier nicht mehr herleiten müssen. Die konjugierten Impulse sind nun p r = L v r = m vr, p ϕ = L v ϕ = m r2 v ϕ ) Der zur Koordinate r kanonisch konjugierte Impuls p r ist die Komponente des Impulses in radiale Richtung, und der zur Koordinate ϕ kanonisch konjugierte Impuls p ϕ ist der Drehimpuls, oder genauer dessen z-komponente, wenn wir uns die Ebene im Raum eingebettet denken. Da weiterhin L = T V ist, gilt für die Hamiltonfunktion auch hier H = T + V, also Hr, ϕ, p r, p ϕ ) = p r 2 2 m + p 2 ϕ 2 m r 2 + κ r ) Eine andere Möglichkeit, sich diese Hamilton-Funktion zu verschaffen, geht direkt von der Darstellung 15.42) aus. Der Phasenraum P des Teilchens ist ein vierdimensionaler Raum, auf dem durch x, y, p x, p y ) 150

13 ein kanonisches Koordinatensystem definiert wird. Nun führen wir eine Koordinatentransformation durch, indem wir x = r cos ϕ, y = r sin ϕ 15.47) setzen. Dann müssen wir auch die Impulse transformieren, und zwar wie die Komponenten eines dualen Vektors, p r = x r p x + y r p y = cos ϕ p x + sin ϕ p y, p ϕ = x ϕ p x + y ϕ p y = r sin ϕ p x + r cos ϕ p y ) Die neuen Koordinaten r, ϕ, p r, p ϕ ) bilden dann ebenfalls ein kanonisches Koordinatensystem auf P. Um die Hamilton-Funktion in diesen Koordinaten darzustellen, müssen wir nur die Beziehungen 15.47) und 15.48) in 15.42) einsetzen. Das Ergebnis ist natürlich wieder 15.46). Wir müssen also nur dieselbe Funktion H in den neuen Koordinaten darstellen. Die Bewegungsgleichungen können wir nun ebenso gut in diesem Koordinatensystem bestimmen. Es gilt ṙ = H p r = p r m, H ϕ = = p ϕ p ϕ m r 2, ṗ r = H r = p 2 ϕ m r 3 κ r, ṗ ϕ = H ϕ = ) In der Bewegungsgleichung für p r tritt nun ein effektives Potenzial auf, das wir auch schon aus anderen Herleitungen von Bewegungsgleichungen in Polarkoordinaten kennen. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass diese Bewegungsgleichungen zu 15.43) äquivalent sind. Sie sind zwar nun miteinander gekoppelt. Wir sehen daher nicht mehr sofort, dass die es sich um zwei unabhängige Oszillatoren handelt. Aber wir können statt dessen aus der letzten Gleichung sofort ablesen, dass der Drehimpuls p ϕ eine Erhaltungsgröße ist. Damit lässt sich auch dieses Gleichungssystem leicht auflösen. Aufgabe Man finde die allgemeine Lösung von 15.49). Wie stellt sich die Anfangsbedingung aus Aufgabe 15.9 in Polarkoordinaten dar, und welche spezielle Lösung ergibt sich daraus? Aufgabe Für ein N-Teilchen-System im dreidimensionalen Euklidischen Raum bezeichnen wir die Orte der Teilchen wie üblich mit r α, α {1,..., N}, und ihre Koordinaten mit r α,i, i {x, y, z}. Entsprechend sind v α bzw. v α,i die Geschwindigkeiten. Liegt eine paarweise, nur vom Abstand abhängige Wechselwirkung der Teilchen vor, so hat die Lagrange-Funktion die Form L {r α }, {v α } ) = 1 m α v 2 α 1 V α,β r α r β ) 15.50) 2 2 α Die kanonischen Impulse werden mit p α, bzw. ihre Komponenten mit p α,i bezeichnet. Man bestimme die Beziehungen zwischen den Impulsen und den Geschwindigkeiten, die Hamilton-Funktion H{r α }, {p α }), und die daraus resultierenden Bewegungsgleichungen. Aufgabe Ein Teilchen im dreidimensionalen Raum bewege sich in einem kugelsymmetrischen Potenzial V = V r). Die Lagrange-Funktion in Kugelkoordinaten ist folglich Lr, ϑ, ϕ, v r, v ϑ, v ϕ ) = m 2 α β Welche Hamilton-Funktion Hr, ϑ, ϕ, p r, p ϑ, p ϕ ) ergibt sich daraus? v r ) 2 + r 2 v ϑ ) 2 + r 2 sin 2 ϑ v ϕ ) 2 ) V r) ) 151

14 Zeitabhängige Systeme Um zu zeigen, dass die Hamiltonsche Methode auch dann noch funktioniert, wenn die Lagrange-Funktion, und damit auf die Hamilton-Funktion explizit zeitabhängig ist, betrachten wir als drittes Beispiel ein ebenes Pendel mit veränderlicher Länge. Es handelt sich um ein System mit holonomen, aber zeitabhängigen Zwangsbedingungen. Wir verwenden als reduzierte Koordinate eine Winkelkoordinate ϑ, so dass sich das Pendel in der x-z-ebene an der Stelle x = l sin ϑ und z = l cos ϑ befindet, wobei die Pendellänge l = lt) als Funktion der Zeit vorgegeben ist. Die Lagrange-Funktion bestimmen wir wie üblich, indem wir die kinetische und potenzielle Energie berechnen. Das ergibt T = m ẋ2 + ż ) 2 = m 2 2 l2 ϑ2 + m 2 l 2, Bezeichnen wir die Winkelgeschwindigkeit ϑ mit ω, so ist V = m g z = m g l cos ϕ ) Lϑ, ω, t) = m lt)2 2 ω 2 + m lt) m g lt) cos ϑ ) Über die vorgegebene Funktion lt) und deren Ableitung lt) hängt die Lagrange-Funktion also explizit von der Zeit ab. Um die Hamilton-Funktion zu finden, bestimmen wir erst den Zusammenhang zwischen der Winkelgeschwindigkeit ω und dem zugehörigen Impuls, von dem wir ja bereits wissen, dass es der Drehimpuls ist. Wir bezeichnen ihn daher mit l = L ω = m lt)2 ω ) Der Zusammenhang zwischen ω und l ist ebenfalls explizit von der Zeit abhängig. Das ändert aber nichts an der Definition der Hamilton-Funktion die sich aus 15.15) ergibt. Es gilt ) l 2 Hϑ, l, t) = Ext l ω Lϑ, ω, t) = ω 2 m lt) 2 m lt) 2 m g lt) cos ϑ, 15.55) 2 wobei wir das Extremum gefunden haben, indem wir für ω die Lösung der Gleichung 15.54) eingesetzt haben. Auch die Hamilton-Funktion hängt nun über lt) und lt) explizit von der Zeit ab. Außerdem können wir noch die folgende wichtige Feststellung machen. Sie ist nicht von der Form H = T + V, denn der Term, der zu lt) 2 proportional ist, hat das falsche Vorzeichen. Das liegt daran, dass dieser Term in der Lagrange-Funktion 15.53) einen Anteil der kinetischen Energie repräsentiert, aber keine quadratische Funktion der Geschwindigkeit ω ist. In diesem Sinne ist H nicht die Größe, die wir üblicherweise als Gesamtenergie bezeichnen würden. Das steht ein wenig mit der Definition im Widerspruch, die wir weiter oben für die physikalische Interpretation von H gegebenen haben. Die Hamilton-Funktion liefert hier einen anderen Ausdruck für die Gesamtenergie des Systems als die Summe aus potenzieller und kinetischer Energie. Waren wir also zu voreilig, als wir die Hamilton-Funktion als eine Verallgemeinerung des Begriffes Energie definiert haben? Was ist hier die richtige Definition von Energie? Wir müssen uns entweder für die physikalisch intuitive Definition E = T + V entscheiden, oder für die formale Definition E = H. Im Grunde ist es aber völlig egal, welche Größe wir in diesem Fall Energie nennen. Wir können mit ihr nämlich gar nichts weiter anfangen. Da es sich um ein System mit zeitabhängigen Zwangsbedingungen handelt, leisten diese Arbeit am System, so dass die Energie, wie 152

15 auch immer definiert, keine Erhaltungsgröße ist. Wir können sie nicht wie sonst üblich zur Lösung der Bewegungsgleichungen verwenden. Aus diesem Grund können wir gut mit dem Umstand zurecht kommen, dass die Energie eines Systems, die sich aus der Hamilton-Funktion ergibt, nicht immer mit dem übereinstimmt, was wir uns intuitiv unter Energie vorstellen. Wichtiger als die Frage, welche Größe wir Energie nennen, ist die Frage nach Erhaltungsgrößen, die uns helfen, die Bewegungsgleichungen zu lösen. Damit werden wir uns gleich näher befassen und sehen, dass es stets die Hamilton-Funktion, also die formale Definition der Energie ist, die zu einer solchen Erhaltungsgröße führt. Unabhängig von der Frage nach der Bedeutung des Begriffes Energie können wir jedoch aus 15.38) die Bewegungsgleichungen ableiten. Da ϑ nun die Ortskoordinate und l der kanonisch konjugierte Impuls ist, bekommen wir ϑ = H l = l m lt) 2, l = H ϑ = m g lt) sin ϑ ) Der fragliche Term mit dem falschen Vorzeichen geht in die Bewegungsgleichungen gar nicht ein, da er weder von ϑ noch von l abhängt. Wie immer ergibt sich ein Satz von Differenzialgleichungen erster Ordnung, aufgelöst nach den Ableitungen ϑt) und lt). Das einzig neue ist, dass nun die Koeffizienten dieser Gleichungen explizit von t abhängen, über die vorgegebene Funktion lt). Aufgabe Man löse die Bewegungsgleichungen 15.56) des Pendels für g = 0, also im schwerelosen Raum. Der Hamiltonsche Fluss Wir wollen uns nun die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen 15.25) etwas genauer ansehen. Wie bereits erwähnt, wird durch die Vorgabe eines Anfangszustandes q0) = q 0 und p0) = p 0 die Zeitentwicklung des Systems eindeutig festgelegt. Wir kennen also die Funktionen qt) und pt), sobald wir ihre Werte zu einem bestimmten Zeitpunkt, zum Beispiel t = 0, kennen. Eine Kurve qt), pt)) im Phasenraum, die auf diese Weise bestimmt wird, nennt man eine Trajektorie. Eine Trajektorie im Phasenraum ist das Analogon zu einer Bahn qt) im Konfigurationsraum. Beide beschreiben die zeitliche Entwicklung des Systems als parametrisierte Kurve. Während die Bahn jedoch zu jedem Zeitpunkt nur den Ort des Systems im Konfigurationsraum festlegt, können wir auf der Trajektorie im Phasenraum gleichzeitig den Ort und den Impuls ablesen. Eine Trajektorie ist eine Bahn qt), pt)) im Phasenraum, die den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen genügt. Für zwei sehr einfache mechanische Systeme sind in Abbildung 15.1 ein paar Trajektorien dargestellt. Die Abbildung a) zeigt den Phasenraum eines harmonischen Oszillators, aufgespannt durch die kanonischen Koordinaten q, p). Wir wählen als Anfangszustand einen Punkt auf der positiven p-achse. Das System soll sich zum Zeitpunkt t = 0 am Ruhepunkt q 0 = 0 befinden und einen Impuls p 0 > 0 haben. Die zugehörige Lösung entnehmen wir aus 15.37), qt) = a 0 sinω t), pt) = p 0 cosω t), mit a 0 = p 0 m ω ) Im Phasenraum ergibt sich eine Ellipse mit den Halbachsen p 0 und a 0, wobei p 0 der Anfangsimpuls und a 0 die daraus resultierende Amplitude der Schwingung ist. Der Oszillator schlägt zuerst in die positive q- Richtung aus, so dass die Ellipse im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, wenn man die Darstellung so wie in der Abbildung wählt, also q nach rechts und p nach oben aufträgt. Für einige ausgewählte Werte von p 0 sind die entsprechenden Trajektorien, jeweils für ein bestimmtes Zeitintervall 0 t τ, in Abbildung 15.1a) eingezeichnet. 153

16 p p replacements q q c) d) a) b) Abbildung 15.1: Der Hamiltonsche Fluss eines harmonischen Oszillators a) und eines Pendels b). Die Trajektorien des harmonischen Oszillators sind Ellipsen, die alle mit der gleichen Kreisfrequenz ω durchlaufen werden. Beim Pendel gibt es oszillierende und sich überschlagende Trajektorien. Die gestrichelten Linien sind die Niveaulinien der Hamilton-Funktion. Die Trajektorien im Phasenraum haben zwei wichtige Eigenschaften. Die erste beruht auf der Tatsache, dass die Hamilton-Funktion in diesem Fall nicht explizit von der Zeit abhängt. Damit hängen auch die Bewegungsgleichungen nicht explizit von der Zeit ab. Folglich ist mit t qt), pt)) auch jede in der Zeit verschobene Kurve t qt t 0 ), qt t 0 )) eine Trajektorie. Es spielt keine Rolle, zu welchem Zeitpunkt wir das System in den gegeben Anfangszustand versetzen. Es wird immer die gleiche Trajektorie durchlaufen, nur eben zu einer früheren oder späteren Zeit. Die zweite Eigenschaft ergibt sich aus der Tatsache, dass die Bewegungsgleichungen die Zeitentwicklung eindeutig festlegen. Daher geht durch jeden Punkt im Phasenraum genau eine Trajektorie. Die Trajektorien bilden eine Schar von Kurven, die den Phasenraum vollständig ausfüllen, sich dabei aber niemals schneiden. Denn durch den Schnittpunkt würden dann mehrere Trajektorien verlaufen. Beim harmonischen Oszillator können wir uns das recht einfach klar machen. Egal, welchen Anfangszustand wir vorgeben, das System kehrt immer nach einer Periode T = 2π/ω in diesen Zustand zurück. Die Trajektorien sind geschlossen Kurven, die alle die gleiche Periode T haben. Es sind Ellipsen, die den Ursprung, also den Ruhepunkt des Oszillators bei q = 0 und p = 0 im Uhrzeigersinn umlaufen. Es gibt nur eine spezielle, entartete Trajektorie, die nur aus einem Punkt besteht. Sie beschreibt den in der Gleichgewichtslage ruhenden Oszillator. Ein etwas anderes Bild ergibt sich, wenn wir statt eines harmonischen Oszillators ein ebenes Pendel betrachten. Wie wir bereits gezeigt haben, ist der Phasenraum in diesem Fall ein Zylinder. Die Pendellänge sei wieder l. Als kanonische Koordinaten verwenden wir die periodische Ortskoordinate q q + 2π l, also die Auslenkung, und den konjugierten Impuls p. Die Hamilton-Funktion nimmt dann die Form 15.38) an. In Abbildung 15.1b) ist dieser Phasenraum grafisch dargestellt. Wir müssen uns die Abbildung zu einem Zylinder aufgerollt denken, so dass die gestrichelte Linie am rechten Rand bei q = π l mit der am linken Rand bei q = π l identifiziert wird. Als Anfangszustand wählen wir wieder einen Punkt auf der positiven p-achse. Natürlich gilt auch hier, dass von jedem Punkt genau eine Trajektorie ausgeht, die wir durch Lösen der Bewegungsgleichen 15.39) berechnen können. Wohin diese Trajektorie läuft, hängt nun jedoch vom Wert des Anfangsimpulses ab. Für kleine Impulse oszilliert das Pendel um die Ruhelage und verhält sich dabei näherungsweise wie der har- 154