Mathematik zum Studienbeginn

Transkript

1 Arnfried Kemnitz Mathematik zum Studienbeginn Grundlagenwissen für alle technischen, mathematisch-naturwissenschaftlichen und wirtschaftswissenschaftlichen Studiengänge 9., überarbeitete und erweiterte Auflage STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER

2 Inhaltsverzeichnis 1 Arithmetik Mengen Aussageformen und logische Zeichen Aussageformen Logische Zeichen Vollständige Induktion Einteilung der Zahlen Grundrechenarten Grundlegende Rechenregeln Buchstabenrechnen Kehrwert, Quersumme Teilbarkeitsregeln Punktrechnung vor Strichrechnung Potenzrechnung vor Punktrechnung Grundgesetze der Addition und Multiplikation Grundregeln der Klammerrechnung Multiplikation mit Klammern Indizes, Summenzeichen, Produktzeichen Binomische Formeln Division mit Klammern Bruchrechnung Definitionen Erweitern und Kürzen Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche Multiplizieren von Brüchen Dividieren von Brüchen Potenz- und Wurzelrechnung Definition der Potenz Regeln der Potenzrechnung Definition der Wurzel Regeln der Wurzelrechnung Dezimalzahlen und Dualzahlen Dezimalsystem Dualsystem Runden Logarithmen Definition des Logarithmus Spezielle Basen Regeln der Logarithmenrechnung Zusammenhang von Logarithmen mit verschiedenen Basen Dekadische Logarithmen Mittelwerte 32

3 X Arithmetisches Mittel Geometrisches Mittel Harmonisches Mittel Quadratisches Mittel Ungleichungen Definitionen und Rechenregeln Absolutbetrag Intervalle Komplexe Zahlen Algebraische Form Trigonometrische Form Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen Multiplizieren komplexer Zahlen Dividieren komplexer Zahlen Potenzieren komplexer Zahlen Radizieren komplexer Zahlen Eulersche Formel 46 2 Gleichungen Gleichungsarten Äquivalente Umformungen Lineare Gleichungen Proportionen Quadratische Gleichungen Definitionen Lösungsverfahren Satz von Vieta für quadratische Gleichungen Algebraische Gleichungen höheren Grades Kubische Gleichungen Polynomdivision Gleichungen vierten Grades Gleichungen n-ten Grades Satz von Vieta für Gleichungen n-ten Grades Auf algebraische Gleichungen zurückführbare Gleichungen Bruchgleichungen Wurzelgleichungen Transzendente Gleichungen Exponentialgleichungen Logarithmische Gleichungen Trigonometrische Gleichungen Lineare Gleichungssysteme Definitionen Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen Drei lineare Gleichungen mit drei Variablen Matrizen und Determinanten Lineare Ungleichungen Definitionen Lineare Ungleichungen mit einer Variablen 93

4 XI Lineare Ungleichungen mit zwei Variablen Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen 96 Planimetrie Geraden und Strecken Winkel Grundkonstruktionen mit Zirkel und Lineal Projektion Geometrische Orter Dreiecke Allgemeine Dreiecke Gleichschenklige Dreiecke Gleichseitige Dreiecke Rechtwinklige Dreiecke Besondere Geraden, Strecken und Kreise Flächensätze im rechtwinkligen Dreieck Kongruenz von Dreiecken Grundkonstruktionen des Dreiecks Vierecke Allgemeine Vierecke Trapeze Parallelogramme Rhomben Rechtecke Quadrate Drachen Sehnenvierecke Tangentenvierecke Reguläre n-ecke Polygone Kreise Definitionen Kreissektoren Kreissegmente Kreise und Geraden Winkelsätze am Kreis Eigenschaften von Sekanten und Sehnen Tangentenkonstruktionen Sätze über Sehnen, Sekanten, Tangenten Bogenmaß Symmetrie Punktsymmetrie Achsensymmetrie Ähnlichkeit Zentrische Streckung Strahlensätze Ähnliche Figuren Streckenteilungen 148

5 xii 4 Stereometrie Prismen Allgemeine Prismen Parallelepiped und Würfel Zylinder Allgemeine Zylinder Gerade Kreiszylinder Hohlzylinder Pyramiden Allgemeine Pyramiden Gerade quadratische Pyramiden Kegel Allgemeine Kegel Gerade Kreiskegel Cavalierisches Prinzip Pyramidenstümpfe und Kegelstümpfe Pyramidenstümpfe Kegelstümpfe Platonische Körper Kugeln Definitionen Kugelsegmente Kugelsektoren Kugelschichten Funktionen Definition und Darstellungen von Funktionen Definitionen Funktionsgleichung Graph einer Funktion Wertetabelle einer Funktion Verhalten von Funktionen Monotone Funktionen Symmetrische Funktionen Beschränkte Funktionen Injektive Funktionen Surjektive Funktionen Bijektive Funktionen Periodische Funktionen Umkehrfunktionen Reelle und komplexe Funktionen Einteilung der elementaren Funktionen Ganze rationale Funktionen Konstante Funktionen Lineare Funktionen Quadratische Funktionen Kubische Funktionen Ganze rationale Funktionen n-ten Grades 199

6 Xlll Horner-Schema Gebrochene rationale Funktionen Nullstellen, Pole, Asymptoten Partialbruchzerlegung Irrationale Funktionen Transzendente Funktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Trigonometrie Definition der trigonometrischen Funktionen Trigonometrische Funktionen für beliebige Winkel Beziehungen für den gleichen Winkel Graphen der trigonometrischen Funktionen Reduktionsformeln Additionstheoreme Sinussatz und Kosinussatz Grundaufgaben der Dreiecksberechnung Arkusfunktionen Analytische Geometrie Koordinatensysteme Kartesisches Koordinatensystem der Ebene Polarkoordinatensystem der Ebene Zusammenhang zwischen kartesischen und Polarkoordinaten Kartesisches Koordinatensystem des Raums Kugelkoordinatensystem des Raums Zylinderkoordinatensystem des Raums Geraden Geradengleichungen Abstände Kreise Kreisgleichungen Berechnung von Kreisen Kreis und Gerade Kugeln Kegelschnitte Ellipsen Hyperbeln Parabeln Anwendungen Graphisches Lösen von Gleichungen Vektoren Definitionen Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar Addition und Subtraktion zweier Vektoren Komponentendarstellung von Vektoren in der Ebene Komponentendarstellung von Vektoren im Raum Skalarprodukt 295

7 xiv Vektorprodukt Spatprodukt Differential- und Integralrechnung Folgen Grundbegriffe Arithmetische Folgen Geometrische Folgen Grenzwert einer Folge Tabelle einiger Grenzwerte Divergente Folgen Reihen Definitionen Arithmetische Reihen Geometrische Reihen Harmonische Reihen Alternierende Reihen Grenzwerte von Funktionen Grenzwert an einer endlichen Stelle Einseitige Grenzwerte Grenzwert im Unendlichen Rechenregeln für Grenzwerte Unbestimmte Ausdrücke Stetigkeit einer Funktion Unstetigkeitsstellen Ableitung einer Funktion Definitionen Differentiationsregeln Höhere Ableitungen Ableitungen einiger algebraischer Funktionen Ableitungen einiger transzendenter Funktionen Sekanten und Tangenten Extremwerte von Funktionen Krümmungsverhalten von Funktionen Wendepunkte von Funktionen Kurvendiskussion Anwendungsbeispiele Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung Integralrechnung Unbestimmtes Integral Integrationsregeln Unbestimmte Integrale einiger algebraischer Funktionen Unbestimmte Integrale einiger transzendenter Funktionen Bestimmtes Integral Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Eigenschaften des bestimmten Integrals Einige Anwendungen der Integralrechnung Funktionenreihen 354

8 XV Definitionen Potenzreihen Fourier-Reihen Kombinatorik Kombinatorische Grundprinzipien Fakultäten, Binomialkoefnzienten und Pascalsches Dreieck Binomischer Lehrsatz Permutationen und Variationen Kombinationen Permutationen mit eingeschränkter Wiederholung Multinomialsatz Prinzip der Inklusion und Exklusion Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufällige Ereignisse Absolute und relative Häufigkeit von Ereignissen Stichproben Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit Klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zufallsvariablen 400 A Symbole und Bezeichnungsweisen 404 В Mathematische Konstanten 408 С Das griechische Alphabet 409 Literaturverzeichnis 411 Sachwortverzeichnis 412