Musterlösungen. Theoretische Physik I: Klassische Mechanik
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- Margarete Acker
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1 Blatt Musterlösungen Theoretische Physik I: Klassische Mechanik Prof Dr G Alber MSc Nenad Balanesković Levi-Civita Symbol, Poissonklammern und kanonische Transformationen 1 Das Levi-Civita Symbol ist definiert als +1 wenn(i,j,k = (1,,3,(,3,1 oder(3,1, ǫ ijk = 1 wenn(i,j,k = (3,,1,(,1,3 oder(1,3, (1 0 sonst Zeigen Sie die folgenden Beziehungen: (a δ i1 δ i δ i3 ǫ ijk = δ j1 δ j δ j3 ( δ k1 δ k δ k3 Wir verifizieren, z B i = 1: wenn (j,k = (,3 ǫ 1jk = δ j1 δ j δ j3 δ k1 δ k δ k3 = δ jδ k3 δ j3 δ k = 1 wenn (j,k = (3, (3 0 sonst (b Oder wir nutzen dass für3 3 MatrizenA = (a ij giltdeta = ijk ǫ ijka 1i a j a 3k Sezielle Wahl dera ij ergibt die zu zeigende Beziehung δ il δ im δ in ǫ ijk ǫ lmn = δ jl δ jm δ jn δ kl δ km δ kn (4 Wir nutzen im FolgendendetA = deta T und det(ab = detadetb und erhalten δ i1 δ i δ i3 δ l1 δ l δ l3 ǫ ijk ǫ lmn = δ j1 δ j δ j3 δ m1 δ m δ m3 δ k1 δ k δ k3 δ n1 δ n δ n3 = δ i1 δ i δ i3 δ l1 δ m1 δ n1 δ j1 δ j δ j3 δ l δ m δ n δ k1 δ k δ k3 δ l3 δ m3 δ n3 δ i1 δ i δ i3 δ l1 δ m1 δ n1 = δ j1 δ j δ j3 δ l δ m δ n δ k1 δ k δ k3 δ l3 δ m3 δ n3 = δ il δ im δ in δ jl δ jm δ jn δ kl δ km δ kn (5 (c ǫ ijk ǫ imn = δ jm δ kn δ jn δ km (6 i 1
2 (d i ǫ ijk ǫ imn = i = δ jm δ kn δ jn δ km ( δii (δ jm δ kn δ jn δ km δ im (δ ji δ kn δ jn δ ki +δ in (δ ji δ km δ jm δ ki (7 ǫ ijk ǫ ijn = δ kn (8 ij ǫ ijk ǫ ijn = ij j (δ jj δ kn δ jn δ kj = δ kn (9 (a Zeigen Sie, dass für die drei kartesischen Komonenten L i, i = 1,,3 des Drehimulses eines Massenunktes gilt {L i,l j } = k ǫ ijk L k, { L,L i } = 0 für L = i L i L i (10 In den folgenden Rechnungen verwenden wir die Einsteinsche Summenkonvention {L i,l l } = ǫ ijk ǫ lmn ( {x j k,x m } n +{x j k, n }x m = ǫ ijk ǫ lmn ( x j n δ km + k x m δ jn = ǫ ijk ǫ lkn x j n +ǫ ink ǫ lmn k x m = (δ il δ jn δ in δ jl x j n x m k (δ il δ km δ im δ kl = δ ik δ ml x m k +δ im δ kl x m k = ǫ iln ǫ nmk x m k = ǫ iln L n { L,L i } = {L j L j,l i } = {L j,l i }L j = ǫ ikj L k L j = 0 (b Betrachten Sie ein wechselwirkendes Planetensystem, dessen N Planeten (modelliert als Massenunkte sich durch Wahl geeigneter Anfangsbedingungen alle in der x-y Ebene bewegen Diex- undy-komonenten der Drehimulse sind in diesem Fall null und daher konstant Aus (a folgt daher wegen des Poissonschen Satzes, dass auch die z-komonente der Drehimulse aller Planeten trotz Wechselwirkungen Erhaltungsgrössen sind Was ist falsch an dieser Argumentation? Aus der Konstanz einer hysikalischen Variable A entlang einer bestimmten Bahnkurve folgt nicht, dass gilt {A,H} = 0 und dass somit A eine Erhaltungsgröße ist Nur wenn dies für alle Bahnkurven gilt, istaeine Erhaltungsgröße 3 (a Zeigen Sie, dass die kartesischen Komonenten von G = m x t wie ein Vektor transformieren, d h {L i,g j } = k ǫ ijkg k (11 (1 {L i,g l } = ǫ ijk {x j k,mx l l t} = ǫ ijk mδ kl x j ǫ ijk tδ jl k = ǫ ilj (mx j j t = ǫ ilj G j (13
3 (b Berechnen Sie daraus {L i, G } und {L i, G L} {L i,g j G j } = {L i,g j }G j = ǫ ijk G k G j = 0 (14 {L i,g j L j } = {L i,g j }L j +{L i,l j }G j = ǫ ijk G k L j +ǫ ijk L k G j = 0 (15 4 Zeigen Sie, dass eine mechanische Eichtransformation L (q, q,t = L(q, q,t+ f i=1 f q i(q,t qi + f (q,t (16 t mit einer beliebigen (differenzierbaren Eichfunktion f(q, t im Phasenraum einer kanonischen Transformation entsricht Bestimmen Sie die Erzeugende dieser kanonischen Transformation Wie lautet die Beziehung zwischen den HamiltonfunktionenH undh, die den LagrangefunktionenLundL zugeordnet sind? Die erzeugten Transformation lautet P i = L = L q i q + f i q = i i + f q i (17 Q i = q i (18 Wir berechnen die fundamentalen Poissonklammern in den neuen Koordinaten: Die Erzeugende lautet {Q i,p j } = {q i, j }+{q i, f q i} = {qi, j } (19 {P i,p j } = { i, j }+{ i, f q j}+{ f }+{ f f q i,j qi, q j} = { i, j } f q i q + f j q j q +0 = i {i, j } (0 {Q i,q j } = {q i,q j } (1 S(P,q,t = i q i P i f(q,t ( und es istq i = S P i = q i und i = S q i = P i f q i Die neue Hamiltonfunktion lautet H (P,Q,t = H(P f S,q,t+ q t (P,q,t = H(P f f,q,t q t (3 5 Betrachten Sie einen eindimensionalen harmonischen Oszillator mit Hamiltonfunktion H = m + m ω q (4 3
4 (a Zeigen Sie, dass die Transformation P = mω + m ( ωq, Q = arctan mω q π Q π (5 kanonisch ist Wir berechnen die fundamentalen Poissonklammern in den neuen Koordinaten und erhalten {Q,P} = Q P q P Q ( mω q = mω +(mωq 1 = 1 (6 (b Bestimmen Sie die Umkehrtransformation Die Umkehrtransformation lautet 1+( mωq q = 1 mω P sinq (7 = mω P cosq (8 (c Wie lautet die Hamiltonfunktion in den neuen kanonischen Koordinaten(P,Q? K(Q,P = H((Q,P,q(Q,P = ωp (9 (d Bestimmen Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen in diesen neuen kanonischen Koordinaten (P(t, Q(t und lösen Sie diese Wie lautet daher die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen in den ursrünglichen Koordinaten((t, q(t? P = K Q = 0 P(t = P(t 0 (30 Q = K P = ω Q(t = Q(t 0+ω(t t 0 (31 In den alten Koordinaten erhalten wir daher (t = mkcos(q(t 0 +ω(t t 0 (3 K q(t = mω sin(q(t 0+ω(t t 0 (33 ( mitk = (t 0 /(m+mω q (t 0 / undq(t 0 = arctan mω q(t 0 (t 0 Vereinfachen führt zu den bekannten Lösungen (t = (t 0 cos(ω(t t 0 mωq(t 0 sin(ω(t t 0 (34 q(t = q(t 0 cos(ω(t t 0 + (t 0 mω sin(ω(t t 0, (35 ( dabei ist zu beachten, dass Q = arctan mω q nur für ositive q und gilt (die Transformation muss ( invertierbar sein Q ist beisielsweise für q > 0 und < 0 definiert als π +arctan mω q 4
5 6 Hausaufgabe : Die Hamilton Funktion eines Elektrons im homogenen Magnetfeld Ein Elektron (Massem, Ladung e befinde sich in einem homogenen MagnetfeldB = (0, 0, B = rot A Für das Vektorotential A gelte zudem die Coulomb-Eichung: div A = 0 (a Zeigen Sie, dass A(r = B ( y, x, 0 eine denkbare Darstellung des mehrdeutigen Vektorotentials ist Mit diva = A x x + A y y + A z z = 0 genügt A der Coulomb-Eichung Ferner ergibt sich aus A das korrekte Magnetfeld: rota = B e x e y e z x y z y x 0 = B (e z +e z = (0, 0, B (b Setzen Sie q 1 = x, q = y, q 3 = z, undω c = eb/m Wie sieht die zugehörige Hamilton- FunktionH aus? Allgemein lautet die Lagrange-Funktion für ein Teilchen der Ladung ˆq im elektromagnetischen Feld mit elektrischem Potentialϕ(q und Vektorotential A(q: L(q, q = m ( q + ˆq( q A(q ϕ(q Damit unterscheiden sich die generalisierten Imulse j = L q j = m q j + ˆqA j (q von den Komonenten des mechanischen Imulses mech = m q = ˆqA(q Mit q = mech m = 1 ( ˆqA(q m ergibt sich für die Hamilton-Funktion im allgemeinen Fall: Hier gilt seziell: = m Damit ist die Hamilton-Funktion: H(, q = q(, q L(q, q(, q = = q m ( q ˆqA q+ ˆqϕ = 1 ( ˆqA ( m ˆqA ˆqA ( ˆqA+ ˆqϕ = m = 1 ( m ˆqA(q + ˆqϕ(q = 1 m = 3 m + 1 m ˆq = e ϕ(q 0 A(q = ( q, q 1, 0 [ H(q, = 1 m (+ea = (1 ebq ( + + ebq 1 ] + 3 = [ (1 mωcq + ( ] + mωcq 1 = = 3 m +H 0 5
6 (c Zeigen Sie, dass 3 eine Erhaltungsgröße ist Betrachten Sie ab jetzt ausschließlich H 0 = H( 3 0 Eine Phasentransformation (q, (ˆq, ˆ werde durch die Erzeugende F(q, ˆq = (q 1ˆq 1 + q ˆq ˆq 1ˆq q 1q bewirkt Berechnen Sie die Transformationsformeln q = q(ˆq, ˆ, = (ˆq, ˆ, ˆq = ˆq(q, und ˆ = ˆ(q, Allgemein gilt j = F undˆ j = F q j ˆq j Somit ergibt sich: 1 = F q 1 = (ˆq1 q = F q = (ˆq q 1 ˆ 1 = F ˆq 1 = (q 1 ˆq ˆ = F ˆq = (q ˆq 1 Damit erhält man den ersten Satz von Transformationsformeln: Durch Umkehrung ergibt sich: ˆq 1 (q, = 1 + q ˆq (q, = + q 1 ˆ 1 (q, = mωcq 1 ˆ (q, = 1 mωcq q 1 (ˆq, ˆ = ˆq ˆ 1 q (ˆq, ˆ = ˆq 1 ˆ 1 (ˆq, ˆ = ˆ + mωcˆq 1 (ˆq, ˆ = ˆ 1 + mωcˆq (d Wie sieht die transformierte Hamilton-Funktion Ĥ(ˆq, ˆ aus? Welches Bewegungsroblem bleibt zu lösen? Mit obigen Transformationsformeln ergibt sich: ˆ = 1 mωcq ˆq = + mωcq 1 Damit ist die transformierte Hamilton-Funktion Ĥ 0 (ˆ, ˆq = H ( 0 (q(ˆ, ˆq, (ˆ, ˆq = ˆ ω +m cˆq = = 1 m ˆ + ˆq m formal identisch mit der des harmonischen Oszillators, dessen Bewegungsgleichungen bezüglich der Koordinaten ˆ (t und ˆq (t bekannt sind Ferner sind ˆ 1 und ˆq 1 zyklisch und damit beide Konstanten der Bewegung: ˆq 1 = H 0 ˆ 1 = 0 ˆq 1 = const ˆ 1 = H 0 ˆq 1 = 0 ˆ 1 = const Mittels der Transformationsformeln aus (c folgen dann mit den entsrechenden Anfangsbedingungen die Bewegungsgleichungen für die alten Variablen 6
7 (e Versuchen Sie die Transformationsformeln aus (c auf eine Erzeugende vom Ty G(q, ˆ zurückzuführen Es gilt: j = G(q, ˆ q j undˆq j = G(q, ˆ ˆ j Mittels der Transformationsformeln aus (c können die j und ˆq j als Funktionen der q j und ˆ j ausgedrückt werden: 1 = ˆ + mωcq = ˆ 1 + mωcq 1 ˆq 1 = 1 ˆ +q ˆq = 1 ˆ 1 +q 1 Durch Integration und Differentiation erhält man: 1 = G q 1 = ˆ + mωcq G = mωcq q 1 q 1 +f (q, ˆ 1, ˆ = G q = mωcq 1 + f q = mωcq 1 1 G = mωcq q 1 q 1 1 q +g(ˆ 1, ˆ ˆq 1 = G ˆ 1 = q + g ˆ 1 = 1 ˆ +q G = mωcq q 1 q 1 1 q + 1 ˆ 1ˆ +h(ˆ ˆq = G ˆ = q ˆ 1 + dh dˆ = q ˆ 1 G = mωcq q 1 q 1 1 q + 1 ˆ 1ˆ +const Damit istgbis auf eine willkürliche Konstante bestimmt: G = q q 1 q 1 1 q + 1 ˆ 1ˆ 7
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