Mathematik leicht gemacht

Transkript

1 Die wichtigsten Lehrbücher bei HD Mathematik leicht gemacht Bearbeitet von Hans Kreul, Harald Ziebarth 7., erw. Aufl Taschenbuch. 846 S. Paperback ISBN Format (B x L): 16 x 23 cm Weitere Fachgebiete > Mathematik > Mathematik Allgemein Zu Leseprobe schnell und portofrei erhältlich bei Die Online-Fachbuchhandlung beck-shop.de ist spezialisiert auf Fachbücher, insbesondere Recht, Steuern und Wirtschaft. Im Sortiment finden Sie alle Medien (Bücher, Zeitschriften, CDs, ebooks, etc.) aller Verlage. Ergänzt wird das Programm durch Services wie Neuerscheinungsdienst oder Zusammenstellungen von Büchern zu Sonderpreisen. Der Shop führt mehr als 8 Millionen Produkte.

2 Hans Kreul Harald Ziebarth Mathematik leicht gemacht 7., erweiterte Auflage

3 Autoren: Prof. Dr.-Ing. Hans Kreul lehrte an der Fachhochschule Zittau. Er ist Mitbegründer von Mathematik leicht gemacht und Autor zahlreicher weiterer mathematischer Lehrbücher. Harald Ziebarth ist Privatlehrer für Mathematik, Biologie und Chemie. Er ist Mitautor zahlreicher Mathematikbücher für die Oberstufe. Sein Spezialgebiet ist die Aufarbeitung mathematischer Grundlagen zur Vorbereitung der gymnasialen Oberstufe und des Grundstudiums. Als Angestellter des Studienkreises hat er zu diesem Zweck spezielle Unterrichts- und Kursmaterialien entwickelt. Er betreut fachlich die Niederlassungen in Bonn und ist als leitender Tutor und Supervisor in einem der größten deutschsprachigen Internet-Foren zur Schulmathematik tätig. Webseite zum Buch: Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISBN Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdrucks und der Vervielfältigung des Buches oder von Teilen daraus sind vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf ohne schriftliche Genehmigung des Verlages in irgendeiner Form (Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren), auch nicht für Zwecke der Unterrichtsgestaltung, reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet werden. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Der Inhalt des Werkes wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren und Verlag für die Richtigkeit von Angaben, Hinweisen und Ratschlägen sowie für eventuelle Druckfehler keine Haftung. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Text berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutzgesetze als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürfen. 7., erweiterte Auflage 2009 c Wissenschaftlicher Verlag Harri Deutsch GmbH, Frankfurt am Main, 2009 Satz: Satzherstellung Dr. Naake < Druck: fgb freiburger graphische betriebe < Printed in Germany

4 Inhaltsverzeichnis Hinweise zur Benutzung des Buches Zur Technik des Zahlenrechnens Der Zahlbegriff Die natürlichen Zahlen Das dekadische Positionssystem Das duale Positionssystem Das römische Zahlensystem Konstante und Variable Das Rechnen mit Zahlen Bezeichnungen Die Teilbarkeit von Zahlen Teiler einer Zahl Teilbarkeitsregeln Primzahlen Der größte gemeinsame Teiler Das kleinste gemeinsame Vielfache Gewöhnliche Brüche Begriffserklärungen Erweitern und Kürzen von Brüchen Addition und Subtraktion gewöhnlicher Brüche Multiplikation von Brüchen Der Kehrwert eines Bruches Division von Brüchen Doppelbrüche Zusammenfassung Bruchrechnung Dezimalbrüche Begriffserklärungen Addition und Subtraktion von Dezimalbrüchen Multiplikation von Dezimalbrüchen Division von Dezimalbrüchen Umwandlung von Brüchen Das Runden von Dezimalbrüchen Bruch oder Dezimalzahl? Größenvergleich von Brüchen Rechenhilfsmittel Taschenrechner Grundrechenarten Eingeben, Editieren, Löschen Werte abspeichern Terme berechnen Funktionentasten Verschiedene Arbeitsmodi Kaufkriterien für einen Taschenrechner

5 xii Inhaltsverzeichnis Tabellenkalkulation Kurze Einführung in Excel Mathematik mit Excel Computeralgebrasystem Anwendungen für Derive Funktionenplotter Arithmetik Die Rolle der Sprache in der Mathematik Allgemeine Bemerkungen Aussagen und Aussageformen Verknüpfung von Aussagen Einführendes Beispiel Die Konjunktion Die Disjunktion Die Implikation Die Äquivalenz Grundbegriffe der Mengenlehre Der Begriff der Menge Zahlenmengen Die Beschreibung von Mengen Mengenschreibweise Intervallschreibweise Mengenrelationen Teilmengen Gleichheit zweier Mengen Mengenoperationen Vereinigung von Mengen Durchschnitt von Mengen Differenz zweier Mengen Das Rechnen mit Variablen Die vier Grundrechenoperationen Einfache Rechenoperationen mit Variablen Die negativen Zahlen Addition und Subtraktion Multiplikation Division Das Rechnen mit algebraischen Summen Über die Bedeutung der Klammern Setzen und Auflösen additiver und subtraktiver Klammern Multiplikation von Klammerausdrücken Ausklammern gemeinsamer Faktoren Binomische Formeln Die Quadratische Ergänzung Bruchrechnung Erweitern und Kürzen von Brüchen Addition und Subtraktion von Brüchen Multiplikation und Division von Brüchen Doppelbrüche

6 Inhaltsverzeichnis xiii 2.4 Potenzrechnung Begriffserklärungen Potenzgesetze Addition und Subtraktion von Potenzen Multiplikation von Potenzen Division von Potenzen Potenzieren einer Potenz Klammergesetze Erste Erweiterung des Potenzbegriffs Potenzen von Binomen Polynomdivision Ausklammern für Fortgeschrittene Anwendungen der Potenzen Schreibweise rationaler Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen Schreibweise von Maßeinheiten Übersicht der Potenzgesetze Wurzelrechnung Radizieren als erste Umkehrung des Potenzierens Der Wurzelbegriff Definitionsbereich und einschränkende Bedingungen Die Berechnung von Wurzelwerten Die reellen Zahlen Zweite Erweiterung des Potenzbegriffs Wurzelgesetze Addition und Subtraktion von Wurzeln Multiplikation von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten Teilradizieren Division von Wurzeln mit gleichen Wurzelexponenten Rationalmachen des Nenners Radizieren von Potenzen und Wurzeln Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten Rückblick auf die Potenz- und die Wurzelgesetze Logarithmenrechnung Logarithmieren als zweite Umkehrung des Potenzierens Der Logarithmusbegriff Logarithmengesetze Spezielle Logarithmensysteme Die dekadischen Logarithmen Die natürlichen Logarithmen Die dualen Logarithmen Weitere Logarithmensysteme Zusammenfassung Algebra Lineare Gleichungen und Ungleichungen Vorbemerkungen und Begriffserklärungen Definitionsbereich Gleichungen Ungleichungen

7 xiv Inhaltsverzeichnis Umformung von Gleichungen Äquivalente Umformung von Gleichungen Nichtäquivalente Umformung von Gleichungen Elektronische Hilfsmittel beim Lösen von Gleichungen Lösung linearer Gleichungen mit einer Variablen Begriffserklärungen Einfache lineare Gleichungen Nichtlineare Gleichungen auf lineare Gleichungen zurückführen Gleichungen mit Parametern Gleichungen mit Klammerausdrücken Bruchgleichungen Wurzelgleichungen Gleichungen mit eingeschränktem Definitionsbereich Das Umstellen von Formeln Anwendungen Schlussbemerkungen Das Rechnen mit Ungleichungen Gleichungen und Ungleichungen mit Beträgen Proportionen Begriffserklärungen Rechengesetze für Proportionen Fortlaufende Proportionen Direkte Proportionalität Indirekte Proportionalität Proportionen als Gleichungen Prozentrechnung Grundbegriffe Berechnung des Prozentsatzes Berechnung des Prozentwertes Berechnung des Grundwertes Verminderter oder vermehrter Grundwert Promillerechnung Zinsrechnung Zinseszinsrechnung Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Lösungsverfahren für LGS mit zwei Variablen Das Einsetzungsverfahren Das Gleichsetzungsverfahren Das Additionsverfahren Bemerkungen zu den drei Lösungsverfahren Die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen Schwierigere Gleichungssysteme LGS mit drei und mehr Variablen Begriffserklärungen Lösungsverfahren für LGS mit drei und mehr Variablen LGS mit elektronischen Hilfsmitteln lösen Taschenrechner CAS

8 Inhaltsverzeichnis xv 3.5 Quadratische Gleichungen Begriffserklärungen Spezielle Formen der quadratischen Gleichung Die reinquadratische Gleichung Die gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied Die Normalform der quadratischen Gleichung Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen Die Lösung der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung Beziehungen zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer quadratischen Gleichung Die Diskriminante Der Wurzelsatz von VIETA Die Produktform quadratischer Terme Faktorisieren für Profis Quadratische oder höhere Ungleichungen Wurzelgleichungen, Teil Quadratische Gleichungssysteme Biquadratische Gleichungen Polynomgleichungen Gleichungen ohne Absolutglied Kubische Gleichungen Kubische Gleichungen mit Absolutglied Methode des gezielten Ratens Der Einfluss des Leitkoeffizienten Höhere Polynomgleichungen Übersicht Funktionen Begriffsbestimmungen Der Begriff der Abbildung Der Begriff der Funktion Arten der Darstellung von Funktionen Darstellung einer Funktion durch die Angabe der geordneten Paare Darstellung einer Funktion durch eine Wertetabelle Darstellung einer Funktion durch Zuordnungsgraphen Darstellung einer Funktion durch wörtliche Formulierung der Zuordnungsvorschrift Darstellung einer Funktion durch mathematische Relationen Darstellung einer Funktion durch eine Kurve Das rechtwinklige Koordinatensystem Darstellung von Funktionen in Form von Graphen Grafische Darstellung von Funktionen, die nicht von vornherein als Kurven gegeben sind Zusammenhänge zwischen der Gleichung einer Funktion und der zugehörigen Kurve Schnittpunkt zweier Kurven Wichtige Eigenschaften von Funktionen Monotonie Stetigkeit Gerade Funktionen

9 xvi Inhaltsverzeichnis Ungerade Funktionen Schnittpunkte mit den Achsen Lineare Funktionen Vorbemerkungen Begriffserklärungen Die Funktion y = mx Die Funktion y = mx + b Grafische Darstellung der linearen Funktion Grafische Lösung linearer Gleichungen und linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen Quadratische Funktionen Begriffserklärungen Die quadratische Funktion y = x Die quadratische Funktion y = x 2 + q Die quadratische Funktion y = x 2 + px + q Die allgemeine quadratische Funktion y = a x 2 + b x + c Modellieren quadratischer Funktionen Parabel und Gerade Grafische Lösung quadratischer Gleichungen Potenzfunktionen y = x n mit ganzzahligem positivem Exponenten Die Potenzfunktion y = x y = x n mit ganzzahligem negativem Exponenten y = x a mit gebrochenem Wert des Exponenten a Wichtige transzendente Funktionen Die Exponentialfunktionen Die logarithmischen Funktionen Planimetrie Grundbegriffe der Geometrie Lagebeziehungen zwischen Geraden und Winkeln Parallele Geraden Schnitt zweier Geraden Winkel an Parallelen Symmetrie Axiale Symmetrie Zentrale Symmetrie Geometrische Grundkonstruktionen Punktmengen Das Dreieck Allgemeines Dreieck Spezielle Dreiecke Dreieckstransversalen und deren Schnittpunkte Das Viereck Allgemeines Viereck Spezielle Vierecke Das Vieleck Unregelmäßiges Vieleck Regelmäßige Vielecke

10 Inhaltsverzeichnis xvii 5.7 Kongruenz Was ist Kongruenz? Kongruenz von Dreiecken Ähnlichkeit Ähnlichkeit im Allgemeinen Ähnlichkeit von Dreiecken Strahlensätze Das rechtwinklige Dreieck Strecken und Winkel am Kreis Kreis und Gerade Winkel am Kreis Ähnlichkeit am Kreis Der Goldene Schnitt Berechnung von Flächen und Umfängen Vierecke Dreiecke Unregelmäßige Vielecke Regelmäßige Vielecke Kreis und Kreisteile Umfang und Flächeninhalt ähnlicher Flächen Goniometrie Das Bogenmaß Winkelfunktionen Definition der Winkelfunktionen Kurvenbilder der Winkelfunktionen Die Zahlenwerte der Winkelfunktionen Die Umkehrung der Winkelfunktionen Elementare Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen Trigonometrie Die Winkelfunktionen am rechtwinkligen Dreieck Sätze über beliebige Dreiecke Der Sinussatz Die Flächenformel für Dreiecke Der Kosinussatz Die Berechnung schiefwinkliger Dreiecke Additionstheoreme Goniometrische Gleichungen Stereometrie Einteilung der Körper Ebenflächner Krummflächner Darstellung von Körpern Mehrtafelprojektion Axonometrische Projektion Isometrische Projektion Dimetrische Projektion

11 xviii Inhaltsverzeichnis 7.3 Körperberechnung Berechnungsgrundlagen Ebenflächner Quader und Würfel Gerades Prisma Satz des CAVALIERI Pyramide Pyramidenstumpf Krummflächner Kreiszylinder Kegel Kegelstumpf Kugel und Kugelteile Die GULDIN schen Regeln Anhang Mathematische Zeichen Anhang Mathematische Begriffe Lösungen Sachwortverzeichnis