Elektrodynamik. Dr. E. Fromm - SS 2007

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1 Elektrodynamik Dr. E. Fromm - SS 27 Copyright c 27 Tobias Doerffel Diese privaten Mitschriften der o.g. Vorlesung erheben weder den Anspruch auf Vollständigkeit noch auf Fehlerfreiheit. Die Verwendung der hier vorliegenden Informationen geschieht auf eigene Gefahr! Korrekturhinweise an tobias.doerffel@informatik.tu-chemnitz.de werden dankend entgegengenommen. Weitere Informationen auf doto/ Chemnitz, 4. Juli 28

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Elektrische Felder ruhender Ladungen Kraft und Feld Punktladungen Kontinuierliche Ladungsverteilung Kraftdichte und Ladungsdichte Quellen und Wirbel elektrostatischer Felder Quellbegriff, Ladungen als Quellen Berechnung elektrostatischer Felder Felder kugelsymmetrischer Ladungsverteilungen Energien des elektrostatischen Feldes Wechselwirkungsenergie Elektrische Dipole Magnetfeld stationärer Ströme Beschreibung elektrischer Ströme Wirbel und Quellen statischer Magnetfelder Berechnung von Magnetfeldern stationärer Ströme Mögliche Formen der Energie des el.-magn. Feldes und magn. Dipole Wechselwirkungsenergie Zusammenstellung/Vergleich elektro- und magnetostat. Felder Magnetische Dipole Zeitabhängige Felder Verschiebungsströme Induktion Transformator Elektromagnetische Wellen Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

3 1 Elektrische Felder ruhender Ladungen 1. Elektrische Felder ruhender Ladungen 1.1 Kraft und Feld Punktladungen Punktladung ist eine Punktmasse (Idealisierung) Verwendung, wenn die Ausdehnung der Kugeln sehr klein ist gegenüber dem Abstand der Kugeln r = r 2 r 1 Experimente führen zur Formulierung des Couloumb-Gesetzes F 21 = q 1q 2 4πε r 2 r r F 21 = Kraft, die Ladung 2 durch die Anwesenheit der Ladung 1 erfährt Einheitensystem: [F] = (As)2 m V m 4πε As V m As = V As m = Ws m = N m m q 1 q 2 > abstoßende Kräfte q 1 q 2 < abziehende Kräfte = N Nahwirkungstheorie der elektromagnetischen Wechselwirkung: F 21 q 2 E 1 = = q 2 E1 elektrisches Feld der Punktladung q 1 am Ort der Punktladung q 1 r 4πε r 3 allgemein: F = q E E( r) = q r 4πε r 3 elektrisches Feld der Punktladung q am Ort r Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 3

4 1.1 Kraft und Feld Verallgemeinerung: N Punktladungen q i wechselwirken mit der Probeladung q Experimente: F = F i = i i q E i = q i E i Prinzip der ungestörten Superposition (d.h. Differentialgleichung zur Bestimmung von E( r) linear!) E( r) = i q i ( r r i ) 4πε r r i 3 Rückblick auf die Mechanik: Couloumb-Kraft ist eine Zentralkraft mit Potential, also F( r) = F(r) r r V (r) = V Behauptung: ˆ r r dr F(r ) q V (r) = q 4πε r qϕ(r) ϕ(r) = q 4πε r Beweis: E( r) = ϕ(r) = ϕ r r r r = Potentialflächen sind Kugelflächen q 4πε r 2 r r jetzt N Punktladungen: Behauptung: ϕ( r) = q i 4πε i r r i 4 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

5 1.1 Kraft und Feld Beweis: E( r) = r ϕ( r) = i q i 1 r r i 4πε r r i 2 r r i i q i 1 4πε r r i r r i r r r i = Kontinuierliche Ladungsverteilung bestimmte Fläche bzw. Wolke im Raum - zur Veranschaulich/Vereinfachung aufgeteilt in viele kleine Zellen mit der Ladung q = V ( = Q ) dq = ( r)dv V ˆ ˆ Q = dq = ( r)dv Beispiele: homogen geladene Kugel mit Radius R und Ladung Q: V = 3Q 4πR 3 homogen gelandener Vollzylinder mit Radius R, Höhe h und Ladung Q: = Q πr 2 h Kraftdichte und Ladungsdichte aus i q i wird dv ( r ) ˆ dv E( r) ( r )( r r ) = 4πε r r 3 ˆ dv ( r ) ϕ( r) = 4πε r r Kraftdichte: d F = Edq = ( r) E( r)dv = ( r) E( r)dv = fdv f = E Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 5

6 1.2 Quellen und Wirbel elektrostatischer Felder 1.2 Quellen und Wirbel elektrostatischer Felder Quellbegriff, Ladungen als Quellen Quellenbegriff: Abbildung: Feldlinien mit vielen einzelnen Ladungen Tangenten an Ladungen (unterschiedliche Längen) Tangente gibt Richtung des Vektorfeldes an Dichte der Feldlinien (pro Flächeneinheit - zu den FL messbar) - ist Maß für die Stärke des Feldes Quelle: FL beginnen Senke: FL enden (negative Quelle) I Fälle: N }{{} N }{{} Zahl austret. FL Zahl eintret. FL I = : es treten so viele FL ein wie aus quellfrei I > : Feld enthält Quellen beliebiges Volumen V : einzelne kleine Oberflächenteile da: da E( r) N N } {{ } Quellstärke= d A E( r) Quellstärke des Vektorfeldes E( r) Ladungen als Quellen (Kugel mit einzelner Punktladung im Mittelpunkt): Hinweis: d A E( r) = q 4πε da = r 2 dω 4πR 2 E( r) = q r 4πε r 3 da r r = q da 3 4πε r = q 2 4πε da = dω r 2 dω = q ε Quellstärke unabhängig von Radius der Kugel, die die Punktladung enthält 6 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

7 1.2 Quellen und Wirbel elektrostatischer Felder beliebiges Gebiet mit Punktladung (wie oben, nur ohne Symmetrie) da E( r) = q 4πε da r r = q da = q r 2 4πε r 2 4πε dω = q ε beliebiges Gebiet mit Punktladung außerhalb - in diesem Fall da = d A r r sowohl positiv wie negativ d A E = Grund: Punktladung ist außerhalb der Fläche N Punktladungen: E( r) = i E i ( r) d A E = i d A E i = q k in V q k ε Kontinuierliche Ladungsverteilung: Man sucht sich einen Punkt x in V, von dem aus man den Vektor r aufspannt. ˆ ε da E( r) = Q ein = dv ( r) integrale Kenngröße Gaußscher Satz: ε da E( r) = ε ˆ div E( r) = r E( r) = ( r) ε Rechnen mit Divergenzen: A r E( r) = A ( e x V dv r E( r) = ε ˆ ˆ dv dive( r) = ) x + e y y + e z ( e x E x + e y E y + e z E z ) z = x E x + y E y + z E z dv ( r) Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 7

8 1.2 Quellen und Wirbel elektrostatischer Felder Beispiele: div r = 3 div r 3 = 5r 2 div( a r) r = 4( a r) div( a r) = E( r) Quellen ja, Wirbel? Wirbelbegriff: A 1 ( r) - klassisches Wirbelfeld homogenes Feld mit Leiterschleife: A 2 ( r) - ebenfalls Wirbelfeld Wirbelstärke: d r A( r) > für inhomogenes Feld (Beträge der Feldlinien oben größer als unten), = für homogenes Feld Feld der Punktladung: E( r) = C d r E( r) = q 4πε C d r e r r 2 q r 4πε r 2 r 8 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

9 1.3 Berechnung elektrostatischer Felder Zerlegung von d r in d r + d r q 4πε i ˆ rio r iu dr r 2 = Das Umlaufintegral über einen beliebigen Weg beim elektrostatischen Feld einer Punktladung ist. Verallgemeinerung auf beliebige ( r) elektrostatische Felder sind wirbelfrei Wirbeldichte: Umformung mit Satz von Stokes ( ) d r E( r) = da r E( r) = (C) rot E = r E( r) = bel. Flächemit Rand C 1.3 Berechnung elektrostatischer Felder E =? elektrostatisches Potential als Hilfsmittel zur Feldberechnung - jedes Gradientenfeld ist wirbelfrei E( r) = r ϕ( r) rot E = = r r ϕ ε E r = ε r r ϕ = ε ϕ( r) = ( r) (Poisson-Gl.) 2 = = ( r) 2 x 2 y 2 z 2 Lösungˆder Poisson-Gleichung: ϕ( r) = dv ( r ) 4πε r r E( r) = =ˆ r ϕ dv ( r )( r r ) 4πε r r 3 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 9

10 1.3 Berechnung elektrostatischer Felder Felder kugelsymmetrischer Ladungsverteilungen Kugelsymmetrie: hängt nur vom Betrag des Vektors r ab. ( r) = (r) auf Kugelflächen wirkt eine konstante Ladungsdichte elektrisches Feld senkrecht zur Kugeloberfläche: E( r) = E(r) r r Feldberechnung durch direkte Auswertung der Quellgleichung ˆ ε da E( r) = dv (r ) V ε da r r E(r) = ε E(r) da = ε 4πr 2 E(r) = ˆ r 4π dr r 2 (r ) r E(r) = dr r 2 (r ) ε r 2 ˆ r dv (r ) = Beispiel: elektrostatisches Feld und Potential/homogen geladene Kugel (r) = { 4Q 4πR 3 r R r > R E(r) = { Q ( r 3 4πε r R) r R 2 r > R Q 4πε r 2 ˆ r (r) = ( ) E(r )dr } {{ } ˆ r r > R : (r) = dr Q 4πε r = 2 r < R : (r) = (R) Q eπε R Q 4πε R 1 r 2 r 2 R 2 = R Q 4πε R 3 Q 4πε r ˆ r r = Q 4πε r E(r )dr = R ) ( r R2 2 Q 4πε R ˆ r R dr Qr 4πε R 3 = 1 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

11 1.4 Energien des elektrostatischen Feldes 1.4 Energien des elektrostatischen Feldes N Punktladungen der Stärke q i befinden sich im Unendlichen kräftefrei, keine Energie (sie sind alle voneinander weit entfernt) jetzt werden die Punktladungen ins Endliche gebracht Potential der Couloumb-Kraft tritt auf. V nm = q n q m 4πε r n r m die gesamte potentielle Energie der Ladungsverteilung erhalten wir durch Summation aller Paare: E pot = Kontinuum: Paare V nm = Paare } q n = ( r)dv q m = ( r )dv n m E pot = 1 2 q n q m 4πε r n r m = 1 2 dv dv ( r) ( r ) 4πε r r n m q n q m 4πε r n r m Feldtheorie: statisches Feld hat eine gewisse Energie potentielle Energie der Ladungsverteilung ist gleich Feldenergie E pot = E F Umformungen (analoge Schreibweisen), um besser rechnen zu können: E F = 1 ˆ dv ( r)ϕ( r) (=Lösung der Poisson-Gleichung) 2 ( r) = ε dive E F = ε ˆ ( ) dv 2 r E( r) ϕ( r) = ε ˆ 2 = ε da 2 Eϕ + ε ˆ ˆ dv E 2 2 = } {{ } dv [ r ( Eϕ) E ] r ϕ dv w( r) mit w( r) = ε 2 E 2 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 11

12 1.4 Energien des elektrostatischen Feldes Feldenergie einer homogen geladenen Kugel: Selbstenergie Q E innen (r) = 4πε R r 3 E außen (r) = Q 4πε r 2 ˆ R r R r R ˆ E F = ε Einnen 2 2 (r)dv + ε Eaußen 2 2 (r)dv R = ε ( ) 2 (ˆ Q R ( r ) 2 ) 4π r 2 1 dr +ˆ dr 2 4πε R 3 R r ( 4r2 = Q2 1 r 5 R 8πε 5 R 6 1 ) r R ( ) 1 = Q2 8πε Q 2 = 3 2 4πε R 5R + 1 R Wechselwirkungsenergie ( r) = 1( r) + 2( r) E W E (1+2) F E (1) F E(2) F = 1 dv dv ( 1 + 2)( ) πε r r = dv dv 2 4πε r r = dv dv 1( r) 2( r ) 4πε r r ˆ E W = dv 1( r) 2( r) E W = ε ˆ dv E 1 ( r) E 2 ( r) 12 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

13 1.5 Elektrische Dipole 1.5 Elektrische Dipole ( r): lokalisierte Ladungsverteilung (alle Ladungen sind innerhalb eines begrenzten Gebietes) wann sind nicht alle Einzelheiten dieser Verteilung wichtig? 1. für das Feld in großem Abstand 2. für die Verteilung in einem sich nur schwach ändernden äußeren Feld einfache integrale Kerngrößen: 1. Gesamtladung Q = dv ( r) - für die Fälle 1. und 2. verhält sich dann die lokalisierte Ladungsverteilung mit Q wie eine Punktladung aber: Systeme mit Q = sehr häufig! trotzdem im allgemeinen keine Kompensation der positiven und negativen Ladungen in ihren Wirkungen unterschiedliche Verteilungen! so können Ladungen im Mittel gegeneinander verschoben sein ein solches System heißt elektrischer Dipol 2. elektrisches Dipolmoment: p = dv ( r) r Verschiebung des Bezugspunkts: r r a p p aq Invarianz von p für Q = getrennte Betrachtung positiver und negativer Ladungen dann wird die Betrachtung des Dipolmoments klarer: + = + + Q = Q + + Q = ˆ ˆ p = dv + r + dv r = Q + ( dv + r dv + = Q + ( r + r ) dv r dv ) Beispiele: Dipolmomente einfacher Ladungsverteilungen Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 13

14 1.5 Elektrische Dipole Potential des elektrischen Dipols: lokalisierte Ladungsverteilung, Feld in großem Abstand - je weiter man weg 1 ist: r r 1 r + e r r r ˆ ϕ( r) = Feldstärke des Dipolfeldes E( r) = r ϕ( r) = 1 4πε r = p ( r p)3 r r r 4πε r 3 dv ( r) ˆ 4πε r r dv ( r ( ) 1 = 4πε r + e ) r r r 2 = 3( e r p) e r p 4πε r 3 ( ) r p r 3 = Q 4πε r + = 1 ( 1 4πε r 3 r ( r p) + ( r p) r e rp 4πε r 2 ) 1 r 3 Dipol im äußeren Feld E W = dv ( r)ϕ( r) ( r) : ϕ = Die felderzeugenden Ladungen befinden sich an anderen Orten als die Ladungen, deren Wechselwirkung wir betrachten wollen. ( Taylor-Reihe: ϕ( r) = ϕ( r ) + r ) ( r) r E W = ϕ ˆ dv E p = ϕ Q E p p E Kraft, Drehmoment ˆ ˆ ( ( F = dv E = dv E + r ) r ˆ ˆ M = dv r f = dv r E = p E ) E +... = ( p ) r E 14 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

15 2 Magnetfeld stationärer Ströme 2.1 Beschreibung elektrischer Ströme Strom=Änderung der Ladung in einer bestimmten Zeit Stromdichte: Ladungen bewegen sich im Raum I = dq dt durch Fläche A welcher Strom fließt durch welches Flächenelement? Einführung einer Stromdichte: Richtung=Strömungsrichtung 2. Magnetfeld stationärer Ströme j = j = di da j( r) d A = di d A j( r) = I ( ˆ Q = ) dv ( r) anschauliche Darstellung der elektrischen Stromdichte strömende Ladungen ( r, t) bewegen sich mit Geschwindigkeit v( r, t) dq - Ladungen im Volumen bewegt sich innerhalb einer kleinen Zeit dt durch die Fläche da: di = dq dt = vdtd A dt = vda j = v = i j i = i i v i = i i qi v i i = v Zusammenfassung: Die Stromdichte hat die Bedeutung eines auf die Fläche bezogenen Stroms (eine flächenhafte Dichte) Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 15

16 2.1 Beschreibung elektrischer Ströme Ladungserhaltung: globale Formulierung: es gibt keine physikalische Prozesse, die die Gesamtladung ändern können die Ladung im gesamten Raum ist konstant (Q =konst.) für ein endliches von einer geschlossenen Oberfläche begrenztes Raumgebiet gilt: Q(t) in V i.a. zeitabhängig: ˆ Q(t) = dv ( r, t) ˆ Satz von Gauß: (Kontinuitätsgleichung) V I(t) = Q + d A j( r, t) I = ˆ d dv ( r, t) + dt [ ] dv t + divj = d A j( r, t) t + div j = + r j = Statische Probleme: Ladungsdichte unabhängig: = Q =, dann gilt da j j = bzw. = Strömungsfeld ist quellfrei, meistens j dann auch r zeitunabhängig stationäre Strömung Knotensatz: da j = da j = I n = n A n n 16 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

17 2.2 Wirbel und Quellen statischer Magnetfelder 2.2 Wirbel und Quellen statischer Magnetfelder Experiment: I 1 I 2 a Anziehung bei gleichsinnigen Strömen Abstoßung bei ungleichsinnigen Strömen F L = µ I 1 I 2 2πa [ ] [ Kraft [µ ] = Strom 2 = 7 Vs µ = 4π 1 Am ] Energie Länge(Strom) 2 = VAs ma 2 Einführung eines magnetischen Feldes B Rechtsschraube (Pseudovektor) Vergleich Kräfte zwischen Ladungen Kräfte zwischen Strömen F el = q 1q 2 4πε r = E 1q 2 2 F mag = µ I 1 I 2 L = B 2πa 1 I 2 L E 1 = q 1 4πε r F = qe B 2 1 = µi 1 F = BIL F = IL h B 2πa Wirbel eines elektromagnetischen Feldes B( r) = µ I 2π e r Magnetfeld eines sehr dünnen Drahtes e r 2 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 17

18 2.2 Wirbel und Quellen statischer Magnetfelder Untersuchung der Wirbel a) spezieller Weg längs einer Feldlinie: d r B = d r B = B 2πa = µ I b) beliebiger Weg d r B = µi d r( e r) = µi d r e r C 2π C e r 2 2π e r e r µi d r 2π e r e ϕ = µi dϕ = µ I 2π c) mehrere gerade Ströme: d r B = { } 1 µ I k k k = c = n µ I n Verallgemeinerung: d r B = µ A d A j Durchflutungssatz muss für beliebige Flächen über gleiche Randkurve gleichen Wert haben da 1 j = da 2 j A 1 A 2 Der Durchflutungssatz gilt nur streng für statische Magnetfelder und damit für stationäre Ströme. ( ) Stokes scher Satz: d r B = da r B = µ da j C Quellen eines elektromagnetischen Feldes: da B( r) = divb( r) = B( r) r = magnetisches Feld immer quellfrei ˆ differentielle Formulierung: da B = dv B r = Quellfreiheit nachrechnen: ( ) ( ) e r y ex = e r e r 2 x ( ) x x 2 + y 2 x 2xy 2yx = y x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) = 2 V ( ) x ex + e y y x 2 + y 2 = ( ) y x x 2 + y Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

19 Kraftdichte: F mg = IL e B dv j B = L da j = L I e 2.3 Berechnung von Magnetfeldern stationärer Ströme dv j B = F mg = dv f mg f mg = j B f el = E j = v f mg = v B F mg = dv v B = q v B F el = q E 2.3 Berechnung von Magnetfeldern stationärer Ströme Vektorpotential Ausgangsgleichungen: r B = µ j B r = Ansatz: B = r A( r) B r = ( ) r r A( r) = div rota ein reines Wirbelfeld hat niemals Quellen! A( r) - sogenanntes Vektorpotential aus 1. Gleichung berechenbar, nicht eindeutig: A( r) A( r) + r f( r) B( r) = r A r A + Nebenbedingung: A r = ( ) r r A = µ j ( ) A r r A = µ j A( r) = µ ˆ dv j( r ) 4π r r r r f } {{ } = - Eichtransformation magnetische Poisson-Gleichung Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 19

20 2.3 Berechnung von Magnetfeldern stationärer Ströme B( r) = r A( r) = µ ˆ 4π ( ) 1 dv j( r ) r r NR: 1 r B( r) = µ 4π r = 1 r 2 r r ˆ dv j( r ) r r r r 2 r r 1 r r = 1 r r r r 2 r r Gesetz von Biot-Savart Feld stromdurchflossender Drähte dann Vereinfachungen möglich (Drähte sollen dünn sein) A( r) = µ ˆ dv j( s ) 4π r s d s j( s) dv = d A Fl d s d s ist ein gerichtetes Linienelement d. Drahtes ˆ dv j( s) ˆ ( ˆ ( da Fl d s) j( s) da ) ˆ Fl j d s = I d s ˆ A( r) = µ I d s 4π r s ˆ d s ( r s) B( r) = µ I r s 3 B( ) = µ I R 3 ˆ d s ( s) Felder einfacher Stromverteilungen (Felder mit Zylindersymmetrie) j( r) = j(r ) e e r B( r) = B(r ) e r d r B( r) = µ da j( r) 2 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

21 2.4 Mögliche Formen der Energie des el.-magn. Feldes und magn. Dipole ˆ r 2πr B(r ) = µ 2π B(r ) = µ r ˆ r dr r j(r ) dr r j(r ) Beispiel: Draht mit Dicke 2R, Strom I, konstante Stromdichte (j = Draht B(r ) = µ I r 2 r r πr 2 2 = µ Ir r 2πR 2 < R I ) im πr 2 B(r ) = µ I 2πr r > R 2.4 Mögliche Formen der Energie des el.-magn. Feldes und magn. Dipole ˆ analog zum elektrischen Fall: E F = dv 1 B 2 ( r) 1 ˆ ˆ [ 2µ 2µ 1 ( ) dv A B ( ) ] A B 2µ r r = 1 2µ d A F ( A B ) + 1 ˆ 2µ ( ) dv A r B dv B ( ) r A = = 1 2 ˆ dv j( r) A( r) = µ 2 dv dv j( r) j( r ) 4π r r Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 21

22 2.4 Mögliche Formen der Energie des el.-magn. Feldes und magn. Dipole Wechselwirkungsenergie 2 Felder j 1 ( r) und j 2 ( r) E F = E (1) F dv j 1 ( r) A 2 ( r) = 1 µ dv B1 ( r) B 2 ( r) + E(2) F + E W = µ dv dv j 1 ( r) j 2 ( r ) 4π r r = Zusammenstellung/Vergleich elektro- und magnetostat. Felder statisch elektrisches Feld statisches magnetisches Feld erzeugt von ( r) (Ladung) j( r) (Ströme) Quellen ε r E = r B = Wirbel: E = r B = µ r j Kräfte: fel = E fmg = j B = v B Potentialansatz: E = r ϕ ε ϕ = B = A r A = µ j Lösung ϕ( r) = dv ( r ) 4πε r r A( r) = µ dv j( r ) 4π r r Magnetische Dipole 2 Voraussetzungen müssen erfüllt sein a) Stationarität b) Lokalisiertheit Untersuchung einfacher integraler Kenngrößen ˆ (1) dv j I d s = ˆ (2) dv j( r) r I d s s (3) 1 ˆ dv r j 1 Iˆ s d s = m = IA Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

23 2.4 Mögliche Formen der Energie des el.-magn. Feldes und magn. Dipole Dipolfeld: völlige Analogie zu den Überlegungen beim elektrischen Dipol: A Dipol ( r) µ 4πr 2 ( m e r) B( r) = r A Dipol ( r) 3 e r( m e r ) m 4πr 3 µ 1 Dipol im äußeren Feld: M = m B ( F = m ) B r E W = + m B = E pot Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 23

24 3. Zeitabhängige Felder 3 Zeitabhängige Felder 3.1 Verschiebungsströme Ladungserhaltung (2.1) + Durchflutungssatz (2.2) Bestimmung des Verschiebungsstroms j v = ε E es gilt: da[ j + j v ] = ˆ d andererseits: Ladungserhaltungssatz: dv ( r, t) + da j( r, dt t) = V A E ε r = = ε ˆ dv E r + = da [ ] ε E + j = d A j = verallgemeinerter Durchflutungssatz: d r B = µ da ( ) j + ε E C r B ( ) = µ j + ε E Beispiel: Kondensatoraufladung als Beispiel für die Existenz des Verschiebungsstroms einfacher Plattenkondensator am Stromkreis linke Platte: Q + = I = Q Quellgleichung: ε d A E = Q + = ε AE Ladungserhaltungssatz: Q + = I = ε ĖA Berechnung des Verschiebungsstroms: I v = da j v = d Aε E = ε ĖA 24 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

25 3.2 Induktion 3.2 Induktion Induktion bei fester Leiterschleife Wir erzeugen ein zeitabhängiges Magnetfeld, indem wir ein inhomogenes B-Feld ständig räumlich verschieben. In diesem zeitabhängigen Magnetfeld befindet sich eine feste Leiterschleife, an deren Ende die feste Spannung U gemessen wird. Für diese induzierte Spannung ist offensichtlich nicht das B-Feld sondern die zeitliche Änderung der magnetischen Feldlinienzahl (Feldfluß) verantwortlich. de + da B = Umformung mit dem Integralsatz von Stokes: ( da r E + ) B = r E = B A Konsistenz-Bedingung: da B = B = erfüllt wegen B r r = Experiment zeigt, dass es für den Induktionseffekt gleichgültig ist, ob die Feldspule oder die Induktionsspule bewegt wird. 3.3 Transformator... Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 25

26 3.3 Transformator Zusammenfassung E( r, t) B( r, t) Quellen Wirbel r E = ε r E + B = r B = r B = µ j + µ ε E Lorentz-Konvention: 1 c 2 ϕ + A r = r B 1 E = µ j ( c 2 ) r r A + 1 [ ] ϕ A + = µ c } {{ } 2 j r r( A) A r [ ] [ 1 2 c 2 t A + ϕ 2 r c + ] A = µ 2 j r } {{ } A( r, t) = µ j( r, t) ϕ( r, t) = ϕ( r, t)ε 26 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

27 3.4 Elektromagnetische Wellen 3.4 Elektromagnetische Wellen Wellengleichungen im Vakuum (homogene Wellengleichung) ( r) =, j( r) = (1) r E = B, (3) r E = (2) r B = µ ε E, (4) r B = B + r E = B + r E = B + ( ) 1 r µ ε r B = [ a ( b c) = b( a c) c( a ] b) B + 1 [ ( ) ] B µ ε r r 2 B r ( 2 ) B c 2 B 1 =, 2 c 2 t B = 2 1 c 2 2 B = t 2 das Gleiche fürs E-Feld (2) nach t ableiten µ ε E r B = (1) einsetzen ( ) 1 E + c 2 r r E = [ ( ) ] 1 E + c 2 r r E E = Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 27

28 3.4 Elektromagnetische Wellen mit (3): 1 c 2 2 t 2 E E = E = und B = sind homogene Wellengleichungen. Als nächstes Untersuchung der Lösungen für den einfachsten Fall. skalare ebene Wellen 2 f = 1 2 c2 t2f x 2f = Was wissen wir über die Gleichung? einache Differentialgleichungen homogen keine Dämpfung Superpositionsprinzip ( 1 (5) c t + ) ( 1 x c f = ist erfüllt für ( 1 c t ± ) f = x t + x ) f = allgemeine Lösung: f(x, t) = f(x ± ct) Probe: ( 1 t + x ) f(x ct) = ( 1 c c 1 c f ( c) + f (1) = f + f = t + x Superposition ist ebenfalls Lösung f(x, t) = f 1 (x ct) + f 2 (x + ct) [ f(x, t) = (f 1 + f 2 ) = f 1 + f 2 = ] ) f(u(x, t)) = 1 df du c du dt + df du du dx = 28 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27

29 f 1 (x ct) ist eine nach rechts laufende Welle 3.4 Elektromagnetische Wellen 2 f 1 (x) 1 f 2 (x ct) Flächen gleicher Phase bewegen sich mit Geschwindigkeit c nach rechts periodisch ebene Wellen f 1 (x ct) = A cos(kx ωt) ω = ck (Dispersionsrelation) ω - Kreisfrequenz k - reziproke Wellenlänge, Wellenzahl Untersuchung periodischer Wellen x =const, f x (t) cos(ωt) + α x ) festem Ort zeitliche Erscheinung der Welle an t =const, f t (x) cos(kx + α t ) räumliche Erscheinung der Welle bei fester Zeit Verallgemeinerung: Ausbreitungsrichtung e x e r, (x = e x r) f = f = f( e r ct) ist eine ebene Welle in e-richtung Lösung der homogenen Wellengleichung Wleche Eigenschaften haben ebene elektromagnetiosche Wellen? Dazu Lösungen der homogenen Wellengleichungen in Maxwell-Gleichungen einsetzen: B + r E =, u = e r ct Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27 29

30 3.4 Elektromagnetische Wellen db du du dt + e d E du = c B + e E = 1 E c 2 r B = 1 c E e B = 3 Mitschriften von Tobias Doerffel, SS 27