Algebra und Geometrie für Ingenieure

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1 Algebra und Geometrie für Ingenieure von Dr. H. Nickel, Dr. G. Kettwig, H. Beinhoff, W. Pauli, Prof. Dr.-Ing. H. Kreul, Prof. Dr.-Ing. W. Leupold 17. Auflage Mit 365 Bildern und 1062 Aufgaben mit Lösungen A FACHBUCHVERLAG LEIPZIG

2 Inhaltsverzeichnis Logik und Mengenlehre 1. Grundbegriffe der Aussagenlogik Begriff der Aussage Negation, Konjunktion und Alternative Implikation und Äquivalenz Aussageformen 21 Aufgaben 1 bis Grundbegriffe der Mengenlehre Mengenbegriff Relationen zwischen Mengen Operationen mit Mengen Abbildungen Mächtigkeit und Ordnung 35 Aufgaben 20 bis Zahlenbereiche und Rechenoperationen 3. Bereich der natürlichen Zahlen Begriff der natürlichen Zahl Menge der natürlichen Zahlen als Zahlensystem Ziffernsysteme i Vollständige Induktion 50 Aufgaben 56 bis Bereich der ganzen Zahlen Erweiterung des Bereiches der natürlichen Zahlen zum Bereich der ganzen Zahlen Ordnung und Mächtigkeit des Bereiches der ganzen Zahlen Absolute Beträge 57 Aufgaben 81 bis 98 60

3 8 Inhaltsverzeichnis 5. Körper der rationalen Zahlen Erweiterung des Bereiches der ganzen Zahlen zum Bereich der rationalen Zahlen Menge der rationalen Zahlen als Zahlenkörper Ordnung und Mächtigkeit des Körpers der rationalen Zahlen 66 Aufgaben 99 bis Körper der reellen Zahlen Unvollkommenheit des Körpers der rationalen Zahlen Erweiterung des Körpers der rationalen Zahlen zum Körper der reellen Zahlen Ordnung und Mächtigkeit des Körpers der reellen Zahlen 73 Aufgaben 111 bis Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Elemente der Potenz-, Wurzel-und Logarithmenrechnung Definitionen Bechengesetze 79 Aufgaben 131 bis Binomischer Lehrsatz Einführung der EtTLERschen Symbole Eigenschaften der EuLEEschen Symbole Beweis und Anwendung des binomischen Lehrsatzes mit den EuLERschen Symbolen 91 Aufgaben 145 bis System der natürlichen Logarithmen 95 Aufgaben 168 bis Körper der komplexen Zahlen Unvollkommenheit des Körpers der reellen Zahlen Erweiterung des Bereiches der reellen Zahlen zum Bereich der komplexen Zahlen Bereich der komplexen Zahlen als Zahlenkörper GAUSSsche Zahlenebene Goniometrische Form komplexer Zahlen Multiplikation, Division und Potenzieren in der GAUssschen Zahlenebene Komplexe ra-te Wurzeln einer komplexen Zahl Logarithmen und Exponentialform komplexer Zahlen 115 Aufgaben 173 bis Gleichungen 9. Allgemeines über Gleichungen und Ungleichungen Term Gleichung, Ungleichung Äquivalenz Einteilung der Gleichungen 129

4 Inhaltsverzeichnis Ungleichungen mit einer Variablen Lineare Ungleichungen Ungleichungen, die sich auf lineare Ungleichungen zurückführen lassen Aufgaben 221 bis Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen Lösungsmenge Lösung mit Hilfe des Additionsverfahrens Lösung mit Hilfe von Determinanten. Einführung der zweireihigen Determinante Gleichungen, die sich auf lineare Gleichungen zurückführen lassen 148 Aufgaben 236 bis Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen Zwei lineare Gleichungen mit drei Variablen 153 Aufgaben 299 bis Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen Einführung der dreireihigen Determinante Lösung eines Systems von drei linearen Gleichungen mit drei Variablen w-reihige Determinante GAtrssscher Algorithmus Linear unabhängige Gleichungssysteme Linear abhängige Gleichungssysteme Zusammenfassende Betrachtung des GAUSSschen Algorithmus 184 Aufgaben 306 bis Quadratische Gleichungen Reinquadratische Gleichungen Gemischtquadratische Gleichungen ohne Absolutglied Gemischtquadratische Gleichungen Geometrische Bedeutung der Diskriminante. Diskussion der quadratischen Gleichung Gleichungen, die sich auf quadratische Gleichungen zurückführen lassen Quadratische Ungleichungen 197 Aufgaben 347 bis Algebraische Gleichungen ra-ten Grades Schema von HOENEB 203 Aufgaben 501 bis Fundamentalsatz der Algebra Eigenschaften der Wurzeln einer algebraischen Gleichung 214 Aufgaben 533 bis

5 10 Inhaltsverzeichnis 17. Näherungsverfahren zur Lösung numerischer Gleichungen Graphische Ermittlung erster Näherungswerte Lineares Eingabeln (regula falsi) NswTONsches Näherungsverfahren Iteration Transzendente Gleichungen Lösung unter Verwendung von Näherungsverfahren 228 Aufgaben 554 bis Sonderfälle transzendenter Gleichungen Exponentialgleichungen 232 Aufgaben 592 bis Logarithmische Gleichungen 237 Aufgaben 636 bis Trigonometrie der Ebene 19. Winkelmessung. Winkeleinheiten 241 Aufgaben 652 bis Trigonometrische Funktionen Allgemeine Definition der trigonometrischen Funktionen Graphische Darstellung der trigonometrischen Funktionswerte. Bestimmung der Funktionswerte besonderer Winkel Trigonometrische Funktionen Kurven und Periodizität Zusammenhang zwischen den trigonometrischen Funktionen Trigonometrische Funktionen im rechtwinkligen Dreieck Einrichtung und Benutzung der trigonometrischen Funktionstafeln Rechnen mit kleinen Winkeln Trigonometrische Funktionen auf dem Rechenstab Quadrantenrelationen Allgemeine Sinusfunktion 267 Aufgaben 659 bis Additionstheoreme und andere goniometrische Formeln Funktionen von Winkelsummen und-differenzen Funktionen des doppelten Winkels Verwandlung von Produkten in Summen von Funktionen und umgekehrt Rechnen mit kleinen Winkeln Addition von Sinusschwingungen 284 Aufgaben 700 bis Berechnung des schiefwinkligen Dreiecks Lösung der Grundaufgaben mit Sinus- und Cosinussatz Betrachtungen über bequeme und genaue Rechnung 293

6 Inhaltsverzeichnis Gleichungen von MOLLWEIDE und der Tangenssatz Halbwinkelsatz Umkreisradius, Inkreisradius und Fläche des Dreiecks Zweckmäßigste Lösungsverfahren der Grundaufgaben 297 Aufgaben 716 bis Goniometrische Gleichungen Goniometrische Gleichungen mit einer Variablen Goniometrische Gleichungen vom linearen Typ Goniometrische Gleichungen vom quadratischen Typ Gleichungen, die sich in goniometrische Gleichungen vom linearen und quadratischen Typ zerlegen lassen Goniometrische Gleichungen mit zwei Variablen 314 Aufgaben 742 bis Analytische Geometrie 24. Arbeitsweise der analytischen Geometrie Einleitung Rechtwinklige Koordinaten und Polarkoordinaten in der Ebene Kurvengleichungen Kurvengleichungen der Form P(x; y) = 0 bzw. y f(x) Parameterdarstellung einer Kurve Kurvengleichungen in Polarkoordinaten Koordinatentransformation Einleitung Parallelverschiebung des Koordinatensystems Drehung des Koordinatensystems 331 Aufgaben 750 bis Punkte, Strecken und Flächen im rechtwinkligen Koordinatensystem Entfernung zweier Punkte Anstieg einer Strecke Teilung einer Strecke Flächeninhalt ebener Vielecke 340 Aufgaben 764 bis Gerade Allgemeine Form der Geradengleichung 345 Aufgaben 782 bis Normalform der Geradengleichung 351 Aufgaben 785 bis Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden 356 Aufgaben 793 bis

7 12 Inhaltsverzeichnis HESSEsche Normalform der Geradengleichung 361 Aufgaben 806 bis Geradengleichungen in Parameterdarstellung und in Polarkoordinaten Aufgaben 811 bis Kreis Mittelpunktsgleichung des Kreises und allgemeine Kreisgleichung 367 Aufgaben 814 bis Parameterdarstellung und Gleichung in Polarkoordinaten 374 Aufgaben 831 bis Kreis und Gerade 376 Aufgaben 834 bis Tangente des Kreises 379 Aufgaben 845 bis Parabel Definition und Konstruktion, Scheitelgleichungen 386 Aufgaben 860 bis Allgemeine Parabelgleichungen 390 Aufgaben 871 bis Parameterdarstellung 395 Aufgaben 881 bis Darstellung in Polarkoordinaten 397 Aufgaben 884 bis Parabel und eine Gerade 399 Aufgaben 888 bis Tangente und Normale 401 Aufgaben 893 bis Ellipse Definition und Konstruktion Ellipsengleichungen 409 Aufgaben 919 bis Ellipse und eine Gerade. 415 Aufgaben 942 bis Tangente der Ellipse 417 Aufgaben 945 bis 958 ' Ellipse als senkrechte Parallelprojektion des Kreises Hyperbel Definition und Konstruktion Hyperbelgleichungen 424 Aufgaben 959 bis Hyperbel, Gerade und Tangente 428 Aufgaben 974 bis Eigenschaften der Hyperbel 431 Aufgaben 984 bis

8 Inhaltsverzeichnis Kegelschnitte in allgemeiner Lage 434 Aufgaben 987 bis Verwandtschaft der Kegelschnitte Gemeinsame Kurvengleichungen Definition der Kegelschnitte mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln Einige technisch wichtige Kurven Allgemeine Bemerkungen Kubische und semikubische Parabel 447 Aufgaben 992 bis Rollkurven Zykloiden 449 Aufgabe Epizykloiden 450 Aufgaben 996 bis Hypozykloiden 453 Aufgaben 999 bis Kreisevolvente Kurbeltriebe Überlagerung von harmonischen Schwingungen bei verschiedenen Schwingungsrichtungen 457 Aufgabe Spiralen Archimedische Spirale Hyperbolische Spirale Logarithmische Spirale Lemniskate 461 Vektoralgebra 34. Grundbegriffe der Vektorrechnung Vektor, Skalar Addition und Subtraktion von Vektoren ; Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Grund- und Einsvektoren Zerlegung von Vektoren in Komponenten 473 Aufgaben 1002 bis Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Grundvektoren eines rechtwinkligen Koordinatensystems Rechengesetze für Vektoren in Koordinatendarstellung Betrag und Richtungscosinus eines Vektors 480 Aufgaben 1008 bis

9 14 Inhaltsverzeichnis Lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit 483 Aufgaben 1015 bis Vektorgleichung einer Greraden im Raum 486 Aufgaben 1019 bis Skalares Produkt Definition des skalaren Produktes 489 Aufgaben 1024 bis Rechengesetze für skalare Produkte 491 Aufgaben 1029 bis Anwendungen des Skalarproduktes 496 Aufgaben 1035 bis Vektorielles Produkt Definition des vektoriellen Produktes 505 Aufgaben 1041 bis Rechengesetze für vektorielle Produkte 507 Aufgaben 1044 bis Anwendungen des Vektorproduktes 511 Aufgaben 1048 bis Mehrfache Produkte von Vektoren Möglichkeiten der Produktbildung Gemischtes Produkt 516 Aufgaben 1053 bis Vektorielles Produkt dreier Vektoren 519 Aufgaben 1057 bis Produkte von vier Vektoren 521 Aufgaben 1059 bis Vektorielle Darstellung von Kurven und Flächen im Raum 523 Aufgaben 1061 bis Lösungen 527 Verwendete Symbole 583 Sachwortverzeichnis 584