Operations Research / Graphentheorie Inf. 1.1/ 1.2

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1 Operations Research / Graphentheorie Inf. 1.1/ 1.2 Inhaltsangabe Simplex-Algorithmus Simplex-Verfahren (Maximierung)...2 Gleichungen als Restriktionen...4 Minimierung der Zielfunktion...4 Graphische Lösung der linearen Optimierung...7 Ganzzahlige lineare Optimierung...9 Binäre Optimierung Heuristische Verfahren...16 Spieltheorie...18 Transportprobleme Nordweststreckeregel...20 Zeilenfolgeverfahren...22 Spaltenfolgeverfahren...23 Matrixminimumverfahren...25 Zeilen-Spalten-Sukzession...25 Vogel sche Approximations Methode (VAM)...28 Erweiterung des Grundmodells...32 Umladeproblem...32 Bestimmung von Minimalgerüsten Graphen Verfahren von Kruskal...38 Digraphen Fulkerson...39 Bestimmung optimaler Wege Matrixalgorithmen Verfahren von Floyd : Triplealgorithmus...41 Baumalgorithmen :Dijkstra-Algorithmus...42 Nicholsen-Verfahren...43 Flüsse in Digraphen Maximaler Fluß...44 Kostenminmaler Maximalfluß...46 Rundreiseprobleme Traveling Salesman Problem Heuristische Verfahren Bester Nachfolger... Sukzessives Einbinden von Knoten... Kombiniertes Verfahren... Lösung von Branch und Bound... Tourenplanung

2 Simplex Verfahren Autor : Tobias Hilvert MAXIMIERUNG Simplex Verfahren z.b. Gewinn-Maximierung Beispiel: Radioproduktion (siehe Skript Seite 8 (1.Semester)) G= 20x 1 +30x 2 max x 1 + Y A = 7 x 2 + Y B = 5 x 1 + 2x + Y C = 12 Umformung der Zielfunktion: G - 20x 1-30x 2 = 0 Pivotschritte: Festlegung der Pivotspalte: Nehme dem kleinsten negativen Koeffizienten (In diesem Fall = PIVOTSPALTE) Festlegung der Pivotzeile: Teile die RS durch die PIVOTSPALTE (x 2 ) und nehme das kleinsten nicht negative Element als PIVOTELEMENT (In der Zeile wo sich das PIVOTELEMENT befindet, ist die PIVOTZEILE) 1 x 1 x 2 RS a i G max Y A Y B 0 1 (PE) 5 - Y C a j 0 (0 / PE) - 5 (5 / PE) a i = PIVOTSPALTE (alt) a j = PIVOTZEILE (neu) - Bei dem nächsten Tableau wird x 2 und Y B noch ausgetauscht! - Das Pivotelement wird umgewandelt in den Reziprokwert Bsp.: Ist das Pivotelement = 2, so ist der Reziprokwert = 1 / 2 (2 =2 / 1 = 1 / 2 (Reziprokwert) - Die restlichen Elemente der Pivotzeile werden durch das Pivotelement (PE) geteilt. (0 / 1= 0) - Die restlichen Elemente der Pivotspalte werden durch den negativen Wert des Pivotelements (-PE) geteilt. (-30 / -1= 30) (2 / -1= -2) - Die restlichen Elemente: Das fehlende Element aus Tableau 1 - (a i *a j ) x 1 = -20 -(-30 * 0) = (0 * 0) = 1 1 -(2 * 0) = 1 RS= 0 -(-30 * 5) = (0 * 5) = (2 * 5) = 2 - Das Verfahren ist abzubrechen, wenn alle Werte in der Zielfunktion positiv sind

3 Simplex Verfahren Autor : Tobias Hilvert 2 x 1 Y B RS a i G max (-30 / -PE) 150 Y A 1 0 (0 / -PE) 7 X 2 0 1(1 / Pivotelement) 5 (a j aus Tabelle 1) Y C 1-2 (2 / -PE) 2 a j Das Verfahren beginnt wieder beim Anfang!!!!! Fortsetzung der Lösung: 2 x 1 Y B RS A i G max Y A X Y C a j Y C Y B RS a i G max Y A X X a j - ½ - 2,5 4 Y C Y A RS a i G max Y B - ½ ½ 2,5 X 2 ½ - ½ 2,5 X a j Lösung: G * =215, x * 1=7, x * 2=2,5 Übungsaufgabe : Maximiere G = 100x x 2 x 1 + 3x 2 15 x 1 - x 2 5 x 2 4 2x 1 + 4x 2 24 x 1, x 2 0 LÖSUNG: x * 1 = 22 / 3 x * 2 = 7 / 3 G * = 2900 / 3-3 -

4 Simplex-Verfahren -Gleichung als Restriktion, - Minimierung, - Simplex-Checkliste Autor : Tobias Hilvert Die Restriktion lautet: Daraus folgt: x 1 = x 3 x 2 = x 4 Gleichung als Restriktion x 3 Teile werden für die Produktion von x 1 gebraucht x 4 Teile werden für die Produktion von x 2 gebraucht Einsetzung von Schlupfvariablen: Y A + x 1 - x 3 = 0 Y B + x 2 - x 4 = 0 Der Simplex Algorithmus wird jetzt mit den zusätzlichen Gleichungen durchgeführt. Bedingung: Die Schlupfvariablen müssen im Endtableau in der NBV sein. z.b. Kosten-Minimierung Minimierung der Zielfunktion 1. Die Zielfunktion wird mit (-1) multipliziert 2. PIVOT SPALTE: Der größte positive Koeffizient aus der Zielfunktion. Simplex Checkliste Z: Zielfunktion ( Maximierung: Z = G max und Minimierung Z = G min ) NB: Nebenbedingung zur Zielfunktion RS: rechte Seite einer Gleichung (wird bei der Auswahl der Pivot-Spalte nie berücksichtigt!) NBV: Nichtbasisvariable (Im Schlußtableau ist der Wert 0!!!, da die Ecke auf der x oder y Achse liegt) BV: Basisvariable (Im Schlußtableau ist der Wer der RS abzulesen) rs: Pivot-Element ( Schnittpunkt aus Pivot-Zeile und Pivot-Element)# a si : Pivot-Spalte a rj *: neue Pivot-Zeile Zielfunktion ermitteln Bei Max: Werte der rechten Seite (RS) auf die linke Seite der Gleichung bringen Bei Min: Gleichung mit 1 multiplizieren und dann die Werte der RS auf die linke Seite bringen z.b.: Z = 20x x 2 - Z = -20x 1 30x 2 -Z + 20x x 2 = 0-4 -

5 Simplex-Verfahren - Simplex-Checkliste Autor : Tobias Hilvert Nebenbedingungen ermitteln 1. in verwandeln durch Multiplikation mit 1 2. Schlupfvariablen einsetzen in die umgeformten Ungleichungen, daraus ergibt sich eine Gleichung z.b.: 10 x 1 5x x 1 5x 2-3 Y A - 10 x 1 5x 2 = Existiert als NB eine Gleichung wird auch eine Schlupfvariable eingeführt, eine sogenannte gesperrte Variable, gekennzeichnet mit g (Achtung! Diese Variable muß in die NBV gebracht werden) 4. Variablen deren Definitionsbereich nicht festgelegt sind, werden als Freie Variablen bezeichnet und mit frei oder f gekennzeichnet (Achtung! Diese Variablen müssen spätestens im Schlußtableau in der Basis sein) Tabelle zeichnen : NBV j \ i x 1 x 2... x n RS a si Y A BV Y B... Y M * a rj Vorstufe der Optimierung 1. a) Gesucht? Pivot-Spalte: Es wird eine beliebige Spalte aus der NBV mit einer Freien Variablen gewählt, ist keine (mehr) Vorhanden weiter bei 2.a) sonst weiter bei 1.b) b) Gesucht? Pivot-Zeile: Es wird eine beliebige Zeile mit einer nicht Freien-Variablen in der BV gesucht. Der Wert muß 0 sein. Ist keine derartige Zeile vorhanden, so ist die gewählte Spalte im Ausgangstableau eine Linearkombination von anderen Spalten und die Rechnung ist abzubrechen weiter bei 2. c) die Schritte im Punkt Optimierung ausführen 2. a) Gesucht? Pivot-Zeile: Es wird eine beliebige Gesperrte-Variable aus der BV gewählt; ist keine (mehr) da weiter bei 3. b) Gesucht? Pivot-Spalte: Es wird eine Spalte ohne Gesperrte-Variable aus der NBV gewählt, der Wert muß 0. Gibt es diese Spalte weiter bei der Optimierung. Ist keine derartige Zeile vorhanden, so ist die gewählte Zeile im Ausgangstableau eine Linearkombination von anderen Zeilen und die Rechnung ist abzubrechen weiter bei 2. c) die Schritte im Punkt Optimierung ausführen - 5 -

6 Simplex-Verfahren - Simplex-Checkliste Autor : Tobias Hilvert 3. a) Gesucht? Pivot-Zeile: Es wird eine Zeile gesucht, die keine Freie-Variable enthält und deren RS-Wert < 0 ist. Gibt es keine Zeile (außer denen mit einer Freien-Variablen ) deren RS-Wert < 0 ist, dann weiter bei 4. b) Gesucht? Pivot-Spalte: Es wird eine Spalte gesucht, die keine Gesperrte-Variable als NBV enthält und das entstandene Pivot-Element < 0 ist. Gibt es mit keiner Spalte (außer denen einer Gesperrten-Variablen ) ein negatives Pivot-Element, so existiert keine zulässige Lösung und die Rechnung ist abzubrechen. c) die Schritte im Punkt Optimierung ausführen 4. a) Gesucht? Pivot-Spalte: Man wählt die Spalte deren G max/min Wert am kleinsten, negativ und nicht 0 ist. Gibt es keine dementsprechenden Spalten mit einem solchen Wert, ist das Optimum gefunden! b) Gesucht? Pivot-Zeile: Man sucht die Zeile mit dem kleinsten positiven Teiler der RS und der Pivot-Spalte. Existiert kein positiver Teiler dann gibt es keine begrenzte Lösung und die Rechnung ist abzubrechen. c) die Schritte im Punkt Optimierung ausführen Optimierung 1. Neues Tableau anfertigen (Die Variable der Pivot-Spalte (NBV) wird im neuen Tableau in die Zeile der alten Pivot-Zeile gesetzt und die Variable der Pivot-Zeile in die Pivot-Spalte geschrieben) 2. Umrechnung des Pivot-Elementes Kehrwert des Pivot-Elementes bilden: z.b. 5 = 1/5 und in der neuen Tabelle eintragen 3. Umrechnung der Pivot-Zeile Pivot-Zeile durch das Pivot-Element teilen und in der neuen Tabelle eintragen und in der alten Tabelle unter a rj * 4. Umrechnung der Pivot-Spalte Pivot-Spalte durch das negierte Pivot-Element teilen (-1) (Pivot-Spalte : Pivot- Element) 5. Umrechnung der übrigen Elemente Wert aussuchen; von dem Wert abziehen: den umgerechneten Pivot-Zeilen Wert (in der Spalte des ausgesuchten Wertes hinunter zur Hilfszeile gehen neuer Pivot-Zeilen Wert) multiplizieren mit dem alten Pivot-Spalten Wert (in der Zeile des ausgesuchten Wertes nach links zur Hilfsspalte gehen alter Pivot-Spalten Wert) Wert ( arj* asi) Sind die G max/min Werte (nicht RS) alle positiv ist das Optimum gefunden!!! Auslesen: die Variablen müssen mit einem * versehen werden!!! für BV = RS Wert für NBV = 0 Bei einer Minimierung muß der Z-Wert noch mit 1 multipliziert werden

7 Graphische Lösung, lineare Optimierung Autor : Tobias Hilvert Beispiel Ackerbau Graphische Lösung bei der linearen Optimierung Kartoffeln (x 1 ) Getreide (x 2 ) gesamt Anbaukosten pro ha 10 DM 20 DM 1100 DM Arbeitstage pro ha Fläche in ha 100 Reingewinn GE pro ha 40 DM 120 DM Zielfunktion: Nebenbedingungen: Die ZF ergibt sich in diesem Fall aus der letzten Zeile der Tabelle. Der Reingewinn soll laut Aufgabenstellung maximiert werden, d. h. G = 40 x x 2 max 1) Eine Hektar Kartoffeln verursacht 10 DM an Kosten. Bei einem Hektar Kartoffeln sind es sogar 20 DM. Insgesamt sollen nicht mehr als 1100 DM an Kosten anfallen, d. h. 10 x x ) Um einen Hektar Kartoffeln zu bearbeiten, benötigt man einen Tag, für einen Hektar Getreide werden 4 Tage benötigt. Es stehen höchsten 160 Tage zur Verfügung. x x ) Es stehen höchstens einhundert Hektar zur Bearbeitung zur Verfügung, wobei ein Hektar Kartoffeln logischer Weise auch einen Hektar Land einnimmt: x 1 + x ) Die letzte Nebenbedingung besagt, dass der Lösungsraum im positiven Quartal des Koordinatensystems liegt: x 1 0 x 2 0 Im nächsten Schritt geht man bei und legt das 1. Quartal eines Koordinatenkreuzes an. Dann kann man beginnen die Nebenbedingungen einzuzeichnen. Um eine Gerade in ein Koordinatensystem zu zeichnen, benötigt man zwei Punkte. In der Nebenbedingung 1 setzen wir abwechselnd x 1 und x 2 auf null. 10* x x 2 55 und 10 x * x Somit haben wir unsere zwei gesuchten Punkte, nämlich 110 auf der x 1 - und 55 auf der x 2 - Achse. Diese beiden Punkte werden nun verbunden. Bei den anderen Nebenbedingungen geht man analog vor. Die letzte Nebenbedingung wird nicht eingezeichnet, da sie nur aus formalen Gründen genannt wurde. Gibt es in einer anderen Aufgabe eine Nebenbedingung der Art x 1 7 und x 2 5 (Radiobeispiel aus unserem Skript), dann wird im Falle x 1 eine Linie parallel zur x 2 -Achse durch den Punkt 7 gezogen. Im Falle x 2 zieht man eine Linie parallel zur x 1 -Achse durch den Punkt

8 Graphische Lösung, lineare Optimierung Autor : Tobias Hilvert In unserem Ackerbaubeispiel sieht die Graphik so aus: 100 x 1 + x x x x x Der grau gefärbte Teil der Graphik ist unser Lösungsraum. An den Eckpunkten des Lösungsraumes liegt unsere Lösung. Die Frage ist nur, an welchem? Um die Lösung zu erkennen, benutzen wir die Gerade der Zielfunktion. Bei der Zielfunktion können wir nicht einfach die Punkte so errechnen wie bei den Nebenbedingungen, weil die Zielfunktion variabel ist. Wir setzen die Zielfunktion am Ursprung an. Die Steigung ergibt sich aus den Koeffizienten der Zielfunktion. In unserem Fall heißt das: 40 / 120. Man zeichnet eine Hilfslinie vom Ursprung aus 40 Einheiten nach unten und unten an diese Hilfslinie eine weiter 120 Einheiten nach rechts. Jetzt haben wir unser Steigungsdreieck und können durch die beiden Endpunkte (Ursprung und Ende der waagerechten Linie) unsere Zielfunktion zeichnen. Die Zielfunktion verschieben wir jetzt durch Parallelverschiebung nach oben. Der Eckpunkt, den die Zielfunktion schneidet ohne durch den Lösungsraum zu gehen, ist unser Maximum. OPTIMUM - 8 -

9 Ganzzahlige lineare Optimierung, Autor : Stefan Brandt Ganzzahlige Lineare Optimierung Ausarbeitung zur Klausur im Sommersemester 00 Die Gliederung dieses Themas ergibt sich aus dem Skript (Skript 1.Teil, Seiten 17 bis 23). Das wesentliche bei diesen Problemen ist die Forderung nach der Ganzzahligkeit. Diese wird bei den Nebenbedingungen immer mit x,y,z ganzzahlig ausgedrückt. Als Praxisprobleme werden Investitionsproblem, Personalplanung und Maschineneinsatz genannt. Das erste und das zweite Verfahren kommen lt. Hr. Boll nicht dran, also zum dritten Verfahren, der Heuristik. (Skript 1.Teil, Seite 22 bis 23, oder Buch Müller-Merbach: Operations Research, 3.Auflage, Seiten 391 bis 395). Hier werden die einzelnen Variablen schrittweise erhöht (meistens um 1), dann geschaut, wie die Zielfunktion sich geändert hat, dann wieder erhöhen, usw. bis man ein Restriktion verletzt hat. Als Hilfsmittel dient wieder ein Tableau. Das ganze erkläre ich anhand von einer Beispielaufgabe aus dem Skript: Der Einfachheit halber setze ich nicht x 1 und x 2 ein, sondern X und Y und Z Zielfunktion G= 2X +5Y max Nebenbedingungen 2X -Y 9 2X +8Y 31 X Y ganzzahlig und 0! Bis hier alles klar, wie sonst auch. Jetzt das Hilfsmittel : Das Tableau: X Y 0-ter Schritt G Nebenbed Nebenbed Wert X 0 Y 0 G X Y bzw. einfach nur die rechte Seite der Gleichungen Auch bis hierhin alles klar, nur eine Form der Tableau Schreibweise. Jetzt fängt man an, in der Zeile der G zu ermitteln, wie hoch man X oder Y erhöhen kann, ohne die Nebenbedingungen zu verletzen und wie sich aus dieser Erhöhung der Gewinn verändert. Untersuchung von X : Laut Nebenbed. 1 kann man X um 4 erhöhen, um noch 9 zu sein ( 9 / 2 = 4 Rest 1 wobei die 2 der Koeffizient aus der Nebenbedingung ist). Laut Nebenbed. 2 kann man X um 15 erhöhen, um noch 31 zu sein. Hier ist die Nebenbed.1 also restriktiver, man kann nur max um 4 erhöhen. Wenn wir X um 4 erhöhen, erhöht sich die Zielfunktion um 8 (2*4 = 8 wobei die 2 der Koeffizient für X aus der Zielfunktion ist) Untersuchung von Y: Laut Nebenbed. 1 können wir Y ins grenzenlose erhöhen, weil der Koeffizient hier negativ ist. Laut Nebenbed. 2 können wir Y um 3 erhöhen, um noch 31 zu sein (31 / 8 =3 Rest 7 - wobei 8 der Koeffizient für Y aus Nebenbed. 2 ist). Hier ist Nebenbed. 2 restriktiver und wir können Y um max 3 erhöhen. Wenn wir Y um 3 erhöhen, erhöht sich die Zielfunktion um 15. (3*5=15 -- wobei 5 der Koeffizient für Y aus der Zielfunktion ist). Die auf diese Weise ermittelten Werte tragen wir ins Tableau ein: - 9 -

10 Ganzzahlige lineare Optimierung, Autor : Stefan Brandt X Y 0-ter Schritt 1-ter Schritt G Nebenbed Nebenbed Wert X 0 Y 0 G X 8 Y 15 Weil wir schnell zum Optimum wollen, erhöhen wir Y um 1, da sich in dieser Situation durch die Erhöhung von Y die Zielfunktion am stärksten erhöht. Jetzt müssen nur noch die rechten Seiten bzw. die Ergebnisse der Gleichungen angepasst werden. Wenn wir Y um 1 erhöhen: - erhöht sich die Zielfunktion um 5 (5*1=5), also auf 5 - erhöht sich die Nebenbed. 1 um 1 (erhöhen, weil Koeffizient für Y in Nebenbed. 1 negativ und um 1 da Koeffizient gleich 1) also auf verringert sich Nebenbed. 2 um 8 (1*8=8) also auf 23. Auch dies wird ins Tableau eingetragen: X Y 0-ter Schritt 1-ter Schritt G Nebenbed Nebenbed Wert X 0 0 Y 0 1 G X 8 Y 15 Jetzt das gleiche Spiel, wie im ersten Schritt. Wir wägen wieder ab, wie sich die Zielfunktion verändern würde, wenn wir X oder Y um das zulässige Maximum erhöhen. Zuerst wieder zu X: Nebenbed. 1: X kann um max 5 erhöht werden, damit wir 10 bleiben Nebenbed. 2: X kann um max 11 erhöht werden, damit wir 23 bleiben. Nebenbed. 1 restriktiver, max Erhöhung von X um 5, dann erhöht sich die Zielfunktion um 10. Dann zu Y: Nebenbed. 1: Y kann grenzenlos erhöht werden, da Koeffizient für Y in Nebenbed. 1 negativ. Nebenbed. 2: Y kann um max 2 erhöht werden, damit wir 23 bleiben. Nebenbed. 2 restriktiver, max Erhöhung von Y um 2, dann erhöht sich die Zielfunktion um 10. Wieder ins Tableau: X Y 0-ter Schritt 1-ter Schritt G Nebenbed Nebenbed Wert X 0 0 Y 0 1 G X 8 10 Y

11 Ganzzahlige lineare Optimierung, Autor : Stefan Brandt Daraus ergibt sich, dass es jetzt scheißegal ist, ob wir X oder Y um 1 erhöhen, da die Gewichtung in der Zielfunktion bei beiden gleich 10 ist. Um nah am Skript zu bleiben, erhöhen wir Y. Wieder das angleichen der Rechten Seiten der Gleichungen: Erhöhen wir Y um 1: - erhöht sich die Zielfunktion um 5, auf 10 - erhöht sich die Nebenbed. 1 um 1, auf 11 - verringert sich die Nebenbed. 2 um 8, auf 15 X Y 0-ter Schritt 1-ter Schritt 2-ter Schritt G Nebenbed Nebenbed Wert X Y G X 8 10 Y So läuft das jetzt weiter. Abschätzen der Veränderung der Zielfunktion bei max zulässiger Erhöhung von X oder Y X: Nebenbed.1: Max 5 Nebenbed.2: Max 7 1 restriktiver, max Erhöhung von X um 5, dann erhöht sich die Zielfunktion um 10. Y: Nebenbed. 1: Max grenzenlos Nebenbed. 2: Max 1 2 restriktiver, max Erhöhung von Y um 1, dann erhöht sich die Zielfunktion um 5. X Y 0-ter Schritt 1-ter Schritt 2-ter Schritt G Nebenbed Nebenbed Wert X Y G X Y Also erhöhen wir diesmal X um 1. Dann ändern sich die rechten Seiten: - erhöht sich die Zielfunktion um 2 auf 12 - verringert sich die Nebenbed.1 um 2 auf 9 - verringert sich die Nebenbed. 2 um 2 auf 13. X Y 0-ter Schritt 1-ter Schritt 2-ter Schritt 3-ter Schritt G Nebenbed Nebenbed Wert X Y G X Y

12 Ganzzahlige lineare Optimierung, Autor : Stefan Brandt Abschätzen der Veränderung der Zielfunktion bei max zulässiger Erhöhung von X oder Y X: Nebenbed.1: Max 4 Nebenbed.2: Max 6 1 restriktiver, max Erhöhung von X um 4, dann erhöht sich die Zielfunktion um 8. Y: Nebenbed. 1: Max grenzenlos Nebenbed. 2: Max 1 2 restriktiver, max Erhöhung von Y um 1, dann erhöht sich die Zielfunktion um 5. X Y 0-ter Schritt 1-ter Schritt 2-ter Schritt 3-ter Schritt G Nebenbed Nebenbed Wert X Y G X Y Wir erhöhen X um 1, da Gewichtung in Zielfunktion höher. Dann ändern sich die Rechten Seiten : - die Zielfunktion erhöht sich um 2 auf 14 - Nebenbed. 1 verringert sich um 2 auf 7 - Nebenbed.2 verringert sich um 2 auf 11 X Y 0-ter Schritt 1-ter Schritt 2-ter Schritt 3-ter Schritt 4-ter Schritt G Nebenbed Nebenbed Wert X Y G X Y Abschätzen der Veränderung der Zielfunktion bei max zulässiger Erhöhung von X oder Y X: Nebenbed.1: Max 3 Nebenbed.2: Max 5 1 restriktiver, max Erhöhung von X um 3, dann erhöht sich die Zielfunktion um 6. Y: Nebenbed. 1: Max grenzenlos Nebenbed. 2: Max 1 2 restriktiver, max Erhöhung von Y um 1, dann erhöht sich die Zielfunktion um 5. X Y 0-ter Schritt 1-ter Schritt 2-ter Schritt 3-ter Schritt 4-ter Schritt G Nebenbed Nebenbed Wert X Y G X Y

13 Ganzzahlige lineare Optimierung, Autor : Stefan Brandt Wir erhöhen X um 1, da Gewichtung in Zielfunktion höher. Dann ändern sich die Rechten Seiten : - die Zielfunktion erhöht sich um 2 auf 16 - Nebenbed. 1 verringert sich um 2 auf 5 - Nebenbed.2 verringert sich um 2 auf 9 X Y 0-ter Schritt 1-ter Schritt 2-terSchritt 3-ter Schritt 4-ter Schritt 5-ter Schritt G Nebenbed Nebenbed Wert X Y G X Y Abschätzen der Veränderung der Zielfunktion bei max zulässiger Erhöhung von X oder Y X: Nebenbed.1: Max 2 Nebenbed.2: Max 4 1 restriktiver, max Erhöhung von X um 2, dann erhöht sich die Zielfunktion um 4. Y: Nebenbed. 1: Max grenzenlos Nebenbed. 2: Max 1 2 restriktiver, max Erhöhung von Y um 1, dann erhöht sich die Zielfunktion um 5. X Y 0ter Schritt 1ter Schritt 2ter Schritt 3ter Schritt 4ter Schritt 5ter Schritt G Nebenbed Nebenbed Wert X Y G X Y Wir erhöhen Y um 1, da Gewichtung in Zielfunktion höher. Dann ändern sich die Rechten Seiten : - die Zielfunktion erhöht sich um 5 auf 21 - Nebenbed. 1 erhöht sich um 1 auf 6 - Nebenbed.2 verringert sich um 8 auf 1 X Y 0ter Schr. 1ter Schr. 2ter Schr. 3ter Schr. 4ter Schr. 5ter Schr. 6ter Schr. G Nebenbed Nebenbed Wert X Y G X Y

14 Ganzzahlige lineare Optimierung, Autor : Stefan Brandt Abschätzen der Veränderung der Zielfunktion bei max zulässiger Erhöhung von X oder Y X: Nebenbed.1: Max 3 Nebenbed.2: Max 0 2 restriktiver, max Erhöhung von X um 0, dann erhöht sich die Zielfunktion um 0. Y: Nebenbed. 1: Max grenzenlos Nebenbed. 2: Max 0 2 restriktiver, max Erhöhung von Y um 0, dann erhöht sich die Zielfunktion um 0. X Y 0ter Schr. 1ter Schr. 2ter Schr. 3ter Schr. 4ter Schr. 5ter Schr. 6ter Schr. G Nebenbed Nebenbed Wert X Y G X Y Wir sind am Ende. Der Algorithmus bricht ab, wenn G gleich 0. Soll heißen, wenn keine der Variabler mehr erhöht werden kann und damit auch keine Änderung des Zielfunktion mehr eintreten kann. Das so ermittelte Optimum sagt für X=3 und für Y=3, so dass der Zielfunktionswert bei 21 liegt. Dies ist auch die Lösung durch Cutting-Plane und durch Branch and Bound. Als viertes Verfahren gibt es noch die graphische Lösung. Hier werden die einzelnen Gleichungen als Graphen in ein Koordinatensystem eingetragen. Wichtig ist dabei, dass nicht die gesamte Fläche unter den Graphen der Lösungsraum ist, sondern nur die Punkte in der Fläche mit GANZZAHLIGEN Koordinaten!!! Beispiel aus der Klausur vom von Boll: Aufgabe 4 (15 Punkte) Lösen Sie folgendes ganzzahliges Optimierungsproblem graphisch und schraffieren Sie den zulässigen Lösungsraum! Max. Z = x 1 + 2x 2 mit den Nebenbedingungen : 1) 5x 1-4x ) 10x 1 + 6x ) -2x 1 + 5x 2 10 x 1, x 2 0; ganzzahlig Wenn er allerdings vom schraffieren der Flächen spricht, entscheidet selbst was richtig und was nur halb richtig ist

15 Ganzzahlige lineare Optimierung, Autor : Stefan Brandt Und hier die Grafische Lösung, die als einzige Lösung X 1 =5 und X 2 =1 liefert: Und hier noch eine Probeaufgabe mit Lösung: Zielfunktion G= 10X +9Y +8Z MAX Nebenbedingungen 3X +5Y +4Z <=35 7X +8Y +5Z <=52 5X +6Y +5Z <=49 4X +Y +5Z <=44 11X +8Y +7Z <=72 X, Y, Z Ganzzahlig und 0; X Y Z G NB NB NB NB NB Wert X Y Z G X Y Z

16 Binäre Optimierung, Autor : Binäre Optimierung Heuristische Verfahren :Prioritätenregelverfahren an der Beispielaufgabe des Skriptes. ZF G = 5 X 1 +9 X 2 +2 X 3 +7 X 4 +4 X 5 +6X 6 max 1. NB 2 X 1 +7X 2-2 X 3 +4 X 4-1 X 5 +6 X NB 2 X 1 +6 X 2 +2 X 3 +5 X 4 +5 X 5 +0 X NB 3 X 1 +3 X 2-1 X 3 +2 X 4 +0 X 5 +5 X 6 8 Xi = 0 oder 1 Das soll heißen, dass pro Schritt ( usw.) Xi lediglich maximal 0 oder 1 annehmen kann. Daher auch die Bezeichnung Binäre Optimierung! Generell gilt es die Zielfunktion zu maximieren. D.h. in diesem fall aber, die Nebenbedingungen/ Restriktionen (1-3) zu Berücksichtigung und nicht zu verletzen. Insgesamt gibt es drei Lösungsmöglichkeiten: a) Größe des Koeffizienten der ZF b) Summe der Koeffizienten, der ZF und NB`s c) Summe der Koeffizienten, der ZF und bestimmter NB`s Hier das Beispiel entsprechend der Größe des Koeffizienten der Zielfunktion: 1. Ermitteln einer Reihenfolge: Welche Koeffizienten der ZF versprechen die größtmögliche Steigerung?!?! Daraus ergibt sich folgende Reihenfolge: 1. X 2 (-9) 2. X 4 (-7) 3. X 6 (-6) 4. X 1 (-5) 5. X 5 (-4) 6. X 3 (-2) X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X ZF G NB NB NB X X X 6 0 Reihenfolge: X 1 0 X 5 0 X Anhand dieser Reihenfolge überprüfen, ob eine Aufnahme der Variablen Xi möglich ist, ohne gegen eine der Restriktionen zu verstoßen. 3. Wird eine Variable Xi Aufgenommen müssen die ZF und die NB`s Entsprechend verändert werden! Am Beispiel des 1. Schrittes X2 (-9) wird aufgenommen: Die ZF wird um 9 erhöht, die 1. NB wird um 7 gesengt, die 2. NB um 6 gesenkt und die 3. NB um 3 gesengt. 4. Achtung!!! Jede Variable Xi darf maximal ein oder keinmal genutzt werden ( Binäre Optimierung )

17 Binäre Optimierung, Autor : Nun am Beispiel der Summe der Koeffizienten, der ZF und NB`s X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 RS ZF G NB NB NB Summe der Koeffizienten der ZF und NB`s X X X Reihenfolge: X 4 1 X 6 0 X Ermitteln einer Reihenfolge: Addieren der Koeffizienten von Xi (ZF und NB`s). Am Beispiel von X 5 : (-4)+(-1)+(5)+(0) = 0 Daraus ergibt sich folgende Reihenfolge: 1. X 3 (-3) 2. X 5 (0) 3. X 1 (2) 4. X 4 (4) 5. X 6 (5) 6. X 2 (7) 2. Anhand dieser Reihenfolge überprüfen, ob eine Aufnahme der Variablen Xi möglich ist, ohne gegen eine der Restriktionen zu verstoßen. 3. Wird eine Variable Xi Aufgenommen müssen die ZF und die NB`s Entsprechend verändert werden! Am Beispiel des 1. Schrittes X3 wird aufgenommen: Die ZF wird um 2 erhöht, die 1. NB wird um 2 erhöht, die 2. NB um 2 gesenkt und die NB um 1 erhöht. Nun am Beispiel der Summe bestimmter Koeffizienten, der ZF und NB`s in diesem fall (2 & 3) X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 RS ZF G NB NB NB Summe der Koeffiz. ZF und der 2. und 3.NB X X X Reihenfolge: X 4 0 X 1 0 X Ermitteln einer Reihenfolge: Addieren der Koeffizienten von Xi (ZF und der 2. und 3. NB). Am Beispiel von X 6 : (-6)+(6)+(0)+(5) = -1 Daraus ergibt sich folgende Reihenfolge: 1. X 3 (-1) und X 6 (-1) 2. X 1 (0) und X 4 (0) und X 2 (0) 3. X 5 (1) 2. Anhand dieser Reihenfolge überprüfen, ob eine Aufnahme der Variablen Xi möglich ist, ohne gegen eine der Restriktionen zu verstoßen. 3. Wird eine Variable Xi Aufgenommen müssen die ZF und die NB`s Entsprechend verändert werden! Am Beispiel des 3. Schrittes X2 wird aufgenommen: Die ZF wird um 9 erhöht, die 1. NB wird um 7 gesengt, die 2. NB um 6 gesengt und die 3. NB um 3 gesenkt

18 Spieltheorie - Zwei-Spieler Null-Summen-Spiele Zwei-Spieler-Null-Summen-Spiele Autor :Rico Saßen Beim Zwei-Spieler-Null-Summen-Spiel unterscheidet man zwischen: a) Nicht-kooperative Spiele: keine Absprachen zugelassen b) Kooperative Spiele: Absprachen zugelassen Nun folgt die Ausführliche Erklärung der Beispiele aus dem Skript: Operations- Research/Graphentheorie Teil1 Bsp.1: Marktuntersuchung U2 Markt1 Markt2 U1 Markt1 (15,-10) (22,-20) Markt2 (11,-13) (10,-15) Als erstes wird für die Unternehmen U1 der Maximale Minimalgewinn und für U2 der Minimal-Maximalgewinn herausgesucht, wobei für U1 die erste Zahl im Tupel entscheidend ist und für U2 die zweite Zahl(das Minus bedeutet nicht, dass es sich um eine negative Zahl handelt). Dabei kommen als Minimalwerte für U1 heraus: Markt1: 15 Markt2: 10 Der Maximin-Wert für U1 ist also 15, was bedeutet, dass sich U1 für den Markt1 entschließt. Für U2 kommen als Maximalwerte heraus: Markt1: (-)10 Markt2: (-)15 Der Minimax-Wert für U2 ist also (-)15, was bedeutet, dass sich U2 für den Markt2 entschließt. U2 Markt1 Markt2 U1 Markt1 (15,-10) (22,-20) Markt2 (11,-13) (10,-15) Die Auszahlung an die Unternehmen lautet also: (22,-20). Bsp.2: Ist wie Bsp.1 nur mit anderen Zahlen. Bsp.3: Ehekonflikt Der Mann möchte zum Boxkampf (S1,t1); Die Frau möchte ins Ballett (S2,t2) Allerdings möchten beide gemeinsam weggehen, was ein Problem darstellt. Mann: S1 = -1 und S2 = -1 und Frau: t1 = 1 und t2 = 1 Frau t1 t2 Mann S1 (2,-1) (-1,1) S2 (-1,1) (1,-2) (wobei 1 = -1 ist und -1 = 1 für die Frau, da für sie die Zweite Stelle im Tupel zählt) Da zwei Werte als Maximin-Wert für den Mann und auch zwei Minimax-Werte für die Frau vorhanden sind, ist die Aufgabe nicht lösbar

19 Spieltheorie - Zwei-Spieler Null-Summen-Spiele Bsp.4: Gefangenendilemma Autor :Rico Saßen Hierbei geht es um Zwei Gefangene, die ein Verbrechen verübt haben und im verhör sitzen. Beide konnten sich nicht absprechen. Nun gibt es drei Situationen, die eintreffen können: (1) Beide leugnen (S1,t1) (2) Beide gestehen (S2,t2) geringe Strafe: 1 Jahr höhere Strafe: 3 Jahre (3) Einer leugnet, einer gesteht 1. Höchststrafe: 15 Jahre 2. Straffreiheit + + Täter2 t1 t2 Täter1 S1 (-1, 1) (-15, -3) S2 (3, 15) (-3, 3) (Zu beachten, dass bei der Zweiten Zahl im Tupel die Negativen Zahlen eigentlich positiv sind und die positiven negativ) Nun suchen wir für den Täter1 den Maximalen-Minimal-Wert. Minimalwerte: S1: -15 S2: -3 Der Maximale Wert der beiden ist 3, woraufhin sich Täter1 für S2, also gestehen entschließt. Nun suchen wir für den Täter2 den Minimalen-Maximal-Wert. Maximalwerte: t1: 15 t2: 3 Der Minimale Wert der beiden ist 3, woraufhin sich Täter2 für t2, also auch gestehen entschließt. Täter2 t1 t2 Täter1 S1 (-1, 1) (-15, -3) S2 (3, 15) (-3, 3) Die Lösung für die Täter bedeutet also, dass beide gestehen, da beide nicht wissen, ob der andere einen verpfeift

20 Transport Probleme Autor : - Nord-West-Eckenregel Transportprobleme Beispiel: alle Orte gleichberechtigt Ziel: kürzeste Wegstrecke j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 i Benötigte Züge Station Station Station Vorhandene Züge Entfernungen Zielfunktion ZF: D = 5 x x x x x x x x x 33 Nebenbedingungen (aus den benötigten Zügen): (1) x 11 + x 21 + x 31 = 1 (2) x 12 + x 22 + x 32 = 3 (3) x 13 + x 23 + x 33 = 5 Nebenbedingungen (aus den zur Verfügung stehenden Zügen): (1) x 11 + x 12 + x 13 = 2 (2) x 21 + x 22 + x 23 = 3 (3) x 31 + x 32 + x 33 = 4 Lösungsmöglichkeiten: a)simplex b)flußmaximierungsverfahren c)heuristische Verfahren werden im Folgenden vorgestellt 1. Nordwest-Eckenregel: (bietet keine Entfernungsoptimierung) a i = Angebot (vorhandene Züge) b j = Bedarf oder Nachfrage (benötigte Züge) Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 Beginn im Nordwesten (linke obere Ecke = Punkt x 11 ) Ordne dem Punkt x 11 die maximal benötige Menge b j zu. Station 1 1 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 Fülle jedes Feld in der Zeile oder der Spalte, in der x 11 liegt Station 1 1 x 21 x 31 2 und die keine Zuordnung mehr Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 0 x 23 x 33 4 benötigt, mit einer 0 auf

21 Transport Probleme Autor : - Nord-West-Eckenregel Bestimme den nächsten nordwestlichsten Punkt (hier: x 21). Ordne diesem Punkt (hier: x 21 ) wieder die maximal benötige Menge b j zu. Station x 31 2 Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 0 x 23 x 33 4 Fülle jedes Feld in der Zeile oder der Spalte, in der x 21 liegt und die keine Zuordnung mehr benötigt, mit einer 0 auf. Station Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 0 x 23 x 33 4 durchlaufe die Punkte 4 bis 6 solange, bis die Matrix ausgefüllt ist. a) b) Station Station Station x 32 3 Station x 32 3 Station 3 0 x 23 x 33 4 Station x 33 4 c) d) Station Station Station x 33 4 Station Station Station Ist die Matrix vollständig ausgefüllt, müssen Zeilen und Spaltensummen immer die Werte unter bzw. rechts neben der Matrix ergeben. Zum Schluß muss man die Werte von x 11 bis x 33 in die Zielfunktion einsetzen und die Gesamt- Entfernung berechnen: Zielfunktion ZF: D = 5 * * * * * * * * * 4 D =

22 Transport Probleme Autor : - Zeilenfolgeverfahren 2. Zeilenfolgeverfahren: a i = Angebot (vorhandene Züge) b j = Bedarf oder Nachfrage (benötigte Züge) Entfernungsmatrix D: Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Wähle die Position mit der kleinsten Entfernungsmatrix D: Entfernung D aus der ersten Zeile (hier: x 21 ) Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Ordne dieser Position die maximal Entfernungsmatrix D: mögliche Angebotsmenge zu Station 1 x 11 2 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Bleibt von der Angebotsmenge ein Rest, wird dieser dem nächstgünstigsten Feld (dem mit der geringsten Entfernung) in der gleichen Entfernungsmatrix D: Zeile zugeordnet (das ist hier nicht der Fall) Station 1 x 11 2 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Ist die Angebotsmenge aufgebraucht, fülle die restlichen Felder der Zeile mit Nullen auf Station Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x

23 Transport Probleme Autor : - Zeilenfolgeverfahren; - Spaltenfolgeverfahren 5. Wähle jetzt aus der nächsten Zeile die Position mit der kleinsten Entfernung D (hier: x 12 ) Entfernungsmatrix D: Station Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station verfahre für die 2. Zeile weiter wie unter Punkt 2. bis die gleiche Prozedur von 1. bis 4. gilt dann für die restlichen Zeilen der Matrix bis zum Schluss. Beispiel-Ergebnis aus Zeilenfolgeverfahren: Station Ist die Matrix vollständig ausgefüllt, müssen Zeilen und Spaltensummen immer die Werte unter bzw. rechts neben der Matrix ergeben. Station Station Zum Schluß muss man die Werte von x 11 bis x 33 in die Zielfunktion einsetzen und die Gesamt- Entfernung berechnen: Zielfunktion ZF: D = 5 * * * * * * * * * 3 D = Spaltenfolgeverfahren: a i = Angebot (vorhandene Züge) b j = Bedarf oder Nachfrage (benötigte Züge) Entfernungsmatrix D: Station 1 X 11 x 21 x 31 2 Station 2 X 12 x 22 x 32 3 Station 3 X 13 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Wähle die Position mit der kleinsten Entfernung D aus der ersten Spalte (hier: x 13 ) Entfernungsmatrix D: Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station

24 Transport Probleme Autor : Spaltenfolgeverfahren 2. Ordne dieser Position die maximal mögliche Entfernungsmatrix D: Bedarfsmenge zu i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station Station 3 1 x 23 x 33 4 Station Bleibt von der Bedarfsmenge ein Rest, wird dieser dem nächstgünstigsten Feld (dem mit der geringsten Entfernung) in der gleichen Spalte zugeordnet (das ist hier nicht der Fall) Entfernungsmatrix D: Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Ist die Angebotsmenge aufgebraucht, fülle die restlichen Felder der Spalte mit Nullen auf Station 1 0 x 21 x 31 2 Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x Wähle jetzt aus der nächsten Zeile die Position mit der kleinsten Entfernung D (hier: x 21 ) Entfernungsmatrix D: Station 1 0 x 21 x 31 2 Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station verfahre für die 2. Spalte weiter wie unter Punkt 2. bis die gleiche Prozedur von 1. bis 4. gilt dann für die restlichen Spalten der Matrix bis zum Schluss. Beispiel-Ergebnis aus Spaltenfolgeverfahren: Ist die Matrix vollständig ausgefüllt, müssen Station Station Zeilen und Spaltensummen immer die Werte Station unter bzw. rechts neben der Matrix ergeben. Zum Schluß muss man die Werte von x 11 bis x 33 in die Zielfunktion einsetzen und die Gesamt- Entfernung berechnen: Zielfunktion ZF: D = 5 * * * * * * * * * 2 D =

25 Transport Probleme Autor : Spaltenfolgeverfahren 4. Matrixminimumverfahren: a i = Angebot (vorhandene Züge) b j = Bedarf oder Nachfrage (benötigte Züge) Entfernungsmatrix D: Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Wähle aus der gesamten Entfernungsmatrix die Position mit der kleinsten Entfernung D (hier: x 21 = 2) Entfernungsmatrix D: Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Ordne dieser Position die max. mögliche 3. Wähle aus der gesamten Entfernungsmatrix Angebots- oder Bedarfsmenge zu erneut die Position mit der kleinsten Entfernung D (hier: x 13 = 2) Station 1 x 11 2 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 Station 1 x 11 2 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 Entfernungsmatrix D: i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Ordne dieser Position wiederum die maximal mögliche Angebots- oder Bedarfsmenge zu Station 1 x 11 2 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x Wiederhole die Punkte 3. Und 4. Solange, bis die Matrix vollständig ausgefüllt ist

26 Transport Probleme Autor : Matrixminimumverfahren, -Zeilen-Spalten-Suksession Beispiel-Ergebnis aus Matrixminimumverfahren: Station Ist die Matrix vollständig ausgefüllt, müssen Zeilen und Spaltensummen immer die Werte unter bzw. rechts neben der Matrix ergeben. Station Station Zum Schluß muss man die Werte von x 11 bis x 33 in die Zielfunktion einsetzen und die Gesamt- Entfernung berechnen: Zielfunktion ZF: D = 5 * * * * * * * * * 2 D = Zeilen-Spalten-Sukzession: a i = Angebot (vorhandene Züge) b j = Bedarf oder Nachfrage (benötigte Züge) Entfernungsmatrix D: Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Wähle aus der gesamten Entfernungsmatrix die Position mit der kleinsten Entfernung D (hier: x 13 ) Entfernungsmatrix D: Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Ordne dieser Position die maximal mögliche Angebots- oder Bedarfsmenge zu Entfernungsmatrix D: i j j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 a i Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station

27 Transport Probleme Autor : -Zeilen-Spalten-Suksession 3. Ist die Angebots- oder Bedarfsmenge 4. Wähle aus der gleichen Zeile oder aufgebraucht, fülle die restlichen Felder Spalte wie das zuvor gewählte Element der Zeile oder Spalte mit Nullen auf (hier: x 13 ) das nächste Element mit der nächst kleineren Entfernung D(hier:x 23 =5) Station 1 0 x 21 x 31 2 Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x 33 4 Station x 31 2 Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x 33 4 Entfernungsmatrix D: i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Ordne dieser Position wiederum die max. mögliche Angebots- oder Bedarfsmenge zu Entfernungsmatrix D: Station 1 0 x 21 x 31 2 Station 2 0 x 22 x 32 3 Station x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Ist die Angebots- oder Bedarfsmenge aufgebraucht, fülle die restlichen Felder der Zeile oder Spalte mit Nullen auf Station x 31 2 Station x 32 3 Station Wähle aus der gleichen Zeile oder Spalte wie das zuletzt gewählte Element (hier: x 23 = 3) wiederum das nächste Element mit der nächst kleineren Entfernung D (hier: Zeile und Spalte sind bereits voll, deshalb steht kein Element mehr zur Auswahl) Wähle aus der gesamten restlichen Entfernungsmatrix die Position mit der kleinsten Entfernung D (hier: x 32 ) Entfernungsmatrix D: Station x 31 2 Station x 32 3 Station i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station

28 Transport Probleme Autor : -Zeilen-Spalten-Suksession, - Vogel sche Approximationsmethode (VAM) Ordne dieser Position wiederum die max. mögliche Angebots- oder Bedarfsmenge zu Entfernungsmatrix D: Station x 31 2 Station Station i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Wähle aus der gleichen Zeile oder Spalte 11. Ordne dieser Position wiederum die wie das zuletzt gewählte Element (hier: max. mögliche Angebots- oder x 23 = 3) wiederum das nächste Element Bedarfsmenge zu mit der nächst kleineren Entfernung D Station x 31 2 Station Station Station Station Station Ist die Matrix vollständig ausgefüllt, müssen Zeilen und Spaltensummen immer die Werte unter bzw. rechts neben der Matrix ergeben. Zum Schluß muss man die Werte von x 11 bis x 33 in die Zielfunktion einsetzen und die Gesamt- Entfernung berechnen: Zielfunktion ZF: D = 5 * * * * * * * * * 0 D = Vogel sche Approximationsmethode (VAM): a i = Angebot (vorhandene Züge) b j = Bedarf oder Nachfrage (benötigte Züge) Entfernungsmatrix D: Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 x 13 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 Station Station Station Erstelle eine Hilfsmatrix mit den sogenannten Hilfsmatrix: Opportunitätskosten D i und D j. i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D D i i und D j berechnen sich aus der Differenz Station der beiden kleinsten Elemente jeder Zeile Station (D i ) und Spalte (D j ). Station Beispiel: D j

29 Transport Probleme Autor : - Vogel sche Approximationsmethode (VAM) Die Differenz D i in der 1. Zeile aus den Elementen 5, 2 und 9 ist 3, da 5 2 = Suche aus allen Werten von D i und D j in der i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D i Hilfsmatrix den größten Wert heraus (hier Station Auswahl aus vier Werten möglich, daher ist Station einer der vier willkürlich gewählt; 3. Zeile) Station Hilfsmatrix: D j Wähle aus der Zeile oder Spalte mit dem größten D i oder D j (hier: 3. Zeile gewählt) den kleinsten Wert aus (hier: 2) Hilfsmatrix: i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D i Station Station Station D j Ordne ihm in der Ursprungsmatrix den maximal möglichen Wert zu, der abhängig ist von a i oder b j Hilfsmatrix: i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D i Station Station Station D j Ursprungsmatrix: Station 1 x 11 x 21 x 31 2 Station 2 x 12 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x Ist die Angebots- oder Bedarfsmenge aufgebraucht, fülle die restlichen Felder der Zeile oder Spalte in der Ursprungsmatrix mit Nullen auf Ursprungsmatrix: 6. Eliminiere in der Hilfsmatrix die gewählte Zeile oder Spalte (hier: 3. Zeile) Hilfsmatrix: Ursprungsmatrix: Station 1 0 x 21 x 31 2 Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x 33 4 i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D i Station Station Station D j Station 1 0 x 21 x 31 2 Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x Berechne die Differenzen von D i und D j neu Hilfsmatrix: i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D i Station Station Station D j

30 Transport Probleme Autor : - Vogel sche Approximationsmethode (VAM) Ursprungsmatrix: Suche wiederum aus allen Werten von D i und D j in der Hilfsmatrix den größten Wert heraus (hier 2. Spalte) Hilfsmatrix: Station 1 0 x 21 x 31 2 Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x 33 4 i b j Feuer 1 1 Feuer 3 2 Feuer 5 3 D i Station Station Station D j Ursprungsmatrix: Station 1 0 x 21 x 31 2 Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x Wähle wiederum aus der Zeile oder Spalte mit dem größten D i oder D j (hier: 2. Spalte) den kleinsten Wert aus (hier: 2) Hilfsmatrix: Ursprungsmatrix: i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D i Station Station Station D j Station 1 0 x 21 x 31 2 Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x Ordne ihm in der Ursprungsmatrix den maximal möglichen Wert zu, der abhängig ist von a i oder b j Hilfsmatrix: i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D i Station Station Station D j Ursprungsmatrix: Station x 31 2 Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x Ist die Angebots- oder Bedarfsmenge aufgebraucht, fülle die restlichen Felder der Zeile oder Spalte in der Ursprungsmatrix mit Nullen auf Ursprungsmatrix: Station Station 2 0 x 22 x 32 3 Station 3 1 x 23 x

31 Transport Probleme Autor : - Vogel sche Approximationsmethode (VAM) 12. Eliminiere in der Hilfsmatrix die gewählte Zeile oder Spalte (hier: 2. Spalte) Hilfsmatrix: i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D i Station Station Station D j Berechne die Differenzen von D i und D j neu Hilfsmatrix: i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D i Station Station Station D j Suche wiederum aus allen Werten von D i und D j Hilfsmatrix: in der Hilfsmatrix den größten Wert heraus i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D (hier 1. Zeile) und wähle den kleinsten Wert i Station aus (hier: 5) Station Aber: 1. Spalte und 1. Zeile sind schon voll, Station so dass diese beiden ebenfalls ausscheiden. D j Suche aus den übrigen Werten von D i und D j in der Hilfsmatrix den größten Wert heraus (hier 2. Zeile) und wähle den kleinsten Wert aus (hier: 6) Hilfsmatrix: i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D i Station Station Station D j Ordne ihm in der Ursprungsmatrix den maximal möglichen Wert zu, der abhängig ist von a i oder b j Hilfsmatrix: Ursprungsmatrix: 17.Ist die Angebots- oder Bedarfsmenge aufgebraucht, fülle die restlichen Felder der Zeile oder Spalte in der Ursprungsmatrix mit Nullen auf Ursprungsmatrix: i j Feuer 1 Feuer 2 Feuer 3 D i Station Station Station D j Station Station 2 0 x Station 3 1 x 23 x 33 4 Station Station Station 3 1 x 23 x Gehe zu Punkt 12 solange noch Zuordnungen möglich sind. In diesem Beispiel lassen sich die fehlenden Werte jetzt einfach in die Ursprungsmatrix eintragen. Station Station Station

32 Transport Probleme Autor : - Vogel sche Approximationsmethode (VAM) Ursprungsmatrix: Ist die Matrix vollständig ausgefüllt, müssen Zeilen und Spaltensummen immer die Werte unter bzw. rechts neben der Matrix ergeben. Zum Schluß muss man die Werte von x 11 bis x 33 in die Zielfunktion einsetzen und die Gesamt- Entfernung berechnen: Zielfunktion ZF: D = 5 * * * * * * * * * 2 D = Erweiterung des Grundmodells: a i = Angebot (vorhandene Züge) b j = Bedarf oder Nachfrage (benötigte Züge) aber: Angebot Nachfrage a i b j Lösung: Einführung einer fiktiven Vorrats- oder Bedarfsstelle B 5 mit a m+1 = Σ b j - Σ a i > 0 (ungedeckte Bedarfsmenge) bzw. b n+1 = Σ a i - Σ b j > 0 (Restvorrat) (hier: Restvorrat b n+1 = 5) Ursprungsmatrix : Entfernungsmatrix D oder Kapazitätsmatrix K: i j B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 a i A 1 x 11 x 21 x 31 x 41 x A 2 x 12 x 22 x 32 x 42 x A 3 x 13 x 23 x 33 x 43 x b j b n+1 55 i j B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 A A A Lösung mit VAM: Ursprungsmatrix : i j B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 a i A A A Zielfunktion ZF: b j K = 2 * * * * * * * * * * * * * * * 0 + K = Umladeprobleme: a i = Angebot (vorhandene Züge) b j = Bedarf oder Nachfrage (benötigte Züge) zu den Bedarfs- und Vorratsorten kommen Zwischenlager

33 Transport Probleme Autor : -Umladeprobleme, -ungarische Methode Gleichgewichtsbedingung: max. Aufnahmemenge = max. Abgabemenge (Kapazität) Beispiel: mit 2 Zwischenlagern, wobei Z 1 = unbegrenzte Kapazität (eingesetzter Wert = maximale Kapazität hier: = 50) Z 2 = 20 ME Kapazitätsbegrenzung Ursprungsmatrix : Kapazitätsmatrix K: i j B 1 B 2 B 3 B 4 Z 1 Z 2 a i A 1 x 11 x 21 x 31 x 41 x 51 x A 2 x 12 x 22 x 32 x 42 x 52 x A 3 x 13 x 23 x 33 x 43 x 53 x Z 1 x 14 x 24 x 34 x 44 x 54 x Z 2 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x b j i j B 1 B 2 B 3 B 4 Z 1 Z 2 A A A Z Z Lösung nach Zeilenfolgeverfahren: Ursprungsmatrix : : nicht genutzte Kapazitäten Der Umweg über Lager Z kann kostengünstiger sein, als der Direkttransport von A nach B. i j B 1 B 2 B 3 B 4 Z 1 Z 2 a i A A A Z Z b j Zuordnungsprobleme: 5 Orte, 5 LKW Beispiel: Ausgangsmatrix Spezialfall des Transportproblems: Standorte Bestimmungsorte Kürzeste i j Entfernung n n ZF: c min NB: x = a = 1 ; c ij = b = 1 i= 1 j= 1 x ij ij n j= 1 ij j n i= 1 ij Ungarische Methode Ausgangsmatrix reduzieren Jeden Wert jeder Zeile um die kürzeste Entfernung aus jeder Zeile reduzieren R 0 = 17 Standorte Bestimmungsorte Kürzeste i j Entfernung

34 Transport Probleme Autor : -Umladeprobleme, -ungarische Methode 1. zeilenweise und spaltenweise reduzieren Bestimmungsorte i j R = = Standorte 2. prüfen, ob für jede Zeile und Spalte ein Nullelement zugeordnet werden kann a) Falls ja: Optimum gefunden b) Falls nein: möglichst viele Nullzuordnungen vornehmen r = Anzahl der Nullzuordnungen (hier: r = 4) Standorte Bestimmungsorte i j Mit r Linien, die durch Zeilen und Spalten gehen, alle Nullen streichen Standorte Bestimmungsorte i j Suche das kleinste nicht gestrichene Element Bestimmungsorte i j Standorte 5. Subtrahiere das kleinste nicht gestrichene Element (hier: 3) von allen nicht gestrichenen Elementen Standorte Bestimmungsorte i j

35 Transport Probleme Autor : -ungarische Methode 6. Addiere das kleinste nicht gestrichene Element (hier: 3) zu allen Elementen, die gleichzeitig in einer gestrichenen Zeile und Spalte liegen R 0 = = 22 Standorte Bestimmungsorte i j

36 Transport Probleme Autor : -ungarische Methode, -Raumzuordnungsprobleme (nicht linear), -Eröffnungsverfahren 7. prüfen, ob jetzt jeder Zeile und Spalte ein Nullelement zugeordnet werden kann Optimum: Standorte Bestimmungsorte i j k = c ij * f ij m, n Raumzuordnungsproblem (nicht linear) Entfernung [m] c ij i j A B C D E A B C D 0 50 E 0 E A 40 m 110 m 100 m 120 m 80 m 70 m B Transportfrequenzen [t] f ij i j m D 120 m 80 m C 60 m Eröffnungsverfahren 1. höchste Transportfrequenz suchen: f ij = f 14 = 10 j Transportfrequenzen [t] f i i j Standorte mit geringster Entfernung zuordnen Entfernung [m] c ij i j A B C D E A B C D 0 50 E

37 Transport Probleme Autor : -Raumzuordnungsproblem, -Eröffnungsverfahren Zuordnung: 1 4 A E 1 A ; 4 E Transportfrequenzen [t] f ij i j A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A 1 10 B 2 C 3 D 4 E 5 3. nächsthöchste Transportfrequenz suchen: Transportfrequenzen [t] f ij f ij = f 25 = 9 i j den nächsten Standort mit nächstgeringster Entfernung zuordnen Entfernung [m] c ij i j A B C D E A B C D 0 50 E 0 Transportfrequenzen [t] f ij 2 5 D E kommt nicht in Frage, da bisherige Zuordnungen zu berücksichtigen und schon belegte Ziele (4 E) tabu sind 2 5 B C i j A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A 1 10 B 2 C 3 D 4 E 5 Entfernung [m] c ij i j A B C D E A B C D 0 50 E 0 Transportfrequenzen [t] f ij i j A B C D E A 10 B 9 C D E Zuordnung: 2 5 B C 2 B ; 5 C 5. die nächsthöchste Transportfrequenz suchen: Transportfrequenzen [t] f ij

38 Transport Probleme Autor : -Raumzuordnungsproblem, -Eröffnungsverfahren f ij = f 25 = 9 i j Standort suchen 1 2 Minimum von { A B (80); A C (120); B E (110); C E (120) } Ergebnis: 1 2 A B (Bestätigung der ersten zwei Ergebnisse!) Entfernung [m] c ij i j A B C D E A B C D 0 50 E 0 Transportfrequenzen [t] f ij i j A B C D E A 8 10 B 9 C D E Ergebnis: Zuordnung:1 A; 2 B; 3 D; 4 E; 5 C Die Werte in der Tabelle der neuen Transportfrequenzen ergeben sich aus Zuordnungen f ij in der Tabelle der Transportfrequenzen auf Seite 32. Zum Abschluss ermittelt man die Gesamtleistung, indem man die Werte der Transportfrequenzen [t] f ij mit den entsprechenden Entfernungen [m] c ij multipliziert. Transportfrequenzen [t] f ij i j A 1 B 2 C 5 D 3 E 4 A B C D 3 7 E 4 den alten Entfernung [m] c ij i j A B C D E A B C D 50 E Transportfrequenzen [t] f ij i j A B C D E A B C 1 4 D 7 E K = 8 * * * * * * * * * * 50 K = 3710 [tm] (einfache Näherungslösung) Bestimmung von Minimalgerüsten (Kruskal)

39 Bestimmung von Minimalgerüxten Autor : - Graphen : Kruskal Ziel: Kürzester Weg zu allen Punkten ohne Zyklus Kanten: ungerichtete Verbindung (kein Pfeil) Masche: Zyklus (Kreis, geschlossener Umlauf) 1. Schritt: Sortieren der Kanten nach deren Bewertungen (hier vom Kleinsten zum Größten) 2. Schritt: Nun wird eine Kante nach der anderen in das Minimalgerüst aufgenommen. Schließt eine neue aufgenommene Kante den Graph (Masche), wird die Kante weggelassen. Abbruchkriterium: Wenn alle Kanten geprüft wurden. Digraphen (Fulkerson)

40 Bestimmung von Minimalgerüsten Autor : - Digraphen : Fulkerson Z = Zähler PE = Pfeil KOM = Komponente (Knoten) 1. Schritt: Suche für jeden Knoten den Pfeil mit der kleinsten Bewertung, der in Knoten hinein geht. Der Pfeil mit der kleinsten Bewertung wird in PE und der Knoten in KOM gespeichert. Die Bewertung des Pfeiles wird zu Z zugezählt (bei Start Z = 0). Die Bewertung wird von den Pfeilen, die in den Knoten hineingehen abgezogen. Hier hat Knoten 1 kein eingehenden Pfeil. Daher beginne mit Knoten 2. Das mache mit jedem Knoten. 2 Nach letztem Knoten zeichne den Graphen auf. Die Knoten 2,3,4 sind zusammenhängend und Knoten 1 hat keine Verbindung. Da der Graph nicht zusammenhängend ist, muß jetzt die starke Komponente betrachtet werden und der Pfeil gewählt werden, der in die Komponente von außen hineingeht. Den Pfeil liest man aus der oberen Zeichnung. Hier hat man die Wahl zwischen den Pfeilen 1-2 mit der Bewertung 3 und den Pfeil 1-4 mit der Bewertung 2. Der Pfeil mit der kleinsten Bewertung wird in PE gespeichert, die Komponente 2,3,4 in KOM und die Bewertung vom Pfeil wird zum Zähler Z zuaddiert

41 Bestimmung von Minimalgerüsten Autor : - Digraphen : Fulkerson Die Bewertung des ausgesuchten Pfeils muß jetzt von allen in die Komponente einfließenden Pfeile abgezogen werden. Jetzt sind alle Knoten miteinander verbunden. Beginne nun mit dem Rückwärtsprozeß. Es wird von unten in der Tabelle begonnen die Pfeile aufzuzeichnen. Würde durch einen neu aufgenommenen Pfeil ein Knoten zwei eingehende Pfeile erhalten wird er verworfen Rückwärtsprozess: 1. [1,4] liegt zuoberst, aufnehmen 2. [2,4] verwerfen 3. [4,3] aufnehmen 4. [3,2] aufnehmen Daraus ergibt sich das Minimalgerüst Z=

42 Bestimmung optimaler Wege - Matrixalgorithmen Autor : Verfahren von Floyd - Tripelalgorithmus Floyd Triple-Algorithmus 1.Schritt : Aufstellen der Entfernungsmatrix (nur benachbarte Knoten), Schritt : Vergleiche die Entfernungen mit der Länge des Weges über Punkt 1 Beispiel : Der Weg von 2 nach 3 = 2, würde man den Umweg über 1 nehmen hätten wir von 1 nach 2 = , und von 1 nach 3 = 12 wäre also insgesamt Im ersten Schritt tritt nur eine Verbesserung zwischen der Verbindung von 3 und 4 ein. Da diese unendlich sind. Es müssen alle Verbindungen nach Verbesserungen überprüft werden. 3. Schritt : Dies wiederholt man bei jedem vorhandenen Knoten, und erstellt bei jedem Schritt eine neue Entfernungsmatrix. Bemerkung : Hieraus ist nur der kürzeste Weg zu erkennen. Floyd Triple Algorithmus Teil 2 1. Schritt : Entfernungsmatrix und Vorgängermatrix erstellen Entfernungsmatrix wie gehabt, Vorgängermatrix wie folgt : Man beginnt mit der ersten Zeile( also der einser Zeile ) und prüft ob es eine Pfeil von 1 direkt zu anderen Punkten führt. Somit kann es in der ersten Zeile nur Einsen oder Nullen geben, die Null steht für keine direkte Verbindung. Vorgänger Entfernung 2. Schritt : Die Entfernungsmatrix wird weiterhin behandelt wie in Teil 1, wird ein kürzerer Weg über einen anderen Punkt gefunden, wird der neue Vorgänger in der Vorgängermatrix aufgenommen. Beispiel :