Allgemeine Phasenraumkoordinaten Im letzten Kapitel haben wir den Hamiltonschen Fluss als eine geometrische Beschreibung der Zeitentwicklung

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1 16 Symmetrien Das Ziel dieses Abschnittes ist es, eines der wichtigsten Theoreme der theoretischen Physik zu beweisen, das erstmals von Emmy Noether im Jahre 1905 formuliert wurde. Es stellt eine Beziehung her zwischen den Symmetrien eines Systems und seinen Erhaltungsgrößen. Ein sehr spezielles Beispiel für eine solche Beziehung kennen wir schon. Für ein Hamiltonsches mechanisches System, dessen Bewegungsgleichungen zeitunabhängig, also symmetrisch unter Zeitverschiebungen sind, ist die Energie eine Erhaltungsgröße. Es gibt verschiedene Versionen dieses Theorems in der klassischen Mechanik, die auf den verschiedenen Formulierungen der Bewegungsgleichungen beruhen. Im Hamiltonschen Formalismus lässt sich das Noether-Theorem besonders elegant auf eine geometrische Art und Weise aufschreiben und beweisen. Außerdem wird in es genau der gleichen Form später in der Quantenmechanik wieder auftauchen. Wir werden uns deshalb auf die Hamiltonsche Darstellung beschränken. Sie ist zugleich auch die allgemeinste, denn anders als die oft in Mechanik-Lehrbüchern dargestellt Lagrangesche Formulierung sind hier keine komplizierten Fallunterscheidungen nötig, um wirklich alle möglichen Symmetrien und damit alle Erhaltungsgrößen eines mechanischen Systems zu erfassen. Allerdings erfordert das ein wenig Vorarbeit. Wir benötigen ein paar zusätzliche Begriffe, insbesondere den eines Flusses, sowie die geometrische Darstellung der Poisson-Klammer durch eine symplektische Form als Tensorfeld. Beides werden wir in diesem Kapitel einführen. Nachdem wir diese Konzepte definiert und ihre Eigenschaften studiert haben, wird sich der Beweis der Noether-Theorems in wenigen Zeilen erledigen lassen. Auch das ist ein Vorteil der Hamiltonschen Formulierung. Nachdem man die mathematischen Strukturen eines Phasenraumes erst einmal verstanden hat, ist das Noether-Theorem eigentlich etwas völlig selbstverständliches. Dass sich dahinter eine tiefe mathematische Einsicht in die Struktur von mechanischen, und später ganz allgemeinen Hamiltonschen Systemen verbirgt, fällt gar nicht mehr auf. Allgemeine Phasenraumkoordinaten Im letzten Kapitel haben wir den Hamiltonschen Fluss als eine geometrische Beschreibung der Zeitentwicklung eines mechanischen System kennen gelernt. Außerdem haben wir die Poisson-Klammer eingeführt, die je zwei Phasenraumfunktionen eine dritte zurordnet. Auch diese Zuordnung kann man geometrisch verstehen. Damit, und mit dem Zusammenhang zwischen diesen beiden Strukturen, wollen wir uns nun näher befassen. Der erste Schritt zu einer geometrischen Darstellung der Poisson-Klammer ist die Einführung eines verallgemeinerten Koordinatensystems im Phasenraum P. Wir fassen dazu das Paar (q, p) P zu einem Punkt x P zusammen, wobei wir P als affinen Raum oder als glatte Mannigfaltigkeit auffassen, je nachdem, welches mechanische System wir gerade betrachten. Anschließend führen wir auf dem Raum P ein Koordinatensystem {x m } ein. Der Index m läuft über 2 N Werte, wenn N die Zahl der Freiheitsgrade, also die Dimension des Konfigurationsraumes ist. Das Koordinatensystem {x m } kann völlig beliebig sein. Beliebig heißt nicht nur krummlinig, sondern auch, dass wir in keiner Weise mehr zwischen Orten und Impulsen unterscheiden müssen. Entscheidend ist nur, dass jeder Satz von 2 N reellen Zahlen {x m } genau einen Zustand x P festlegt und umgekehrt. Jedenfalls soll dies im Rahmen der üblichen Einschränkungen gelten, die wir bei krummlinigen Koordinatensystemen, oder allgemeiner bei Karten auf einer Mannigfaltigkeit machen müssen. Wenn wir ein solches Koordinatensystem einführen, können wir die Hamilton-Funktion, genau wie jede andere Phasenraumfunktion, als Funktion der Koordinaten {x m } darstellen. Aber reicht das, um die Bewegungsgleichungen in diesen Koordinaten aufzustellen? Offenbar nicht, denn wie sollen wir diese Koordinaten in die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen (15.25) einsetzen, wenn wir nicht wissen, wel- 163

2 che Koordinaten Orte und welche Impulse sind? Vielleicht hilft es, die folgende alternative Darstellung der Bewegungsgleichungen zu benutzen. Wir hatten gezeigt, dass wir die Zeitableitung jeder Phasenraumfunktion entlang einer Trajektorie durch die Poisson-Klammer (15.66) ausdrücken können, also Ȧ = {H, A}. (16.1) Die neuen Phasenraumkoordinaten sind Funktionen in diesem Sinne. Jede einzelne Koordinate x m ist eine reelle Funktion auf dem Phasenraum. Für die Zeitentwicklung der Koordinaten gelten also die Gleichungen ẋ m = {H, x m }. (16.2) Dies ist tatsächlich ein vollständiger Satz von Bewegungsgleichungen. Wir geben als Anfangsbedingungen die Werte x m (0) = x 0 m vor, also den Anfangszustand x(0) = x 0, und können dann die Gleichungen (16.2) integrieren. Wir erhalten eine Trajektorie x(t), dargestellt durch die Koordinatenfunktionen x m (t). Allerdings gibt es ein kleines Problem. Wie berechnen wir die Poisson-Klammer eigentlich? Um die Definition (15.65) zu verwenden, benötigen wir auch wieder Orte und Impulse. Anscheinend wird durch die ursprünglich vorhandene Unterscheidung zwischen Orten q µ und Impulsen p µ eine mathematische Struktur auf dem Phasenraum P definiert, die wir nicht mehr sehen, wenn wir allgemeine Koordinaten x m verwenden. Ohne diese Struktur ist es offenbar nicht möglich, die Bewegungsgleichungen aufzustellen. Die Kenntnis der Hamilton-Funktion allein genügt nicht. Um herauszufinden, was für eine zusätzliche Struktur das ist, müssen wir noch einmal auf ein kanonischen Koordinatensystem zurückgreifen, also eines, das zwischen Orten q µ und Impulsen p µ unterscheidet. Zwischen den beiden Koordinatensystemen vermittelt dann eine Übergangsfunktion, das heißt wir können wahlweise die neuen Koordinaten x m als Funktionen der alten Koordinaten q µ und p µ darstellen, oder umgekehrt die alten Koordinaten q µ und p µ als Funktionen der neuen Koordinaten x m. Entsprechend können wir eine Phasenraumfunktion A : P R wahlweise als Funktion der neuen Koordinaten A(x) oder als Funktion der alten Koordinaten A(q, p) darstellen. Haben wir zwei solche Funktionen gegeben, können wir wie folgt ihre Poisson-Klammer berechnen, {A, B} = A p µ B q µ A q µ = A x m ( x m p µ B p µ = A x m x m p µ x n q µ xm q µ x n q µ B x n A x m x m q µ x n p µ B x n x n p µ ) B x n = A x m {xm, x n } B x n. (16.3) Hier haben wir A und B zuerst als Funktionen von q und p betrachtet, die Definition der Poisson-Klammer eingesetzt, und anschließend, wie immer mit Hilfe der Kettenregel, die partiellen Ableitungen in das neue Koordinatensystem umgerechnet. Dazu haben wir A und B als Funktionen von x aufgefasst. Aus dem Ergebnis schließen wir, dass wir jede Poisson-Klammer von zwei Funktionen A(x) und B(x) ausrechnen können, sobald wir die Poisson-Klammern {x m, x n } der Koordinaten miteinander kennen. Dann können wir auch die Klammern (16.2) ausrechnen und die Bewegungsgleichungen aufstellen. Die fundamentalen Klammern {x m, x n } können wir uns allerdings nur verschaffen, indem wir auf ein kanonisches, also aus Orten und Impulsen bestehendes Koordinatensystem Bezug nehmen. Da das alles bis jetzt sehr abstrakt ist, wollen wir die wesentlichen Schritte an einem einfachen Beispiel noch einmal wiederholen. Der Phasenraum P sei der eines eindimensionalen harmonischen Oszillators. Das ist ein zweidimensionaler Raum, in dem ein Punkt, also ein Zustand durch ein Paar (q, p) dargestellt wird. Genauer gesagt, (q, p) ist ein kanonisches Koordinatensystem auf P, wobei q der Ort und p der konjugierte Impuls ist. Die Hamilton-Funktion soll wie üblich durch H(q, p) = p2 2 m + m ω2 q (16.4)

3 gegeben sein. Die Federkonstante κ = m ω 2 haben wir durch die Masse und die Eigenfrequenz ausgedrückt. Wir führen nun ein spezielles Polarkoordinatensystem (J, φ) auf P ein, wobei J die radiale Koordinate und φ die Winkelkoordinate mit der Periode 2π ist. Die Beziehung zu den kanonischen Koordinaten (q, p) lautet 2 J q = sin φ, ω m p Die Definition weicht ein wenig von der sonst üblichen ab, insbesondere wegen der Wurzel und dem Auftreten der Parameter m und ω. Wir müssen diese Parameter aber schon aus Dimensionsgründen verwenden. Da q und p unterschiedliche physikalische Dimensionen haben, können wir nicht einfach p = R cos φ und q = R sin φ setzen, wobei R irgendeine radiale Koordinate ist. = 2 m ω J cos φ. (16.5) Aufgabe 16.1 Man zeige, dass q genau dann die Dimension Länge und p die Dimension Impuls hat, wenn J die Dimension Wirkung, also Energie mal Zeit oder Länge mal Impuls hat. Die Koordinate J hat also die Dimension Wirkung, und die Winkelvariable φ ist natürlich dimensionslos. Der Grund, warum man ein Polarkoordinatensystem im Phasenraum eines harmonischen Oszillators gerade so wählt, ergibt sich aus der folgenden sehr einfachen Darstellung der Hamilton-Funktion. Man findet nämlich H(J, φ) = ω J. (16.6) Da ω eine inverse Zeit ist, ergibt sich für H die Dimension Energie, wie es natürlich auch sein muss. Die radiale Koordinate J ist also im wesentlichen die Energie des Oszillators und hat damit auch eine physikalische Bedeutung, so wie bei einem Polarkoordinatensystem in den Euklidischen Ebene die radiale Koordinate der metrische Abstand vom Ursprung ist. Allein mit der Feststellung, dass die Hamilton-Funktion in dem neuen Koordinatensystem diese einfache Form annimmt, können wir allerdings noch recht wenig anfangen. Um die Bewegungsgleichungen aufzustellen, müssen wir auch die Poisson-Klammern der neuen Koordinaten kennen, und diese müssen wir uns aus der Koordinatentransformation (16.5) verschaffen. Da wir zwei Koordinaten haben, benötigen wir vier Klammern. Allerdings sind zwei davon wegen der Antisymmetrie gleich Null, und die anderen beiden sind bis aufs Vorzeichen gleich, {J, J} = 0, {φ, φ} = 0, {J, φ} = {φ, J}. (16.7) Wir müssen also nur eine einzige Klammer wirklich ausrechnen. Aufgabe 16.2 Man löse die Koordinatentransformation (16.5) nach J und φ auf und zeige {J, φ} = J p φ q J q φ p = 1. (16.8) Die Klammern der neuen Koordinaten (J, φ) untereinander sind also genauso einfach wie die für die alten Koordinaten (q, p). Die Bewegungsgleichungen sind sogar noch einfacher, J = {H, J} = {ω J, J} = ω {J, J} = 0, φ = {H, φ} = {ω J, φ} = ω {J, φ} = ω. (16.9) Die allgemeine Lösung ist J(t) = J 0, φ(t) = φ 0 + ω t, (16.10) 165

4 p J replacements φ (c) (d) p (a) (b) Abbildung 16.1: Der Phasenraum eines harmonischen Oszillators, dargestellt in Orts- und Impulskoordinaten (a), sowie in einem speziell an die Dynamik angepassten Polarkoordinatensystem (b). Es ist jeweils dieselbe Trajektorie dargestellt, die in (b) den Koordinatenlinien J = konst folgt. mit zwei Integrationskonstanten J 0 0 und φ 0. Dass es sich dabei tatsächlich um die bekannten Schwingungen des harmonischen Oszillators handelt, sieht man am besten, wenn man sich die Situation anhand der Darstellung in Abbildung 16.1 anschaut. Das Polarkoordinatensystem (J, φ) im Phasenraum ist so gewählt, dass die Kurven mit konstantem J die Niveaulinien der Hamilton-Funktion sind. Also läuft der Zustand auf einer Trajektorie mit J = konst um den Koordinatenursprung herum. Die Umlaufperiode ist 2π/ω, also ist die Winkelgeschwindigkeit des Umlaufs gerade ω. Die Integrationskonstante J 0 bestimmt die Energie und damit die Amplitude der Schwingung, und φ 0 ist die Phase, die angibt, in welchem Zustand sich das System zur Zeit t = 0 befindet. Wir sehen also, dass sich die Bewegungsgleichungen in diesem Fall durch die Wahl eines bestimmten Koordinatensystems noch weiter vereinfachen lassen. Allerdings ist es jetzt nicht mehr sinnvoll, von Orts- und Impulskoordinaten zu sprechen. Die Koordinaten (J, φ) haben keine unmittelbar anschauliche physikalische Interpretation im Sinne von messbaren Größen. Sie beschreiben nicht des Ausschlag des Oszillators oder seine Geschwindigkeit oder dergleichen. Statt dessen sind die neuen Koordinaten an die Dynamik des Systems angepasst. Damit ist gemeint, dass eine der Koordinaten im wesentlichen die Hamilton-Funktion ist, und die Poisson-Klammer wieder die kanonische Form hat, also die Klammern der Koordinaten miteinander gleich Eins ist. Die Koordinaten J und φ verhalten sich wie eine Ortskoordinate und der konjugierte Impuls, jedenfalls wenn man von ihrer physikalischen Interpretation absieht und davon, dass es sich um ein krummliniges Koordinatensystem mit den üblichen Einschränkungen an die Wertebereiche der Koordinaten handelt. Lassen sich die Koordinaten x m eines ausgewählten Koordinatensystem genau wie zuvor die Orte q µ und die Impulse p µ zu Paaren ordnen, so dass ihre Poisson-Klammern die Form (15.67) haben, so nennt man das Koordinatensystem kanonisch. Für ein kanonisches Koordinatensystem gilt also {x m, x n } = ε mn, (16.11) wobei ε mn eine antisymmetrische (2 N) (2 N)-Matrix ist, deren Einträge Null oder Eins sind. Indem wir 166

5 die Koordinaten entsprechend anordnen, können wir sie immer auf die Form ( ) ε mn = (16.12) bringen. Oben rechts steht eine N N-Einheitsmatrix, und unten links die negative N N-Einheitsmatrix. Diese Matrix ergibt sich auch dann aus den Poisson-Klammern, wenn wir für die Koordinaten x µ die ursprünglichen Orte q µ und Impulse p µ einsetzen. Für einen zweidimensionalen Phasenraum ist ε mn nichts anderes als das Levi-Civita-Symbol. Im Falle des harmonischen Oszillators sind sowohl das ursprüngliche Koordinatensystem (q, p) als auch das neue Koordinatensystem (J, φ) kanonisch. Damit das Vorzeichen der Klammern stimmt, müssen wir J als Impuls- und φ als Ortskoordinate auffassen, das heißt wir sollten eigentlich besser (φ, J) schreiben, wenn wir das Koordinatensystem kanonisch nennen wollen. Das ist aber wegen der fehlenden physikalischen Interpretation als Ort und Impuls eine willkürliche Festlegung. Würden wir φ durch φ ersetzen, wäre J der Ort und φ der konjugierte Impuls. Der Begriff eines kanonischen Koordinatensystems ist also sehr viel allgemeiner als der, den wir im letzten Kapitel eingeführt haben. Entscheidend sind allein die Poisson-Klammern der Koordinaten, nicht deren physikalische Interpretation als Orte und Impulse. Darüber hinaus gibt es sogar einen Satz, den so genannten Glättungssatz, der besagt, dass es unter bestimmten Bedingungen immer ein kanonisches Koordinatensystem gibt, in dem eine der Koordinaten die Hamilton-Funktion ist. In diesem Koordinatensystem ist die Dynamik dann besonders einfach. Alle bis auf eine Koordinate, nämlich die, die zu der Hamilton-Funktion kanonisch konjugiert ist, sind konstant, und diese eine Koordinaten ist eine lineare Funktion der Zeit. Die Trajektorien sind also spezielle Koordinatenlinien, und in letzter Konsequenz bedeutet das, dass alle Phasenräume von mechanischen Systemen mit gleich vielen Freiheitsgraden im wesentlichen die gleiche Struktur haben. Der Beweise dieses Satzes erfordert allerdings Methoden aus der Theorie der differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, die hier ein wenig zu weit führen würden. Oft hilft der Satz auch wenig, wenn es darum geht, die Bewegungsgleichungen eines gegebenen Systems zu lösen, denn um die Koordinaten zu konstruieren, muss man im wesentlichen genau das tun. Außerdem macht er nur eine lokale Aussage über ein krummliniges Koordinatensystem. Über das globale Verhalten von Trajektorien macht er keine Aussagen. Wir begnügen uns daher, was die Konstruktion von speziellen, an die Dynamik angepassten Koordinatensystem betrifft, mit dem Beispiel des harmonischen Oszillators. Aufgabe 16.3 Man betrachte denselben harmonischen Oszillator und führe eine lineare Koordinatentransformation von (q, p) nach ( q, p) durch, mit q = a q + b p, p = c q + d p. (16.13) Man stelle die Hamiltonfunktion als Funktion von ( q, p) dar, und berechne die Poisson-Klammer { p, q}. Welche Bedingung muss man an die Konstanten a, b, c, d stellen, damit { p, q} = 1 ist? Welche Bedingungen ergeben sich aus der Forderung, dass die transformierte Hamilton-Funktion wieder die Darstellung H( p, q) = p2 2 m + m ω2 q 2 2 (16.14) hat? Wenn beide Bedingungen erfüllt sind, dann sind die Bewegungsgleichungen für ( q, p) mit denen für (q, p) identisch. Gibt es solche Koordinaten? 167

6 Aufgabe 16.4 Wenn man die Koordinaten auf dem Phasenraum beliebig wählen kann, dann kann man statt der Impulse auch die Geschwindigkeiten der Teilchen als Koordinaten verwenden. Wir betrachten dazu ein einzelnes freies Teilchen im dreidimensionalen Raum. Seine Ortskoordinaten sind r i, mit i {x, y, z}, und die dazu konjugierten Impulse sind p i, so dass für die Hamilton-Funktion und die Poisson- Klammern H = p i p i 2 m, {p i, r j } = δ ij (16.15) gilt. Man ersetze die Impulse p i durch die Geschwindigkeiten v i als Phasenraumkoordinaten. Wie sieht dann die Hamilton-Funktion aus? Welche Poisson-Klammern ergeben sich für die Koordinaten untereinander? Welche Bewegungsgleichungen ergeben sich? Die symplektische Struktur Wir wollen nun etwas näher untersuchen, welche zusätzliche geometrische Struktur durch die Poisson- Klammer auf dem Phasenraum definiert wird. Wir hatten bereits gezeigt, dass die Kenntnis der Klammern {x m, x n } der Koordinaten untereinander genügt, um alle anderen zu berechnen. In einem kanonischen Koordinatensystem sind diese Klammern gleich Null oder Eins. Nun betrachten wir jedoch ein beliebiges Koordinatensystem. Dann sind die Klammern {x m, x n } wieder irgendwelche Phasenraumfunktionen. Bei 2 N Koordinaten gibt es (2 N) 2 von diesen Klammern. Wir fassen sie zu einer (2 N) (2 N)- matrixwertigen Funktion zusammen, die wir mit Ω mn = {x m, x n } (16.16) bezeichnen. Einige Eigenschaften dieser Matrix folgen unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften der Poisson-Klammer. Sie ist zum Beispiel antisymmetrisch Ω mn = Ω nm. (16.17) Zwei weitere nützliche Eigenschaften sind nicht sofort erkennbar. Wir werden sie aber gleich beweisen. Die Matrix Ω mn ist invertierbar. Es gibt eine inverse Matrix Ω mn mit Die inverse Matrix ist dann natürlich ebenfalls antisymmetrisch, Ω mn Ω nk = δ m k. (16.18) Ω mn = Ω nm. (16.19) Schließlich hat die Ableitung der Matrix Ω mn nach den Koordinaten, oder genauer die der inverse Matrix Ω mn noch ein spezielle Eigenschaft. Die folgende zyklische Ableitung verschwindet, m Ω nk + k Ω mn + n Ω km = 0. (16.20) Bevor wir diese Eigenschaften allgemein beweisen, stellen wir zunächst fest, dass sie in einem kanonischen Koordinatensystem erfüllt sind. Dann ist nämlich Ω mn = ε mn, mit der Matrix aus (16.12). Diese Matrix ist offenbar invertierbar. Die inverse Matrix ist Ω mn = ε mn, wobei ε mn dieselbe Matrix ist, die in zwei Dimensionalen wieder mit dem entsprechenden Levi-Civita-Symbol übereinstimmt. Man sieht sofort, dass dann die Eigenschaften ( ) vorliegen. In der letzten Gleichung verschwinden sogar alle drei Terme jeweils für sich. Nun ist aber nicht jedes Koordinatensystem kanonisch. Man kann aber zeigen, dass sich die Matrizen Ω mn und Ω mn beim Übergang von einem Koordinatensystem zu einem anderen wie Tensoren zweiter Stufe transformieren. Etwas genauer, Ω mn ist ein Tensor der Stufe (2, 0), und Ω mn ist ein Tensor der Stufe (0, 2). 168

7 Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus den Eigenschaften der Poisson-Klammer. Weiter oben haben wir gezeigt, wie man die Poisson-Klammer zweier beliebiger Funktionen berechnet, wenn man die Klammern {x m, x n } der Koordinaten kennt. Die Gleichung (16.3) können wir jetzt wie folgt schreiben. Für zwei Funktionen A(x) und B(x) gilt {A, B} = Ω mn A x m B x n = Ω mn m A n B. (16.21) Es sei nun {x a } ein anderes Koordinatensystem, das wir von dem Koordinatensystem {x m } durch eine andere Indexmenge unterscheiden. Keines von beiden muss kanonisch sein. Dann können wir die Koordinaten x a als Funktionen der Koordinaten x m auffassen und ihre Poisson-Klammern berechnen. Das ergibt Ω ab = {x a, x b mn xa x b } = Ω x m x n (16.22) Das ist das Transformationsverhalten eines Tensors der Stufe (2, 0) beim Übergang von einem Koordinatensystem zum anderen. Wir haben also gezeigt, dass durch die Poisson-Klammern der Koordinaten miteinander ein Tensor Ω mn der Stufe (2, 0) definiert wird. Wie wir bereits in Kapitel 9 für eine Metrik gezeigt haben, folgt dann aus der Invertierbarkeit der Matrixdarstellung dieses Tensors seine Invertierbarkeit in jedem Koordinatensystem, wobei die inverse Matrix Ω mn wie ein Tensor der Stufe (0, 2) transformiert. Es bleibt jetzt nur noch zu zeigen, dass auch die Gleichung (16.20) in jedem Koordinatensystem gilt. Dazu muss man zeigen, dass die linke Seite wie ein Tensor der Stufe (0, 3) transformiert. Wir erinnern uns, dass die Ableitungen eines Tensors nach den Koordinaten in einem krummlinigen Koordinatensystem im allgemeinen keinen Tensor liefert. Die einzelnen Terme werden also im allgemeinen nicht verschwinden. Die zyklische Kombination der Ableitungen ist jedoch wieder ein Tensor. Also gilt die Gleichung (16.20) in jedem Koordinatensystem. Aufgabe 16.5 Es sei A mn ein antisymmetrisches Tensorfeld der Stufe (0, 2) auf einer Mannigfaltigkeit oder einem affinen Raum. Man zeige, dass dann B kmn = k A mn + m A nk + n A km (16.23) ein Tensor der Stufe (0, 3) ist. Man verallgemeinere diese Aussage für einen total antisymmetrischen Tensor A m n der Stufe (0, l) mit l 0. Welche bereits bekannten Aussagen ergeben sich für l = 0 und l = 1? Einen Tensor Ω mn mit den oben beschriebenen Eigenschaften nennt man symplektische Form, und den inversen Tensor Ω mn bezeichnet man als inverse symplektische Form. Einen Raum, auf dem ein solcher Tensor definiert ist, ist ein symplektischer Raum. Das ist das geometrische Äquivalent zu einer Poisson- Klammer. Der Phasenraum eines mechanischen Systems ist ein symplektischer Raum. Eine symplektische Form ist so etwas wie eine antisymmetrische Metrik. Genau wie eine Metrik können wir die symplektische Form invertieren, und wir können mit ihr Vektoren auf dualen Vektoren abbilden und umgekehrt. Oder anders ausgedrückt, wir können mit Hilfe der symplektischen Form Indizes hoch und runter ziehen. Tatsächlich spielt genau diese Tensoroperation eine Rolle, wenn wir die Bewegungsgleichungen mit Hilfe der symplektischen Form formulieren. Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen (16.2) lassen sich jetzt nämlich wie folgt aufschreiben, ẋ k = {H, x k } = Ω mn H x k x m x n = Ω mn m H δ k n = Ω mk m H. (16.24) 169

8 Die Zeitableitung des Zustandes ist ein Vektor mit den Komponenten ẋ k. Diesen bekommen wir, indem wir den Gradient der Hamilton-Funktion m H bilden, und diesem dualen Vektor mit Hilfe der symplektischen Struktur Ω mn auf einen Vektor abbilden. In diesem Form gilt die Bewegungsgleichung in jedem beliebigen Koordinatensystem. Sie hat damit eine geometrische bekommen. Außerdem wird deutlich, dass es nicht aller ein Hamilton-Funktion ist, die die Dynamik des Systems bestimmt, sondern dass auch die symplektische Form als eine wesentliche Struktur des Phasenraumes in die Bewegungsgleichung eingeht. Erst beide Strukturen gemeinsam, also die Hamilton-Funktion und die symplektische Form, bestimmen die Dynamik des Systems eindeutig. Ansonsten gelten natürlich weiterhin die bereits früher gemachten Aussagen über Trajektorien, also über die Lösungen der Bewegungsgleichungen (16.24). Durch jeden Punkt x P geht genau eine Trajektorie, der Phasenraum wird vollständig von ihnen ausgefüllt, und sie können sich niemals schneiden. All das folgt aus der speziellen Form der Bewegungsgleichung (16.24), die die Zeitentwicklung x(t) festlegt, sobald der Anfangszustand x(0) = x 0 gegeben ist. Aufgabe 16.6 Es sei eine Mannigfaltigkeit M gegeben, auf der eine symplektische Form definiert ist, also ein invertierbarer Tensor Ω mn mit den Eigenschaften ( ). Durch (16.21) werde eine Poisson- Klammer definiert. Man zeige, dass die sie Eigenschaften ( ) hat. Die Definition einer symplektischen Form ist also zur Definition einer Poisson-Klammer äquivalent. Aufgabe 16.7 Warum kann eine symplektische Form nur auf einem Raum mit gerader Dimension existieren? Vektorfelder und Flüsse Die symplektische Struktur des Phasenraumes ist die Grundlage zur Beschreibung der Symmetrien eines mechanischen Systems. Darüber hinaus benötigen wir noch den Begriff eines Flusses eines Vektorfeldes. Da ist eine Verallgemeinerung des Hamiltonschen Flusses, den wir im vorigen Kapitel zur Beschreibung der Zeitentwicklung eines Systems benutzt haben. Wir betrachten zunächst irgendeinen affinen Raum oder eine Mannigfaltigkeit. Das spielt keine Rolle, da wir im folgenden keine Abstandsvektoren benutzen, sondern nur solche Operationen durchführen, die auch auf Mannigfaltigkeiten erlaubt sind. Den Raum bezeichnen wir mit M. Das einzige, was wir benötigen, ist ein Vektorfeld ξ auf M, also eine Zuordnung x M ξ(x) T M. Wenn dieses Vektorfeld hinreichend glatt ist, dann können wir die Bewegungsgleichungen λ(τ) = ξ(λ(τ)) (16.25) aufstellen. Darin übernimmt τ R die Rolle der Zeit, der Punkt bezeichnet die Ableitung nach τ, und λ(τ) ist eine parametrisierte Kurve, die wir Trajektorie nennen können. Formal ist die Situation genau dieselbe wie im Falle der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen im Phasenraum. Wenn wir die Gleichung (16.25) in Koordinaten ausschreiben, also ein Koordinatensystem {x m } auf M einführen und das Vektorfeld in seine Komponenten ξ m (x) zerlegen, so bekommen wir ein System von gekoppelten Differenzialgleichungen erster Ordnung für die Koordinatenfunktionen λ m (τ), λ m (τ) = ξ m (λ(τ)). (16.26) Dieses Gleichungsystem hat eine eindeutige Lösung, sobald wir die Anfangsbedingung λ(0) = x festlegen. Analog zum Hamiltonschen Fluss definieren wir jetzt einen Fluss χ, der von dem Vektorfeld ξ erzeugt wird. Der Fluss ist eine Abbildung Fluss χ : M R M, (x, τ) χ(x, τ), (16.27) 170

9 mit der Eigenschaft, dass bei festgehaltenem x die Funktion λ(τ) = χ(x, τ) eine Lösung der Bewegungsgleichung (16.25) ist, und zwar die zu der Anfangsbedingung λ(0) = x. Es gilt also Flussgleichung I χ(x, τ) = ξ(χ(x, τ)), χ(x, 0) = x. (16.28) Das ist dasselbe wie (16.25), nur dass wie hier quasi die Anfangsbedingung als Argument der Funktion χ mitschleppen, so dass sich nicht nur eine Trajektorie τ λ(τ), sondern eine ganze Schar von Trajektorien τ χ(x, τ) ergibt, nämlich eine für jeden Punkt x M. Die Flussgleichung (16.25) können wir natürlich auch wieder in Komponenten zerlegen. In einem Koordinatensystem {x m } wird der Fluss durch die Koordinatenfunktionen χ m (x, τ) dargestellt. Für sie gilt χ m (x, τ) = ξ m (χ(x, τ)), χ m (x, 0) = x m. (16.29) Der Punkt bezeichnet hier wie im folgenden immer die Ableitung nach dem Flussparameter τ, den wir uns als eine Art verallgemeinerte Zeit vorstellen können. Eine wesentliche Eigenschaft jedes Flusses ist die Verkettungsregel Verkettungsregel χ(x, τ 1 + τ 2 ) = χ(χ(x, τ 1 ), τ 2 ). (16.30) Sie ergibt sich, wie man sich leicht überlegt, aus der Differenzialgleichung (16.28). Wir hatten uns das bereits für den Hamiltonschen Fluss überlegt. Wenn sich das System zuerst über eine Zeitspanne τ 1 von einem Zustand x in einen Zustand χ(x, τ 1 ) entwickelt, und anschließend von diesem Zustand über eine Zeitspanne τ 2 in den Zustand χ(χ(x, τ 1 ), τ 2 ), so ist das Ergebnis dasselbe wie das einer Zeitentwicklung von x über eine Zeitspanne von τ 1 + τ 2, was den Endzustand χ(x, τ 1 + τ 2 ) ergibt. Aufgabe 16.8 Man beweise die Gleichung (16.30) formal mit Hilfe der Differenzialgleichung (16.28). Die Umkehrung dieses Satzes gilt auch. Man muss nur zusätzlich fordern, dass die Zuordnungen x χ(x, τ) für jedes τ bijektiv sind. Wenn eine solche Schar von Abbildungen χ : M R M die Verkettungsregel (16.30) erfüllt, dann handelt es sich um einen Fluss, der von einem Vektorfeld erzeugt wird. Der Beweis ist ganz einfach. Wir leiten die Gleichung (16.30) nach τ 2 ab und setzen anschließend τ 1 = τ und τ 2 = 0. Das ergibt χ(x, τ) = χ(χ(x, τ), 0). (16.31) Nun definieren wir ein Vektorfeld ξ(x) = χ(x, 0). Dann gilt offenbar χ(x, τ) = ξ(χ(x, τ)). (16.32) Außerdem folgt aus der Verkettungsregel, wenn man τ 1 = 0 setzt, χ(x, 0) = x. Dafür braucht man die Bijektivität. Also ist χ der Fluss des Vektorfeldes ξ. Definieren wir einen Fluss allgemein als eine Schar von bijektiven Abbildungen χ : M R M, für die die Verkettungsregel erfüllt ist, dann gilt folgender Satz: Jedes Vektorfeld erzeugt einen Fluss, und jeder Fluss wird von einem Vektorfeld erzeugt. Das einfachste Beispiel für ein Vektorfeld ist ein konstantes Vektorfeld in einem affinen Raum. Sei also E ein affiner Raum und ξ(x) = v ein konstantes Vektorfeld. Dann lautet die Flussgleichung χ(x, τ) = v, χ(x, 0) = x, (16.33) die offenbar den Fluss χ(x, τ) = x + τ v (16.34) 171

10 v v v replacements u u u (d) (a) (b) (c) Abbildung 16.2: Das Vektorfeld (a) erzeugt eine Verschiebung, das Vektorfeld (b) eine Drehung, und das Vektorfeld (c) eine hyperbolische Verzerrung. als eindeutige Lösung hat. Der zu einem konstanten Vektorfeld gehörende Fluss ist eine Verschiebung. Eine solche kann es natürlich nur auf einem affinen Raum geben. Auf einer glatten Mannigfaltigkeit gibt es im allgemeinen keine konstanten Vektorfelder und auch keine Verschiebungen. Weniger trivial ist das folgende Beispiel. Wir betrachten den dreidimensionalen Euklidischen Raum. Es sei ein Koordinatenursprung o gegeben, und ein Einheitsvektor n. Dann definieren wir ein Vektorfeld ξ(r) = n (r o). (16.35) Der Fluss dieses Vektorfeldes ist eine Drehung des Raumes um die durch n aufgespannte Achse. Das kann man sich leicht klar machen. Am Ort r zeigt das Vektorfeld ξ(r) in eine Richtung senkrecht zu n und zum Ortsvektor r o, und zwar so, dass es mit diesen ein Rechtssystem bildet. Es verschwindet, wenn r auf der durch n aufgespannten Achse liegt, und steigt linear mit dem Abstand von dieser Achse an. Aufgabe 16.9 Um zu zeigen, dass der zugehörige Fluss tatsächlich eine Drehung ist, löse man die Flussgleichung und zeige, dass die Lösung wie folgt dargestellt werden kann, χ(x, τ) = o + r + cos τ r + sin τ n r, (16.36) wobei r und r die Anteile die Anteile des Ortsvektors r o parallel und senkrecht zu n sind, r = o + r + r, r n, r n. (16.37) Aufgabe In der Abbildung 16.2 sind drei Vektorfelder in einem zweidimensionalen Raum mit den Koordinaten (u, v) dargestellt, und zwar (a): ξ u (u, v) = 2, ξ v (u, v) = 1, (b): ξ u (u, v) = v, ξ v (u, v) = u, Man bestimmen jeweils den von dem Vektorfeld erzeugten Fluss. (c): ξ u (u, v) = v, ξ v (u, v) = u. (16.38) Aufgabe Es sei Q der 3 N-dimensionale Konfigurationsraum eines N-Teilchen-Systems. Durch die kartesischen Koordinaten r α,i mit α {1,..., N} und i {x, y, z} wird ein Koordinatensystem auf Q definiert. Wie sieht das Vektorfeld ξ mit den Komponenten ξ α,i aus, welches als Fluss eine simultane Rotation aller Teilchen um einen Vektor n im Raum erzeugt? 172

11 Invariante Funktionen Wir betrachten nun eine Funktion A : M R, also ein skalares Feld auf dem Raum M. Wenn auf M ein Fluss χ : M R M definiert ist, so können wir diesen mit der Funktion A verketten und auf diese Weise ein Funktion A : M R R definieren, A(x, τ) = A(χ(x, τ)). (16.39) Wir können diese Abbildung als eine Schar von Funktionen M R auffassen, mit einem Flussparameter τ. Die Funktion x A(x, τ) geht aus der Funktion x A(x) durch eine von dem Fluss erzeugte Transformation hervor. Das einfachste Beispiel ist wieder die Verschiebung in einem affinen Raum. Setzen wir für den Fluss (16.34) ein, so ist A(x, τ) = A(x + τ v). (16.40) Das ist die um den Vektor τ v verschobene Funktion. Der Fluss eines konstanten Vektorfeldes auf einem affinen Raum bewirkt also eine Verschiebung der Funktion A in die dem Vektorfeld entgegengesetzte Richtung. Entsprechendes gilt für einen Fluss, der eine Drehung erzeugt. Das fließen einer Funktion unter einem gegeben Fluss ist also nichts anderes als eine Verallgemeinerung dessen, was wir üblicherweise unter einer Verschiebung oder Drehung einer Funktion im Raum verstehen. Um die Wirkung eines Flusses auf eine Funktion zu berechnen, müssen wir den Fluss selbst gar nicht kennen. Es genügt, das erzeugende Vektorfeld zu kennen. Um das möglichst einfach zu zeigen, benutzen wir folgenden Trick. Wir schreiben die Gleichung (16.39) um, indem wir x durch χ(x, τ) ersetzen. Dann lautet sie A(χ(x, τ), τ) = A(χ(χ(x, τ), τ)) = A(x). (16.41) Nun leiten wir beide Seiten nach τ ab, wobei sich rechts Null ergibt, da A(x) nicht von τ abhängt. Links müssen wir einmal nach dem Argument τ von A ableiten, und einmal nach dem Argument τ von χ. Das ergibt Ȧ(χ(x, τ), τ) χ m (x, τ) m A(χ(x, τ), τ) = 0. (16.42) Mit Ȧ(x, τ) bezeichnen wir hier die Funktion, die sich durch Ableiten nach dem zweiten Argument ergibt, und mit m A τ (x, τ) bezeichnen wir wie üblich die Ableitung nach den Koordinaten des Punktes im ersten Argument der Funktion. Nun setzen wir für die Ableitung des Flusses das Vektorfeld ein, Ȧ(χ(x, τ), τ) ξ m (χ(x, τ)) m A(χ(x, τ), τ) = 0. (16.43) Zum Schluss ersetzen wir χ(x, τ) wieder überall durch x, oder äquivalent dazu x durch χ(x, τ). Dann bekommen wir Flussgleichung II A(x, τ) = ξ m (x) m A(x, τ) = ξ(x) A(x, τ). (16.44) Diese Gleichung sagt uns, wie die Funktion A(x, τ) unter dem Vektorfeld ξ fließt. Wenn wir noch die Anfangsbedingung A(x, 0) = A(x) hinzunehmen, wird die transformierte Funktion A(x, τ) durch diese Differenzialgleichung für alle τ R eindeutig bestimmt. Es gibt also zwei Methoden, die Transformation einer Funktion A unter dem Fluss eines Vektorfeldes ξ zu berechnen. Man kann entweder zuerst den Fluss χ des Vektorfeldes bestimmen, und dann diesen in die Funktion einsetzen, oder direkt die Flussgleichung (16.44) für die Funktion selbst lösen. Dies ist eine partielle Differentialgleichung für die Funktion A(x, τ), die von den Koordinaten {x µ } des Punktes x und von dem Flussparameter τ abhängt. Sie besagt, dass die Ableitung nach dem Flussparameter gleich der Richtungsableitung in Richtung des erzeugenden Vektorfeldes ist. 173

12 Ein wichtiges Konzept in diesem Zusammenhang ist das einer invarianten Funktion. Eine Funktion ist unter dem Fluss eines Vektorfeldes invariant, wenn die transformierte Funktion, unabhängig vom Flussparameter, mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt. Wie man aus der Flussgleichung (16.44) entnimmt, ist das genau dann der Fall, wenn die Richtungsableitung von A(x) in Richtung des erzeugenden Vektorfeldes ξ(x) für alle x verschwindet, ξ(x) A(x) = 0 A(x, τ) = A(x). (16.45) Genau dann verschwindet nämlich die Ableitung A(x, τ) für alle x und alle τ. Eine Funktion A ist genau dann unter dem Fluss eines Vektorfeldes ξ invariant, wenn die Richtungableitung ξ A überall verschwindet. Als Beispiele betrachten wir noch einmal die Verschiebungen und Drehungen im dreidimensionalen Euklidischen Raum, den wir uns als den Konfigurationsraum eines Teilchens vorstellen können. Es sei A(r) eine Funktion des Ortes r, und ξ(r) = v ein konstantes Vektorfeld. Dann ist die Funktion A genau dann unter dem Fluss dieses Vektorfeldes invariant, wenn für alle τ R A(r + τ v) = A(r) (16.46) gilt, oder äquivalent dazu, wenn die Richtungsableitung von A in Richtung von v überall verschwindet, v A(r) = 0. (16.47) Ist zum Beispiel v = e x, so darf A nicht von der Koordinaten r x abhängen. An diesem Beispiel sehen wir, dass die Invarianz einer Funktion unter dem Fluss eines Vektorfeldes etwas mit den Symmetrien dieser Funktion zu tun hat. Wenn eine Funktion A(r) nicht von der Koordinate r x abhängt, dann ist sie symmetrisch unter Verschiebungen in x-richtung. Ist eine Funktion unter allen Verschiebungen invariant, so ist sie konstant und somit auch in einem gewissen Sinne sehr symmetrisch. Für Drehungen lässt sich ähnliches sagen. Betrachten wir das erzeugende Vektorfeld ξ einer Drehung im Ortsraum (16.35) und verlangen, dass die Funktion A(r) invariant ist, so ergibt sich die Gleichung oder in Koordinaten ausgedrückt (n (r o)) A(r) = 0, (16.48) ε ijk n i r j k A(r) = 0. (16.49) Betrachten wir als Spezialfall n = e z, so ergibt sich die Forderung r x y A r y x A y = 0, die genau dann erfüllt ist, wenn A eine Funktion von r z und ρ 2 = r x 2 + r y 2 ist. Das bedeutet natürlich nichts anderes als dass die Funktion rotationssymmetrisch um die z-achse ist. Verlangt man, dass die Gleichung (16.49) für alle Richtungen n der Drehachse erfüllt ist, so darf die Funktion A nur von r 2 = r x 2 + r y 2 + r z 2 abhängen. Sie ist dann bezüglich jeder Achse rotationssymmetrisch, also kugelsymmetrisch. Aufgabe Es sei Q der Konfigurationsraum eines N-Teilchen-Systems, r α,i die Ortskoordinaten der einzelnen Teilchen, und V eine skalare Funktion auf Q, zum Beispiel das Wechselwirkungspotenzial der Teilchen. Ein Vektorfeld ξ sei durch die Komponenten ξ α,i = n i definiert, wobei n i ein Einheitsvektor im dreidimensionalen Raum ist. Welchen Fluss erzeugt dieses Vektorfeld? Welche Bedingung muss das Potenzial V erfüllen, damit es unter dem Fluss invariant ist? Aufgabe Es sei Q der Konfigurationsraum eines N-Teilchen-Systems, r α,i die Ortskoordinaten der einzelnen Teilchen, und V eine skalare Funktion auf Q, zum Beispiel das Wechselwirkungspotenzial der Teilchen. Ein Vektorfeld ξ sei durch die Komponenten ξ α,i = ε ijk n j r α,k definiert, wobei n i ein Einheitsvektor im dreidimensionalen Raum ist. Welchen Fluss erzeugt dieses Vektorfeld? Welche Bedingung muss das Potenzial V erfüllen, damit es unter dem Fluss invariant ist? 174

13 Hamiltonsche Flüsse Die bisher gemachten Aussagen über Vektorfelder und Flüsse gelten auf beliebigen affinen Räumen oder Mannigfaltigkeiten. Nun betrachten wir speziell den Phasenraum P eines mechanischen Systems, auf dem als eine wichtige Struktur die symplektische Form Ω mn bzw. die inverse symplektische Form Ω mn definiert ist. Man kann die inverse symplektische Form verwenden, um jeder Phasenraumfunktion F (x) ein Vektorfeld ξ F (x) zuzuordnen. Und zwar setzt man Hamiltonsches Vektorfeld ξ F n (x) = Ω mn (x) m F (x). (16.50) Dieses Vektorfeld ist das der Funktion F zugeordnete Hamiltonsche Vektorfeld. Der zugehörige Fluss χ F heißt Hamiltonscher oder kanonischer Fluss von F. Für ihn gilt die Flussgleichung χ F n (x, τ) = ξ F n (χ(x, τ)) = Ω mn (χ(x, τ)) m F (χ(x, τ)). (16.51) Wenn wir für die Funktion F die Hamilton-Funktion H einsetzen, so ist das Hamiltonsche Vektorfeld ξ H (x) gerade die rechte Seite der Bewegungsgleichung (16.24), und der zugehörige Hamiltonsche Fluss gerade die Zeitentwicklung des Systems. Man kann daher mit dem Hamiltonschen Fluss einer beliebigen Phasenraumfunktion F folgende anschauliche Vorstellung verbinden. Man stellt sich ein hypothetisches mechanisches System vor, dessen Phasenraum der Raum P mit derselben symplektischen Form ist, dessen Hamilton-Funktion jedoch F ist. Der zu F gehörende Hamiltonschen Fluss beschreibt dann die Zeitentwicklung dieses hypothetischen Systems. Wir machen uns das an einem einfachen Beispiel klar. Es sei P der zweidimensionale Phasenraum eines mechanischen Systems mit einem Freiheitsgrad, und (q, p) ein kanonisches Koordinatensystem auf diesem Raum. Es gilt also {p, q} = {q, p} = 1, oder äquivalent dazu Ω pq = Ω qp = 1. Die Hamilton-Funktion H dieses System ist im folgenden nicht von Belang. Statt dessen betrachten wir die Funktion F (q, p) = p und stellen uns vor, dies sei die Hamilton-Funktion eines anderen hypothetischen Systems mit einem Freiheitsgrad. Das zugehörige Hamiltonsche Vektorfeld ist ξ q = Ω qq q F + Ω pq p F = 1, ξ p = Ω qp q F + Ω pp p F = 0. (16.52) Offenbar erzeugt dieses konstante Vektorfeld einen Fluss in Richtung der positiven q-achse. Die Trajektorien dies hypothetischen Systems, dessen Hamilton-Funktion die Funktion F (q, p) = p ist, sind Geraden in Richtung der q-achse. Wir können auch die Funktion F (q, p) = q betrachten und fragen, welchen Hamiltonschen Fluss diese Funktion erzeugt. In diesem Fall gilt für das Vektorfeld ξ q = Ω qq q F + Ω pq p F = 0, ξ p = Ω qp q F + Ω pp p F = 1. (16.53) Der zugehörige Fluss ist eine Verschiebung in Richtung der negativen p-achse. Ein hypothetisches System, dessen Hamilton-Funktion und damit dessen Energie durch F (q, p) = q gegeben wäre, würde sich also auf Trajektorien bewegen, auf denen der Ort q konstant ist und der Impuls p linear mit der Zeit abnimmt. Ein solches mechanisches System ist natürlich nicht sehr realistisch. Aber darauf kommt es bei dieser Betrachtung nicht an. Es geht nur darum, sich eine anschauliche Vorstellung davon zu machen, was ein Hamiltonschen Fluss ist. Der im letzten Kapitel eingeführte, durch die reale Hamilton-Funktion H erzeugte Fluss, der die tatsächliche Zeitentwicklung des Systems beschreibt, ist nur ein Spezialfall eines solchen Flusses. 175

14 Man kann sich leicht überlegen, dass nicht jeder Fluss auf einem Phasenraum P ein Hamiltonscher Fluss sein kann. Es gibt nämlich sehr viel mehr Vektorfelder als skalare Funktionen auf P, weil ein Vektorfeld durch mehrere reelle Koordinatenfunktionen dargestellt wird. Man kann also nicht jedes Vektorfeld in der Form (16.50) darstellen. Hamiltonsche Flüsse haben aber eine sehr spezielle Eigenschaft, die bei der Definition von Symmetrien eine wichtige Rolle spielt. Wir betrachten dazu eine andere Phasenraumfunktion A(x) und die durch den Fluss des Vektorfeldes ξ F erzeugte Transformation dieser Funktion, also die Funktion A(x, τ), die durch die Flussgleichung A(x, τ) = ξ n (x) n A(x, τ) = Ω mn (x) m F (x) n A(x, τ) (16.54) bestimmt wird und vom Flussparameter τ abhängt. Offenbar können wir die rechte Seite dieser Gleichung als eine Poisson-Klammer schreiben. Es gilt A = {F, A}, (16.55) wobei wir A auf der linken Seite nach dem Flussparameter τ ableiten, während wir es rechts als Funktion der Phasenraumkoordinaten auffassen, um die Poisson-Klammer zu bilden. Ein kanonischer Fluss wird lässt sich also durch die Poisson-Klammer beschreiben, ohne dass man zunächst ein erzeugendes Vektorfeld einführen muss. Wenn wir wieder das Bild eines hypothetischen mechanischen Systems mit der Hamilton-Funktion F verwenden, ist die Gleichung (16.55) völlig analog zur Bewegungsgleichung (15.66) zu lesen. Um zu zeigen, dass wir mit dieser Methode sehr leicht den Hamiltonschen Fluss zu einer gegebenen Phasenraumfunktion bestimmen können, betrachten wir als etwas anspruchsvolleres Beispiel den Phasenraum P eines N-Teilchen-Systems im Euklidischen Raum, mit kartesischen Ortskoordinaten r α,i und den dazu konjugierten Impulsen p α,i. Die Phasenraumfunktion sei die Komponente des Gesamtimpulses P in Richtung eines Einheitsvektors n, n P = α n p α = α n i p α,i. (16.56) Nun sei A({r α }, {p α }, τ) eine Phasenraumfunktion, die zusätzlich von einem Flussparameter τ abhängt. Um den von der Funktion n P erzeugten Fluss zu bestimmen, bilden wir die Poisson-Klammer Ȧ = {n P, A} = α (n P ) p α,i A r α,i A p α,i (n P ) r α,i = α n i A r α,i. (16.57) Die Lösung dieser Gleichung lässt sich leicht angeben. Es ist A({r α }, {p α }, τ) = A({r α + τ n}, {p α }). (16.58) Offenbar ist dies eine Transformation, bei der gleichzeitig alle Orte der Teilchen um einen Vektor τ n im Raum verschoben werden. Ein hypothetisches System, dessen Hamilton-Funktion n P wäre, würde folgende Bewegung ausführen. Die Impulse der Teilchen wären konstant und hätten keinen Einfluss auf die Bewegung im Ortsraum. Dort würden sich alle Teilchen mit der Geschwindigkeit Eins in Richtung des Vektors n bewegen. Ihre relativen Positionen blieben dabei erhalten. Es ist offensichtlich, dass dies ein sehr unrealistisches physikalisches System ist. Aber man kann sich so sehr gut den von der Funktion n P erzeugten Fluss veranschaulichen. Man drückt diesen Sachverhalt oft etwas verkürzt wie folgt aus: Der Gesamtimpuls eines mechanischen System ist der Erzeuger einer Verschiebung im Ortsraum. 176

15 Analog zu Aufgabe kann man feststellen, dass eine Phasenraumfunktion A genau dann unter dem Hamiltonschen Fluss von n P für alle Richtungen n invariant ist, wenn sie nur von den Impulsen p α und den relativen Positionen r α r β der Teilchen abhängt. Hat die reale Hamilton-Funktion H diese Eigenschaft, so hängt die Energie des N-Teilchen-Systems nur von diesen Größen ab. Das ist typischerweise für Systeme ohne äußere Kräfte der Fall. Aufgabe Man zeige entsprechend, dass durch die Phasenraumfunktion n L = α n (r α p α ) = α ε ijk n i r α,j p α,k, (16.59) also durch die Komponente des Gesamtdrehimpulses, eine simultane Rotation aller Teilchen um den Ursprung erzeugt wird, wobei die Drehachse durch den Vektor n vorgegeben ist. Wie sieht hier die hypothetische Bewegung der Teilchen aus? Warum ändern sich dabei auch die Impulse? Auch dies lässt sich wieder in einem Satz zusammenfassen: Der Gesamtdrehimpuls eines mechanischen System ist der Erzeuger einer Drehung im Ortsraum. Die typischen Symmetrien von mechanischen Systemen, die aus N frei im Raum beweglichen Teilchen bestehen, und die wir schon in Kapitel 3 ausführlich untersucht haben, lassen sich also im Rahmen der Hamiltonschen Mechanik als Flüsse auf dem Phasenraum darstellen, die von speziellen Funktionen erzeugt werden. Etwas allgemeiner formuliert sehen wir, dass die kanonischen Flüsse, die von von bestimmten Phasenraumfunktionen erzeugt werden, etwas mit den Symmetrien eines System zu tun haben. Das hat auch einen Grund. Die kanonischen oder Hamiltonschen Flüsse haben nämlich eine spezielle Eigenschaft, die Flüsse im allgemeinen nicht haben. Diese spezielle Eigenschaft von Hamiltonschen Flüssen ist, dass die Poisson-Klammer unter solchen Flüssen invariant ist. Damit ist folgendes gemeint. Es seien A, B und C drei Phasenraumfunktionen, so dass {A, B} = C gilt. Nun transformieren wir diese Funktionen unter dem Fluss einer Funktion F. Dann hängen A, B und C von einem Flussparameter τ ab, und es gilt A = {F, A}, Ḃ = {F, B}, Ċ = {F, C}, (16.60) wobei sich für τ = 0 die ursprünglichen Funktionen ergeben. Wir wollen zeigen, dass die Beziehung {A, B} = C dann für alle τ gilt, das heißt zwischen den transformierten Funktionen gilt die gleiche Beziehung wie zwischen den ursprünglichen Funktionen für τ = 0. Um den Beweis zu führen, definieren wir eine Funktion G = C {A, B}, die dann ebenfalls von τ abhängt, und berechnen deren Ableitung nach τ. Es ist Ġ = Ċ {Ȧ, B} {A, Ḃ} = {F, C} {{F, A}, B} {A, {F, B}}. (16.61) Nun setzen wir G + {A, B} für C ein, und benutzen die Antisymmetrie und die Jacobi-Identität (15.74) für die Poisson-Klammer. Das ergibt Ġ = {F, G} + {F, {A, B}} + {B, {F, A}} + {A, {B, F }} = {F, G}. (16.62) Nun ist aber nach Voraussetzung G = 0 für τ = 0 und damit wird diese Flussgleichung durch G = 0 für alle τ R eindeutig gelöst. Also gilt für alle τ R die Beziehung {A, B} = C. Unter einem Hamiltonschen Fluss ist die Poisson-Klammer invariant. 177

16 Auch das ist wieder eine etwas verkürzte Formulierung, die man genauer interpretieren muss. Gemeint ist damit, dass jeder Beziehung zwischen Phasenraumfunktionen, die man mit Hilfe der Poisson-Klammer ausdrücken kann, unter einem Hamiltonschen Fluss erhalten bleibt. Für das oben dargestellte Beispiel eines N-Teilchen-Systems bedeutet das, dass die Poisson-Klammern von Funktionen unter Drehungen und Verschiebungen invariant sind. Darin drückt sich eine wesentliche Symmetrie von mechanischen Systemen von Punktteilchen aus, die mit der eigentlichen Dynamik noch gar nichts zu tun hat. Denn wir haben die Hamilton-Funktion bisher noch gar nicht in die Betrachtungen einbezogen. Invarianz der Poisson-Klammer Wir wollen nun zeigen, dass auch die Umkehrung des letzten Satzes gilt. Wenn die Poisson-Klammer unter einem gegebenen Fluss invariant ist, dann handelt es sich um den Hamiltonschen Fluss einer Phasenraumfunktion. Dieser Beweis ist ein wenig komplizierter und trickreicher. Wir müssen dazu auf das erzeugende Vektorfeld und die symplektische Struktur zurückgreifen. Es sei also ξ m die Darstellung eines Vektorfeld auf einem Phasenraum P, und Ω mn bzw. Ω mn die Darstellung der symplektischen Form in einem Koordinatensystem {x m }. Wie oben betrachten wir drei Funktionen A(x), B(x) und C(x) mit {A, B} = C, also C(x) = Ω mn (x) m A(x) n B(x). (16.63) Nun lassen wir diese Funktionen fließen, das heißt wir betrachten die Funktionen A(x, τ), B(x, τ) und C(x, τ), definiert durch die Flussgleichungen A(x, τ) = ξ k (x) k A(x, τ), Ḃ(x, τ) = ξ k (x) k B(x, τ), Ċ(x, τ) = ξ k (x) k C(x, τ). (16.64) Wir verlangen nun, dass auch für diese Funktionen die Beziehung {A, B} = C gilt. Daraus leiten wir eine Bedingung an das Vektorfeld ξ µ ab. Es soll also für alle τ R gelten C(x, τ) = Ω mn (x) m A(x, τ) n B(x, τ). (16.65) Wir leiten beide Seiten nach τ ab und setzen (16.64) ein. Das ergibt ξ k k C = Ω mn m ( ξ k k A ) n B + Ω mn m A n ( ξ k k B ). (16.66) Um die Darstellung ein wenig abzukürzen, lassen wir die Argumente x und τ weg. Wir müssen jedoch beachten, dass alle vorkommenden Größen von x abhängen, und A, B und C zusätzlich von τ. Wir werten nun die linke Seite der Gleichung (16.66) aus, indem wir für C wieder (16.65) einsetzen. Das ergibt ξ k k ( Ω mn m A n B ) = ξ k k Ω mn m A n B + Ω mn ξ k k ( m A n B ). (16.67) Die rechte Seite der Gleichung (16.66) lässt sich wie folgt umformen, Ω mn ( m ξ k k A n B + n ξ k m A k B ) + Ω mn ξ k k ( m A n B ). (16.68) Durch Umbenennen von Indizes, über die summiert wird, können wir das auch wie folgt schreiben, Ω kn k ξ m m A n B + Ω mk k ξ n m A n B + Ω mn ξ k k ( m A n B ). (16.69) 178

17 Nun verlangen wir, dass (16.67) und (16.69) gleich sind, und zwar für alle Funktionen A und B. Genau dann ist nämlich die Poisson-Klammer unter dem Fluss des Vektorfeldes ξ m invariant. Das führt auf die Bedingung ξ k k Ω mn Ω kn k ξ m Ω mk k ξ n = 0, (16.70) die als Forderung an das Vektorfeld ξ m zu verstehen ist. Das ist zunächst eine unübersichtliche Kombination von partiellen Ableitungen. Sie lässt sich jedoch noch vereinfachen. Wir multiplizieren die Gleichung dazu mit Ω pm uns Ω nq und bekommen die äquivalente Bedingung ξ k Ω pm k Ω mn Ω nq Ω pm q ξ m Ω nq p ξ n = 0 (16.71) Dabei haben wir benutzt, dass Ω pm bzw. Ω nq jeweils zu Ω mn inverse Matrizen sind. Daraus folgt auch Ω pm k Ω mn Ω nq = k (Ω pm Ω mn ) Ω nq k Ω pm Ω mn Ω nq = k Ω pq. (16.72) Durch nochmaliges Umbenennen von Indizes lautet die an das Vektorfeld ξ m zu stellende Bedingung nun ξ m m Ω pq Ω pm q ξ m Ω nq p ξ n = 0 (16.73) Nun verwenden wir noch die Identität (16.20), also das Verschwinden der zyklischen Ableitung von der symplektischen Form. Damit lässt sich die Bedingung schließlich wie folgt schreiben, q (Ω pm ξ m ) p (Ω qm ξ m ) = 0. (16.74) Nach dieser etwas mühsameren Rechnung sehen wir, dass diese Bedingung für Hamiltonsche Vektorfelder tatsächlich erfüllt ist. Setzen wir nämlich ξ m = Ω km k F für eine beliebige Funktion F, so ist Ω pm ξ m = p F und entsprechend Ω qm ξ m = q F, und folglich q p F p q F = 0. Nun müssen wir aber umgekehrt zeigen, dass jedes Vektorfeld ξ m, das die Gleichung (16.74) erfüllt, ein Hamiltonsches Vektorfeld ist. Wir betrachten dazu das duale Vektorfeld ζ m = ξ n Ω nm, das offenbar die Eigenschaft m ζ n n ζ m = 0 (16.75) hat. Wenn wir zeigen können, dass es eine Phasenraumfunktion F gibt mit m F = ζ m, dann sind wir fertig. Es gilt dann nämlich Ω mn m F = ζ m Ω mn = ξ p Ω pm Ω mn = ξ n. Wir müssen also folgenden allgemeinen Satz beweisen. Wenn die antisymmetrisierte Ableitung eines dualen Vektorfeldes verschwindet, dass ist das duale Vektorfeld der Gradient eines skalaren Funktion. Um den Beweis zu motivieren, erinnern wir uns an eine schon vor langer Zeit im Zusammenhang mit Vektorfeldern im dreidimensionalen Raum gestellte Frage. Wann ist ein Vektorfeld, oder hier sollten wir besser sagen ein duales Vektorfeld, der Gradient eines skalaren Feldes? Die Antwort in Kapitel 7 war: genau dann, wenn die Rotation des Vektorfeldes verschwindet. Tatsächlich ist die antisymmetrisierte Ableitung m ζ n n ζ m eines dualen Vektorfeldes ζ m eine Verallgemeinerung der Rotation. Man kann diese Ableitung auf jeder Mannigfaltigkeit bilden, ohne dafür eine Metrik oder einen antisymmetrischen Einheitstensor zu benötigen. Das wurde sogar in Aufgabe schon gezeigt. Im Gegensatz zu den einzelnen Summanden ist die antisymmetrische Kombination der Ableitungen wieder ein Tensor. Dass die antisymmetrisierte Ableitung verschwindet, wenn ζ m = m F ist, ist sofort offensichtlich. Wir müssen aber die Umkehrung dieser Aussage beweisen. Der Beweis ist völlig analog zu dem in Kapitel 7. Wir legen zunächst irgendeinen Punkt x 0 P fest. Dann betrachten wir eine Kurve λ(s) P, mit 0 s 1. Den Anfangspunkt der Kurve legen wir bei λ(0) = x 0 fest, und der Endpunkt λ(1) = x sei variabel. Dann bilden wir das Wegintegral 1 F [λ] = ds λ (s) ζ(λ(s)). (16.76) 0 179