examen.press ist eine Reihe, die Theorie und Praxis aus allen Bereichen der Informatik für die Hochschulausbildung vermittelt.

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1 examen.press

2 examen.press ist eine Reihe, die Theorie und Praxis aus allen Bereichen der Informatik für die Hochschulausbildung vermittelt.

3 Gerald Teschl Susanne Teschl Mathematik für Informatiker Band 2: Analysis und Statistik 3., überarbeitete Auflage Mit 102 Abbildungen

4 Gerald Teschl Universität Wien Fakultät für Mathematik Oskar-Morgenstern-Platz Wien, Österreich Gerald.Teschl@univie.ac.at Susanne Teschl Fachhochschule Technikum Wien Höchstädtplatz Wien, Österreich Susanne.Teschl@technikum-wien.at ISSN ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006, 2007, 2014 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

5 Vorwort Band 2 Der vorliegende zweite Band schließt nahtlos an den ersten an und bildet mit diesem eine Einheit. Aufgrund der Stoffauswahl ergibt sich zwar eine weitgehende Unabhängigkeit, aber bestimmte Grundbegriffe aus Band 1 werden natürlich vorausgesetzt. Wir werden Sie aber immer wieder an diese erinnern bzw. auf die entsprechenden Abschnitte in Band 1 verweisen. Insbesondere möchten wir das gleich an dieser Stelle tun, indem wir auf das dortige Vorwort verweisen. Computereinsatz Wieder haben wir Beispiele, bei denen uns der Computereinsatz sinnvoll erscheint, mit CAS gekennzeichnet und im zugehörigen Abschnitt Mit dem digitalen Rechenmeister mit Mathematica gelöst. Die Notebooks dazu sind wie gewohnt auf der Website zum Buch (URL siehe unten) zu finden. Dort finden Sie auch die Einführung in Mathematica aus Band 1. Eine Bitte... Auch in Band 2 haben wir fleißig Unkraut gejätet, es sind aber trotz aller Bemühungen sicher noch ein paar unentdeckte Fehler darin. Wir freuen uns daher, wenn Sie uns diese mitteilen. Auch Ihr Feedback und Verbesserungsvorschläge sind herzlich willkommen. Die Liste der Korrekturen sowie Ergänzungen finden Sie im Internet unter: Danksagungen gerald/ftp/book-mfi/ Unsere Studentinnen und Studenten haben uns auch für diesen Band mit Hinweisen auf Druckfehler und mit Verbesserungsvorschlägen versorgt. Hervorheben möchten wir dabei wieder Markus Horehled, Rudolf Kunschek, Alexander-Philipp Lintenhofer, Christian Scholz, Markus Steindl und Gerhard Sztasek, die sich durch besonders lange Listen ausgezeichnet haben. Unsere Kollegen Harald Englisch, Oliver

6 VI Vorwort Fasching, Markus Fulmek, Emil Simeonov, Harald Stockinger und Karl Unterkofler haben wieder zahlreiche Abschnitte kritisch gelesen und uns mit wertvollem Feedback unterstützt. Unschätzbar war insbesondere die Hilfe von Johanna Michor und Wolfgang Timischl. Ihnen allen möchten wir herzlich danken! Die Open-Source-Projekte (vor allem TEX, L A TEX, TEXShop und Vim), mit welchen diese Seiten erstellt wurden, sollen nicht unerwähnt bleiben. Wir danken dem Springer-Verlag für die gute Zusammenarbeit, die sich auch bei diesem Band bewährt hat. Zur zweiten Auflage An dieser Stelle möchten wir uns für die zahlreichen Rückmeldungen zur ersten Auflage bedanken. Große Änderungen hat es nicht gegeben. Dafür aber eine Reihe kleinerer Detailverbesserungen auf Anregungen unserer Leserinnen und Leser. Zur dritten Auflage Seit der letzten Auflage haben wir wieder viele positive Rückmeldungen und wertvolle Hinweise bekommen. Wir danken dafür sehr herzlich, insbesondere für die detaillierten Anregungen von Harald Englisch, Ulrich Kastlunger, Jan Sellner, Emil Simeonov, Harald Stockinger, Wolfgang Timischl und Karl Unterkofler. Wir haben uns bemüht alle Vorschläge in die neue Auflage einzuarbeiten und Druckfehler bzw. Ungereimtheiten auszubessern. Außerdem sind nun alle Mathematica-Teile kompatibel mit der aktuellen Version 9. Wir freuen uns weiterhin über Feedback! Wien, im Dezember 2013 Gerald und Susanne Teschl

7 Inhaltsverzeichnis Analysis 18 Elementare Funktionen Polynome und rationale Funktionen Anwendung: Interpolation Anwendung: Verteilte Geheimnisse Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Polardarstellung komplexer Zahlen Anwendung: Komplexe Darstellung von Schwingungen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Differentialrechnung I Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion Die Ableitung einer Funktion Anwendung: Ableitungen in der Wirtschaftsmathematik Berechnung von Ableitungen Anwendung: Splines Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Differentialrechnung II Taylorreihen Monotonie, Krümmung und Extremwerte Anwendung: Preispolitik eines Monopolisten Iterationsverfahren Ausblick: Kontraktionsprinzip Anwendung: Marktgleichgewicht im Oligopol Anwendung: Dioden-Logik Mit dem digitalen Rechenmeister

8 VIII Inhaltsverzeichnis 20.5 Kontrollfragen Übungen Integralrechnung Die Stammfunktion Bestimmte Integration Ausblick: Numerische Integration Uneigentliches Integral Ausblick: Bogenlänge Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Fourierreihen Fourierreihen Anwendung: JPEG und MP Ausblick: Fourierreihen als Orthogonalentwicklung Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Differentialrechnung in mehreren Variablen Grenzwert und Stetigkeit Ableitung Ausblick: Differenzierbarkeit Extrema Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Differentialgleichungen Grundlagen Anwendung: Parabolspiegel Lineare Differentialgleichungen Ausblick: Systeme von Differentialgleichungen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Statistik 25 Beschreibende Statistik und Zusammenhangsanalysen Grundbegriffe Häufigkeitsverteilung einer Stichprobe Anwendung: Benford sches Gesetz Anwendung: Simpson-Paradoxon Kennwerte einer Stichprobe

9 Inhaltsverzeichnis IX Ausblick: Lorenz-Kurve und Gini-Koeffizient Lineare Korrelation Lineare Regression Ausblick: Multivariate lineare Regression Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsexperimente und Ereignisse Wahrscheinlichkeit Anwendung: Geburtstagsparadoxon und Kollisionen bei Hashfunktionen Bedingte Wahrscheinlichkeit Anwendung: Bayes scher SPAM-Filter Anwendung: Optimale Stoppstrategie Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Zufallsvariablen Diskrete und stetige Zufallsvariablen Erwartungswert und Varianz einer Verteilung Anwendung: Moderne Portfoliotheorie Das Gesetz der großen Zahlen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Spezielle diskrete Verteilungen Die hypergeometrische Verteilung Die Binomialverteilung Anwendung: Moderne Finanzmathematik Die Poisson-Verteilung Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Spezielle stetige Verteilungen Die Normalverteilung Anwendung: Value at Risk Die Normalverteilung als Näherung Drei wichtige Prüfverteilungen Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen

10 X Inhaltsverzeichnis 30 Schließende Statistik Einführung Punktschätzungen Intervallschätzungen Hypothesentests Mit dem digitalen Rechenmeister Kontrollfragen Übungen Anhang A Tabellen A.1 Differentiation und Integration A.2 Standardnormalverteilung A.3 Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung A.4 Quantile der t-verteilung A.5 Quantile der F -Verteilung B Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben B.18 Elementare Funktionen B.19 Differentialrechnung I B.20 Differentialrechnung II B.21 Integralrechnung B.22 Fourierreihen B.23 Differentialrechnung in mehreren Variablen B.24 Differentialgleichungen B.25 Beschreibende Statistik und Zusammenhangsanalysen B.26 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung B.27 Zufallsvariablen B.28 Spezielle diskrete Verteilungen B.29 Spezielle stetige Verteilungen B.30 Schließende Statistik Literatur Verzeichnis der Symbole Index