examen.press ist eine Reihe, die Theorie und Praxis aus allen Bereichen der Informatik für die Hochschulausbildung vermittelt.

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1 examen.press

2 examen.press ist eine Reihe, die Theorie und Praxis aus allen Bereichen der Informatik für die Hochschulausbildung vermittelt.

3 Gerald Teschl Susanne Teschl Mathematik für Informatiker Band 2: Analysis und Statistik 2. Auflage Mit 102 Abbildungen 123

4 Gerald Teschl Universität Wien Fakultät für Mathematik Nordbergstraße Wien, Österreich gerald/ Susanne Teschl Fachhochschule Technikum Wien Höchstädtplatz Wien, Österreich susanne.teschl@technikum-wien.at susanne/ Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. ISSN ISBN Springer Berlin Heidelberg New York Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, des Vortrags, der Entnahme von Abbildungen und Tabellen, der Funksendung, der Mikroverfilmung oder der Vervielfältigung auf anderen Wegen und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Eine Vervielfältigung dieses Werkes oder von Teilen dieses Werkes ist auch im Einzelfall nur in den Grenzen der gesetzlichen Bestimmungen des Urheberrechtsgesetzes der Bundesrepublik Deutschland vom 9. September 1965 in der jeweils geltenden Fassung zulässig. Sie ist grundsätzlich vergütungspflichtig. Zuwiderhandlungen unterliegen den Strafbestimmungen des Urheberrechtsgesetzes. Springer ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media springer.de Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007 Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Text und Abbildungen wurden mit größter Sorgfalt erarbeitet. Verlag und Autor können jedoch für eventuell verbliebene fehlerhafte Angaben und deren Folgen weder eine juristische Verantwortung noch irgendeine Haftung übernehmen. Satz: Druckfertige L A TEX-Daten der Autoren Herstellung: LE-TEX, Jelonek, Schmidt & Vöckler GbR, Leipzig Umschlaggestaltung: KünkelLopka Werbeagentur, Heidelberg Gedruckt auf säurefreiem Papier 175/3180YL

5 Für Simon

6 Vorwort Band 2 Der vorliegende zweite Band schließt nahtlos an den ersten an und bildet mit diesem eine Einheit. Aufgrund der Stoffauswahl ergibt sich zwar eine weitgehende Unabhängigkeit, aber bestimmte Grundbegriffe aus Band 1 werden natürlich vorausgesetzt. Wir werden Sie aber immer wieder an diese erinnern bzw. auf die entsprechenden Abschnitte in Band 1 verweisen. Insbesondere möchten wir das gleich an dieser Stelle tun, indem wir auf das dortige Vorwort verweisen. Computereinsatz Auch in diesem Band haben wir Beispiele, bei denen uns der Computereinsatz sinnvoll erscheint, mit CAS gekennzeichnet und im zugehörigen Abschnitt Mit dem digitalen Rechenmeister mit Mathematica gelöst. Die Notebooks dazu sind wie gewohnt auf der Website zum Buch (URL siehe unten) zu finden. Dort finden Sie auch die Einführung in Mathematica aus Band 1. Eine Bitte... Auch in Band 2 haben wir fleißig Unkraut gejätet, es sind aber trotz aller Bemühungen sicher noch ein paar unentdeckte Fehler darin. Wir freuen uns daher, wenn Sie uns diese mitteilen. Auch Ihr Feedback und Verbesserungsvorschläge sind herzlich willkommen. Die Liste der Korrekturen sowie Ergänzungen finden Sie im Internet unter: gerald/ftp/book-mfi/ Zur zweiten Auflage An dieser Stelle möchten wir uns zunächst für die zahlreichen Rückmeldungen zur ersten Auflage bedanken. Große Änderungen hat es nicht gegeben. Dafür aber eine Reihe kleinerer Detailverbesserungen auf Anregungen unserer Leserinnen und Leser.

7 VIII Vorwort Danksagungen Unsere Studentinnen und Studenten haben uns auch für diesen Band mit Hinweisen auf Druckfehler und mit Verbesserungsvorschlägen versorgt. Hervorheben möchten wir dabei wieder Markus Horehled, Rudolf Kunschek, Alexander-Philipp Lintenhofer, Christian Scholz, Markus Steindl und Gerhard Sztasek, die sich durch besonders lange Listen ausgezeichnet haben. Unsere Kollegen Oliver Fasching, Markus Fulmek, Florian Wisser und Karl Unterkofler haben wieder zahlreiche Abschnitte kritisch gelesen und uns mit wertvollem Feedback unterstützt. Unschätzbar war insbesondere die Hilfe von Johanna Michor und Wolfgang Timischl. Ihnen allen möchten wir herzlich danken! Die Open-Source-Projekte (vor allem TEX, L A TEX, TEXShop und Vim), mit welchen diese Seiten erstellt wurden, sollen nicht unerwähnt bleiben. Wir danken dem Springer-Verlag für die gute Zusammenarbeit, die sich auch bei diesem Band bewährt hat. Viel Freude und Erfolg mit diesem Buch! Wien, im Mai 2007 Gerald und Susanne Teschl

8 Inhaltsverzeichnis Analysis 18 Elementare Funktionen PolynomeundrationaleFunktionen Anwendung:Interpolation Anwendung:VerteilteGeheimnisse Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen TrigonometrischeFunktionen PolardarstellungkomplexerZahlen MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Differentialrechnung I GrenzwertundStetigkeiteinerFunktion DieAbleitungeinerFunktion Anwendung:AbleitungeninderWirtschaftsmathematik BerechnungvonAbleitungen Anwendung:Splines MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Differentialrechnung II Taylorreihen Monotonie, Krümmung undextremwerte Anwendung:PreispolitikeinesMonopolisten Iterationsverfahren Ausblick:Kontraktionsprinzip Anwendung:MarktgleichgewichtimOligopol Anwendung: Dioden-Logik MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen

9 X Inhaltsverzeichnis 20.6 Übungen Integralrechnung DieStammfunktion BestimmteIntegration UneigentlichesIntegral Ausblick: Bogenlänge MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Fourierreihen Fourierreihen Anwendung:JPEGundMP Ausblick: Fourierreihen als Orthogonalentwicklung MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Differentialrechnung in mehreren Variablen GrenzwertundStetigkeit Ableitung Ausblick:Differenzierbarkeit Extrema MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Differentialgleichungen Grundlagen Anwendung:Parabolspiegel LineareDifferentialgleichungen Ausblick:SystemevonDifferentialgleichungen MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Statistik 25 Beschreibende Statistik und Zusammenhangsanalysen Grundbegriffe HäufigkeitsverteilungeinerStichprobe Anwendung:Benford schesgesetz KennwerteeinerStichprobe LineareKorrelation LineareRegression Ausblick:MultivariatelineareRegression

10 Inhaltsverzeichnis XI 25.6 MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung ZufallsexperimenteundEreignisse Wahrscheinlichkeit Anwendung:Geburtstagsparadoxon BedingteWahrscheinlichkeit Anwendung:Bayes scherspam-filter Anwendung:OptimaleStoppstrategie MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Zufallsvariablen DiskreteundstetigeZufallsvariablen ErwartungswertundVarianzeinerVerteilung Anwendung:ModernePortfoliotheorie DasGesetzdergroßenZahlen MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Spezielle diskrete Verteilungen DiehypergeometrischeVerteilung DieBinomialverteilung Anwendung:ModerneFinanzmathematik DiePoisson-Verteilung MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Spezielle stetige Verteilungen DieNormalverteilung Anwendung:ValueatRisk Die Normalverteilung als Näherung Drei wichtige Prüfverteilungen MitdemdigitalenRechenmeister Kontrollfragen Übungen Schließende Statistik Einführung Punktschätzungen Intervallschätzungen Hypothesentests MitdemdigitalenRechenmeister

11 XII Inhaltsverzeichnis 30.6 Kontrollfragen Übungen Anhang A Tabellen A.1 DifferentiationundIntegration A.2 Standardnormalverteilung A.3 QuantilederChi-Quadrat-Verteilung A.4 Quantile der t-verteilung A.5 Quantile der F -Verteilung B Lösungen zu den weiterführenden Aufgaben B.18ElementareFunktionen B.19DifferentialrechnungI B.20DifferentialrechnungII B.21Integralrechnung B.22Fourierreihen B.23DifferentialrechnunginmehrerenVariablen B.24Differentialgleichungen B.25BeschreibendeStatistikundZusammenhangsanalysen B.26ElementareWahrscheinlichkeitsrechnung B.27Zufallsvariablen B.28SpeziellediskreteVerteilungen B.29SpeziellestetigeVerteilungen B.30SchließendeStatistik Literatur Verzeichnis der Symbole Index