Mathematik für angewandte Wissenschaften

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1 Mathematik für angewandte Wissenschaften

2 Christopher Dietmaier Mathematik für angewandte Wissenschaften

3 Prof. Dr. Christopher Dietmaier Ostbayerische Technische Hochschule Amberg-Weiden Weiden, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung und Lektorat: Dr. Andreas Rüdinger, Bettina Saglio Redaktion: Dipl.-Phys. Bernhard Gerl Einbandentwurf: deblik, Berlin Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

4 Inhaltsverzeichnis Vorwort Grundlagen Aussagen Mengen Abbildungen und Verknüpfungen Die reellen Zahlen und Teilmengen Rechnen mit reellen Zahlen Aufgaben zu Kapitel Funktionen einer Variablen Grundbegriffe und Eigenschaften Folgen und Grenzwerte Elementare Funktionen Potenz- und Wurzelfunktionen Polynomfunktionen Gebrochen rationale Funktionen Die e-funktion Die natürliche Logarithmusfunktion Exponentialfunktion zur Basis a Logarithmusfuktion zur Basis a Trigonometrische Funktionen Arkusfunktionen Hyperbelfunktionen Areafunktionen Stetigkeit Aufgaben zu Kapitel Differenzialrechnung Ableitung und Differenzierbarkeit Ableitungsregeln Berechnung von Grenzwerten Monotonie, lokale Extrema und Krümmung Spezielle Anwendungen Bestimmung von Extrema Numerische Lösung von Gleichungen Interpolation mit kubischen Splinefunktionen Elastizität und Fehlerfortpflanzung Aufgaben zu Kapitel Integralrechnung

5 vi Inhaltsverzeichnis 4.1 Das bestimmte Integral Stammfunktionen und unbestimmtes Integral Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Eigenschaften des Integrals Integrationsmethoden Logarithmische Integration Partielle Integration Integration durch Substitution Integration durch Partialbruchzerlegung Uneigentliche Integrale Numerische Integration Anwendungsbeispiele Aufgaben zu Kapitel Vektorrechnung Vektoren und Vektorraum Skalarprodukt, Betrag und Winkel Das Vektorprodukt und Mehrfachprodukte Lineare Unabhängigkeit und Basis eines Vektorraums Anwendung in der Geometrie Punkte im Raum Geraden im Raum Ebenen im Raum Abstände Winkel Aufgaben zu Kapitel Matrizen, Determinanten und lineare Gleichungssysteme Matrizen Determinanten Lineare Gleichungssysteme Inversion von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Aufgaben zu Kapitel Reihenentwicklung von Funktionen Unendliche Reihen Potenzreihen Taylorreihen Fourierreihen Aufgaben zu Kapitel Komplexe Zahlen

6 Inhaltsverzeichnis vii 8.1 Einführung, Grundbegriffe und Rechenoperationen Exponentialform komplexer Zahlen Lösung algebraischer Gleichungen Komplexe Funktionen einer reellen Variablen Anwendung in der Elektrotechnik Aufgaben zu Kapitel Koordinatensysteme und Kurven Der zweidimensionale Raum R Kartesische Koordinaten Polarkoordinaten Koordinaten- und geometrische Transformationen Der dreidimensionale Raum R Kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Sphärische Polarkoordinaten Geometrische und Koordinatentransformationen Kurven Tangenten- und Normalenvektoren Bogenlänge Krümmung Aufgaben zu Kapitel Funktionen mehrerer Variablen Einführung und Grundbegriffe Partielle Ableitung Differenzierbarkeit, Folgerungen und Näherungen Extrema ohne Nebenbedingungen Extrema unter Nebenbedingungen Aufgaben zu Kapitel Bereichs- und Kurvenintegrale Bereichsintegrale im R Integration in kartesischen Koordinaten Integration in Polarkoordinaten Bereichsintegrale im R Integration in kartesischen Koordinaten Integration in Zylinderkoordinaten Integration in sphärischen Polarkoordinaten Kurvenintegrale Aufgaben zu Kapitel Gewöhnliche Differenzialgleichungen

7 viii Inhaltsverzeichnis 12.1 Einführung Differenzialgleichungen 1. Ordnung Separable Differenzialgleichungen Lineare Differenzialgleichungen Lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung Homogene Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Inhomogene Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung Homogene Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Inhomogene Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Systeme linearer Differenzialgleichungen Homogene Systeme Inhomogene Systeme Aufgaben zu Kapitel Integraltransformationen Fouriertransformation Einführung Eigenschaften der Fouriertransformation Die Deltafunktion δ(t) Anwendungen Laplacetransformation Einführung Eigenschaften Anwendungen Aufgaben zu Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsexperimente, Ereignisse und Wahrscheinlichkeit Eigenschaften und elementare Rechenregeln Hilfsmittel aus der Kombinatorik Permutationen Variationen Kombinationen Zusammenfassung Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Diskrete Zufallsvariablen Stetige Zufallsvariablen Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Mehrere Zufallsvariablen Spezielle diskrete Verteilungen Die Binomialverteilung

8 Inhaltsverzeichnis ix Die hypergeometrische Verteilung Die Poisson-Verteilung Spezielle stetige Verteilungen Die Normalverteilung Die Exponentialverteilung Die t-verteilung und die Chi-Quadrat-Verteilung Grenzwertsätze Aufgaben zu Kapitel Beschreibende Statistik Einführung und Grundbegriffe Univariate beschreibende Statistik Häufigkeiten und grafische Darstellungen Maßzahlen Bivariate beschreibende Statistik Häufigkeiten und grafische Darstellungen Maßzahlen Aufgaben zu Kapitel Schließende Statistik Einführung und Grundbegriffe Parameterschätzungen Punktschätzungen Intervallschätzungen Hypothesentests Parametertests Nichtparametrische Tests Aufgaben zu Kapitel A Lösung der Aufgaben A.1 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.2 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.3 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.4 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.5 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.6 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.7 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.8 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.9 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.10 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.11 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.12 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.13 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel

9 x Inhaltsverzeichnis A.14 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.15 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel A.16 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel B Statistik-Tabellen B.1 Standardnormalverteilung B.1.1 Quantile der Standardnormalverteilung B.1.2 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung B.2 t-verteilung B.3 Chi-Quadrat-Verteilung Index

10 Vorwort Was möchte dieses Buch bewirken? Es möchte, dass Sie mathematische Untersuchungen und Anwendungen verstehen dass Sie mit Mathematik umgehen können dass Sie Mathematikprüfungen bestehen dass Ihre Freude an Mathematik zunimmt Dies ist kein Buch für ein Mathematikstudium, das auf mathematische Grundlagenforschung vorbereiten will. Es ist aber auch kein Rechenbuch, in dem lediglich gezeigt wird, wie man etwas ausrechnet. Das Rechnen überlässt man in der Berufspraxis ohnehin meistens Rechnern, d. h. Computern. Worauf kommt es also an? Entscheidend ist das Verständnis mathematischer Untersuchungen. Dazu werden in diesem Buch viele mathematische Problemstellungen untersucht, Zusammenhänge aufgezeigt und damit Lösungen entwickelt. Lösungen und Lösungsmethoden erscheinen als Ergebnis dieser Untersuchungen, und nicht einfach als Sätze, die hingeschrieben und anschließend bewiesen werden. Anhand vieler Beispiele wird dargestellt, wie mathematische Problemstellungen aus der mathematischen Abbildung von Sachverhalten aus verschiedenen (z. B. technischen) Bereichen hervorgehen. Auch das Verständnis dieser Modellierungen bzw. Anwendungen ist wichtig. Damit man Untersuchungen nicht nur versteht, sondern auch selbst durchführen und mit Mathematik umgehen kann, muss man üben. Deshalb gibt es in diesem Buch eine Vielzahl von Aufgaben mit Lösungen teilweise handelt es sich um Prüfungsaufgaben zum Üben. Nicht zuletzt, um damit Mathematikprüfungen zu bestehen. Wenn man Mathematik versteht und mit Mathematik umgehen kann, dann besteht man auch die Prüfungen. Außerdem wächst dadurch in der Regel die Freude an der Mathematik. Das jedenfalls wünsche ich Ihnen! Dem Verlag, insbesondere Dr. Andreas Rüdinger und Bettina Saglio, danke ich für die hervorragende Zusammenarbeit. Allen, die aufgrund der Arbeit an diesem Buch manchmal auf mich verzichten mussten, danke ich herzlich für ihre Geduld, vor allem meiner Familie. Weiden, März 2014 Christopher Dietmaier