Operations Research für Wirtschaftsinformatiker. Vorlesungsskript von Richard Mohr

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1 Operations Research für Wirtschaftsinformatiker Vorlesungsskript von Richard Mohr Fachhochschule Esslingen, SS 2005

2 INHALTSVERZEICHNIS i Inhaltsverzeichnis Lineare Optimierung. Graphische Lösung des linearen Optimierungsproblems Austauschverfahren Simplexverfahren Bestimmung einer zulässigen Basislösung Sonderfälle Probleme, die keine Lösung besitzen Probleme mit unbeschränktem zulässigem Bereich Probleme mit mehreren optimalen Basislösungen Probleme mit degenerierter optimaler Basislösung Ergänzungen Gleichungen Opportunitätskosten Transportprobleme Problemstellung Transportalgorithmus Rechenschema Nord-West-Ecken-Regel Optimalitätstest Fiktive Quellen und Senken Abweichende Problemstellungen Umladeprobleme Zuordnungsproblem Dynamische Optimierung Darstellung mehrstufiger Entscheidungsprozesse Lösungsprinzip der dynamischen Optimierung Stochastische Probleme Nichtlineare Optimierung Lösungsverfahren

3 ii INHALTSVERZEICHNIS 5 Warteschlangentheorie Klassifizierung Modellierung von Wartesystemen Das Wartesystem M M Gleichgewichtsfall des Systems M M Ausblick Endlicher Warteraum Das Wartesystem M M s Das Wartesystem M E k Einschwingverhalten Simulation Simulation 4 6. Begriff Simulation Erzeugen und Testen von Zufallszahlen Erzeugung und Test gleichverteilter Zufallszahlen Erzeugung diskret verteilter Zufallszahlen Erzeugung kontinuierlich verteilter Zufallszahlen Beispiele Satzgewinn beim Tennis Simulation eines M M -Warteschlangenmodells Ein Entscheidungsproblem Literaturverzeichnis 23 Index 24

4 Lineare Optimierung Ein Programm zur linearen Optimierung ist fester Bestandteil jedes Software-Pakets zum Thema Operations Research. Hier soll nur die grundsätzliche Vorgehensweise erläutert werden. Zunächst wollen wir für den Fall von zwei Variablen einen grahpischen Lösungsweg skizzieren. Bei der Formulierung des allgemeinen Lösungsverfahrens benötigen wir eine Umformulierung des Gauß-Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme, das sogenannte Austauschverfahren. Dies wird in einem Unterabschnitt bereitgestellt.. Graphische Lösung des linearen Optimierungsproblems Zunächst machen wir uns die Problematik an einem einfachen Beispiel klar: Eine Schuhfabrik stellt Damen- und Herrenschuhe her. Der beim Verkauf erzielte Gewinn (Deckungsbeitrag) betrage bei Herrenschuhen 32 C, bei Damenschuhen nur 6 C. Die Herstellung der Schuhe unterliegt bestimmten (stark vereinfachten) Nebenbedingungen, welche die monatlich zur Verfügung stehende Zahl der Arbeitsstunden und Maschinenlaufzeiten sowie die in diesem Zeitraum verfügbare Ledermenge betreffen. Diese Annahmen sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst: Damenschuh Herrenschuh verfügbar Herstellungszeit [h] Maschinenbearbeitung [h] Lederbedarf [dm 2 ] Gewinn [ C] 6 32 Wir führen als Variable ein: x = Zahl der produzierten Damenschuhe x 2 = Zahl der produzierten Herrenschuhe. Damit können wir unsere Optimierungsaufgabe wie folgt formulieren: 20x + 0x () g : 20x + 0x 2 = 80 4x + 5x (2) g 2 : 4x + 5x 2 = 200 6x + 5x (3) g 3 : 6x + 5x 2 = 450 x 0 (4) g 4 : x = 0 x 2 0 (5) g 5 : x 2 = 0 6x + 32x 2 = Max!.

5 2 Lineare Optimierung Die ersten drei Ungleichungen berücksichtigen die zu beachtenden Nebenbedingungen, die beiden weiteren Ungleichungen den Tatbestand, dass die Zahl der produzierten Schuhe nicht negativ sein kann. Die letzte Zeile gibt die zu maximierende Zielfunktion an. Da unser Problem nur zwei Variable enthält, kann es graphisch in der (x, x 2 )-Ebene gelöst werden. Die Menge der Punkte (x, x 2 ), die eine der linearen Ungleichungen a i x + a i2 x 2 b i erfüllt, besteht aus einer Halbebene, d.h. aus allen Punkten oberhalb oder unter der Grenzgerade g i (je nach Vorzeichen der a i, a i2 ) a i x + a i2 x 2 = b i. Die fünf Ungleichungen unseres Beispiels definieren auf diese Weise fünf Halbebenen. Ein zulässiger Punkt muss demnach im Durchschnitt dieser fünf Halbebenen liegen. Eckpunkte des zulässigen Bereichs g A(0 0) : (4) (5) g 2 B(40 0) : () (5) C( 00 ) 3 3 : () (2) D(25 20) : (2) (3) E E(0 30) : (3) (4) D 0 6x + 32x 2 = const. C g 3 A 0 B Die Zielfunktion z = 6x + 32x 2 ist zu maximieren. Die Gerade 6x + 32x 2 = c enthält alle Punkte mit konstantem Gewinn c. Damit c maximal wird, verschieben wir diese Gerade möglichst weit parallel nach oben, so dass noch mindestens ein zulässiger Punkt darauf liegt. Man erkennt unschwer, dass der Punkt D(25 20) zu optimalem Gewinn führt: z = = 040.

6 . Graphische Lösung des linearen Optimierungsproblems 3 Aus der graphischen Lösung entnehmen wir noch eine zusätzliche Information. Der Lösungspunkt liegt auf den beiden Geraden g 2, g 3 während g nicht tangiert wird. Dies bedeutet, dass die verfügbare Maschinenzeit und die Ledermenge aufgebraucht sind, während bei den Arbeitsstunden noch freie Kapazität vorhanden ist. Dieses Verfahren lässt sich auf beliebig viele Ungleichungen anwenden. m Lineare Ungleichungen in zwei Variablen a x + a 2 x 2 b a 2 x + a 22 x 2 b a m x + a m2 x 2 b m Die Lösungsmenge jeder Ungleichung ist eine Halbebene je nach Vorzeichen von a i2 der Bereich unter oder über der Grenzgerade a i x + a i2 x 2 = c i. Die Festlegung unter oder über geschieht am besten durch eine Punktprobe. So kann man zum Beispiel durch Einsetzen des Koordinatenursprungs in die Ungleichung überprüfen, ob dieser Punkt zur gesuchten Halbebene gehört. Bemerkung: Auch Ungleichungen der Form a k x + a k2 x 2 b k lassen sich durch Multiplikation mit dem Faktor ( ) in die gewünschte Form bringen. a k x a k2 x 2 b k Als Lösungsmenge eines solchen linearen Ungleichungssystems ergibt sich ein durch Geradenstücke begrenztes Gebiet (zulässiger Bereich) in der (x, y)-ebene. Die Eckpunkte ergeben sich als Schnitt von zwei Geraden, d.h. als Lösung eines linearen Gleichungssystems in zwei Variablen. y a i x + b i y = b i a j x + b j y = b j Um Eckpunkt des Gebiets zu sein, müssen auch alle übrigen Ungleichungen erfüllt sein. Optimierung der Zielfunktion z(x, x 2 ) = c x + c 2 x 2 + d =! Max x Die Zielfunktion ist eine lineare Funktion der Variablen x und x 2. Ihre Niveaulinien z(x, x 2 ) = constant bestehen aus einer Schar paralleler Geraden. Die Darstellungsform des Ungleichungssystems ist leider nicht einheitlich geregelt.

7 4 Lineare Optimierung Die optimale Lage der Geraden c x + c 2 x 2 = γ ergibt sich durch Parallelverschiebung. Ist die Lösungsmenge des Ungleichungssystems beschränkt, so liegt die optimale Lösung in einem Eckpunkt. Sind zwei benachbarte Eckpunkte Lösung des Optimierungsproblems, so auch die gesamte Verbindungsstrecke. Rechenstrategie: Man berechnet die Zielfunktion an allen Eckpunkten, vergleicht deren Werte und bestimmt so den optimalen Punkt (x x 2)..2 Austauschverfahren In diesem Abschnitt wollen wir einen Algorithmus für die Lösung von linearen Gleichungssystemen entwickeln. Der im Folgenden dargestellte Algorithmus entspricht inhaltlich dem bekannten Gauß-Algorithmus, ergibt aber formal eine andere Datenorganisation. Die grundlegenden Schritte seien bei der Lösung eines 2 2-Systems erläutert. a x + a 2 x 2 = b () a 2 x + a 22 x 2 = b 2 (2) Die direkte Anwendung des Gauß-Algorithmus führt auf die folgenden Umformungen: a a 2 b a 2 b a a ( a 2) a 2 b a a a 2 a 22 b 2 a 2 a 22 b 2 0 a 22 a 2a 2 a b 2 b a 2 a Wir erhalten dasselbe Ergebnis, wenn wir das aus der Schule bekannte Einsetzverfahren anwenden. Dazu lösen wir die erste Gleichung nach x auf. a x + a 2 x 2 = b x = b a a 2 a x 2 Eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt sich: ( a b 2 a a ) 2 a x 2 + a 22 x 2 = b 2 bzw. 0 x + Dies entspricht genau der zweiten Zeile des Matrix-Schemas. ( a 22 a ) 2a 2 a x 2 = b 2 b a 2 a Wir wollen nun analog zum Vorgehen beim Invertieren einer Matrix das lineare Gleichungssystem vollständig nach den Variablen x i auflösen. Bezeichnen wir die Koeffizienten des neuen Schemas mit α ij bzw. β k, so erhalten wir: α 2 β α 2 β 0 α 22 β β α ( α 2 ) 22 0 β β 2α 2 α 22 β 0 2 α 22

8 .2 Austauschverfahren 5 Dieser Schritt entspricht wieder dem Auflösen der zweiten Gleichung nach x 2 und anschließendem Einsetzen in die erste Gleichung. α 22 x 2 = β 2 x 2 = β ( ) 2 β2 α 22 x + α 2 α 22 x + 0 x 2 = β α 2β 2 α 22 = β In der letzten Spalte steht nun die Lösung des linearen Gleichungssystems. Wir begreifen die Division durch das Element a bzw. α 22 und anschließendes Einsetzen in die verbliebenene Gleichungen als einen Rechenschritt. Die Rechenregeln für das Umstellen wollen wir im Folgenden allgemein formulieren. a a 2 b a 2 a 22 b 2 α 2 β 0 α 22 β 2 a 2 a b a 0 a 22 a 2a 2 a b 2 b a 2 a 0 β β 2α 2 α 22 β 0 2 α 22 Das eingerahmte Element nennt man Pivotelement. Bezogen auf dieses Element a pq ergeben sich die folgenden Regeln. Rechenregeln a) Das Pivotelement geht in über. b) Die übrigen Elemente der Pivotzeile sind durch das Pivotelement zu dividieren. c) Die verbleibenden Elemente der Pivotspalte sind mit 0 zu belegen. d) Die restlichen Elemente werden nach der sogenannten Rechteckregel transformiert. Ist a pq das Pivotelement, so ergeben sich die neuen Elemente durch: a ik = a pq a ik a iq a pk a pq = a ik a iq a pk a pq i p ; k q. Dieses Schema, Austauschverfahren genannt, lässt sich auch auf nichtquadratische Systeme übertragen. Zur Unterscheidung zum Gauß-Algorithmus benutzen wir eine andere äußere Form. x x 2 + 3x 3 = 5 Beispiel.: 2x + 3x 2 + x 3 = 0 x x 2 x 3 b x x 2 x 3 b x x 2 x 3 b

9 6 Lineare Optimierung Als lineares Gleichungssystem geschrieben erhält man aus dem letzten Tableau: x = 2t x + 0 x 2 + 2x 3 = bzw. mit x 3 = t x 2 = 4 + t 0 x + x 2 x 3 = 4 x 3 = t Es ist uns gelungen, die Variablen x und x 2 in Abhängigkeit von x 3 darzustellen. Wir nennen in Zukunft diese Variable, deren Spalten in obigem Schema Einheitsvektoren sind, Basisvariable. Es ist üblich, diese Variable in der ersten Spalte des Schemas zu notieren. Das Austauschverfahren eignet sich auch zur Inversion einer Matrix. Beispiel.2: y = 2x + x 2 y 2 = 5x + 3x 2 BV x x 2 y y 2 y 2 0 y BV x x 2 y y 2 x y BV x x 2 y y 2 x 0 3 x Nun wird auch die Bezeichnung Austauschverfahren plausibel. Die Basisvariablen y, y 2 wurden gegen die Basisvariablen x, x 2 ausgetauscht. Das Austauschverfahren lässt sich auch auf ein eindeutig bestimmtes lineares Gleichungssystem anwenden. Beispiel.3: x + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 3 5x + 6x 2 + 7x 3 + 8x 4 = 7 7x + 6x 2 + 6x 3 + 4x 4 = 7 8x + 4x 2 5x 4 = BV x x 2 x 3 x 4 b i BV x x 2 x 3 x 4 b i x BV x x 2 x 3 x 4 b i x 0 2 x BV x x 2 x 3 x 4 b i x x x BV x x 2 x 3 x 4 b i x x x x x = x 2 = x 3 = 2 x 4 =

10 .3 Simplexverfahren 7 Bemerkung: Unter numerischen Gesichtspunkten wird man wegen Rundungsfehlern bei der Auswahl der Pivotelemente nicht unbedingt entlang der Hauptdiagonale vorgehen. Man versucht durch Vertauschen von Zeilen (und gegebenenfalls auch Spalten) ein betragsmäßig großes Element als Pivotelement festzulegen..3 Simplexverfahren Optimierungsprobleme für mehr als zwei Variable lassen sich prinzipiell wie im Abschnitt. lösen. Auch hier muss der optimale Punkt eine Ecke des zulässigen Bereichs sein. Bei n Variable werden die zulässigen Bereiche durch Hyperebenen im IR n begrenzt. Um diese Eckpunkte zu bestimmen müssen zunächst n lineare Gleichungen (entstanden aus n linearen Ungleichungen durch Übergang zum Gleichheitszeichen) gelöst werden. Anschließend ist zu überprüfen, ob auch die übrigen Ungleichungen erfüllt sind. Danach muss die Zielfunktion in allen zulässigen Eckpunkten berechnet werden um das Optimum zu bestimmen. Da die Anzahl der Eckpunkte rasch mit der Anzahl der Variablen und der Nebenbedingungen wächst, ist diese Vorgehensweise nicht effektiv 2. Ein sinnvolles Verfahren sollte nur wenige Eckpunkte überprüfen und gezielt den optimalen Punkt suchen. Es sollte nie von einer Ecke zu einer anderen mit geringerem Zielfunktionswert übergehen; ein Abbruchkriterium besitzen, welches es gestattet zu entscheiden, ob der gegenwärtig überprüfte Eckpunkt optimal ist oder weiter gesucht werden soll, oder ob das Problem unlösbar ist. Das bekannteste Verfahren, dass obige Kriterien erfüllt, ist das Simplexverfahren. Es wird im Folgenden vorgestellt. Die Grundidee des Verfahrens wollen wir an dem eingangs behandelten Beispiel der Optimierung der Schuhproduktion deutlich machen. (vgl. Abschnitt.) Die Zielfunktion z = 6x + 32x 2 war unter den nachfolgenden Nebenbedingungen zu maximieren. Zunächst wollen wir uns nur mit den Ungleichungen beschäftigen. Durch Einführung von drei Schlupfvariablen x 3, x 4, x 5 kann das Ungleichungssystem in ein Gleichungssystem überführt werden. Für alle Variable gilt dann die einheitliche Zusatzbedingung x i 0. 2 Bei n Entscheidungsvariablen und m Ungleichungen gibt es ( m n) potenzielle Schnittpunkte der zugehörigen Hyperebenen. (Zahlenbeispiel: ( ) 0 3 = 20!)

11 8 Lineare Optimierung 20x + 0x x + 5x x + 5x x,2 0 20x + 0x 2 + x 3 = 800 4x + 5x 2 + x 4 = 200 6x + 5x 2 + x 5 = 450 x i 0 Die Schnittpunkte der Begrenzungsgeraden g : 20x + 0x 2 = 800 bzw. x 3 = 0 g 2 : 4x + 5x 2 = 200 bzw. x 4 = 0 g 3 : 6x + 5x 2 = 450 bzw. x 5 = 0 g 4 : x = 0 bzw. x = 0 g 5 : x 2 = 0 bzw. x 2 = 0 werden dadurch beschrieben, dass man zwei der fünf Variablen x, x 2,..., x 5 zu Null macht und die restlichen Variablen aus dem linearen Gleichungssystem bestimmt. Das Austauschverfahren gestattet nun diese Lösungen aus dem umgeformten Schema einfach abzulesen. Dazu macht man drei Variable zu Basisvariablen und setzt die Nichtbasisvariablen zu Null. Der zugehörige Wert für die Basisvariablen lässt sich dann aus der rechten Spalte ablesen. Ob ein Schnittpunkt zum zulässigen Bereich gehört kann am Vorzeichen der rechten Spalte abgelesen werden. Sind alle Werte positiv, so gehört der Eckpunkt zum zulässigen Bereich. BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x L ( ) : g 4 g 5 bzw. A(0 0) BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x L 2 ( ) : g g 5 bzw. B(40 0) BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x L 3 ( ) : g g 3 unzulässig! Tauscht man im vorangegangenen System x 4 gegen x 2 aus, so ergibt sich:

12 .3 Simplexverfahren 9 BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x L 2 ( ) : g g 5 bzw. B(40 0) BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x L 4 ( ) : g 2 g 3 bzw. C( ) Wie kann man nun im Vorfeld sicher stellen, dass bei einem Austausch der zulässige Bereich nicht verlassen wird? Soll die q-te Variable Basisvariable werden, so müssen wir aus der q-ten Spalte des Tableaus eine geeignete Zeile auswählen. Zunächst nehmen wir an, dass wie in obigem Beispiel nur positive Werte in der ausgewählten Spalte vorkommen. Wir betrachten nun die Quotienten von Elementen der rechten Seite und der Pivotspalte b i a iq in obigem Beispiel: 40 2 = 80, 40 3 = 3 3, 20 2 = 7 2. Wir wählen nun diejenige Zeile p mit dem kleinsten Quotienten b p a pq b i a iq für i =, 2,... n 0 b i a iq b p a pq 0 b i a iqb p a pq. Auf der rechten Seite des Ungleichheitszeichens steht genau die Rechteckregel für die Transformation der rechten Seite b i. Tritt nun in der Pivotspalte auch ein negatives Element a kq auf, so ist der Ausdruck a kq b p a pq negativ. Damit kann das transformierte Element b k = b k a kqb p a pq nur größer werden. D. h. bei der Suche nach dem kleinsten Quotienten müssen nur die positiven Elemente der Pivotspalte einbezogen werden. Ein negatives Element in der Pivotspalte selbst kommt niemals als Pivotelement in Frage. Die rechte Seite b p der Pivotzeile muss ja durch a pq dividiert werden und würde dadurch negativ. Es ergäbe sich ein unzulässiger Punkt! Somit sind negative Einträge in der Pivotspalte nicht zum Austausch geeignet. Regel: Sind in einer Pivotspalte alle Elemente negativ, führt ein Austausch stets zu einem unzulässigen Punkt. Für die positiven Elemente der Pivotspalte untersuchen wir die Quotienten der Elemente der rechten Seite und den verbleibenden Elementen der Pivotspalte. Als Pivotzeile wird der Index mit dem minimalen Quotienten bestimmt.

13 0 Lineare Optimierung Obige Auswahlregel für die Pivotzeile stellt sicher, dass nur Eckpunkte des zulässigen Bereichs errechnet werden. Nur solche Schnittpunkte der begrenzenden Hyperebenen werden berechnet, die tatsächlich Eckpunkte des zulässigen Bereichs sind. Es wäre schön, den Wert der Zielfunktion nicht für sämtliche Eckpunkte des zulässigen Gebiets berechnen zu müssen. Dazu benutzen wir einen Suchalgorithmus für die Pivotspalte, der eine Zunahme der Zielfunktion garantiert. Wir nehmen die Zielfunktion als weitere Gleichung in unser Tableau auf. Wir stellen die Zielfunktion z = c x + c 2 x c n x n um und fügen z c x c 2 x 2... c n x n = 0 als letzte Zeile im Tableau an. Nichtbasisvariable Basisvariable BV x x 2... x n x n+ x n+2... x n+m z b i x n+ a a 2... a n b x n+2 a 2 a a 2n b x n+m a m a m2... a mn b m c c 2... c n Die Variable z wird als Basisvariable interpretiert. Da z die Basis nie verlässt, lassen wir die letzte Spalte weg und erhalten das folgende Rechenschema: BV x x 2... x n x n x n+ x n+2... x n+m x n+m b i x n+ a, a,2... a,n a,n b x n+2 a 2, a 2,2... a 2,n a 2,n b x n+m a m, a m,2... a m,n a m,n b m x n+m a m, a m,2... a m,n a m,n b m z c c 2... c n c n zw Soll im nächsten Auistauschschritt wieder ein zulässiger Randpunkt erreicht werden, muss das Pivotelement a pq positiv sein. Nach Voraussetzung (zulässiger Randpunkt) sind sämtliche b i positiv. Damit tritt eine Zunahme des Zielwerts zw nur dann ein, wenn c q postiv ist. (D. h. wenn der Eintrag in der letzten Zeile negatives Vorzeichen hat.) zw = zw ( c q) b p a pq = zw + c q b p a pq Wir haben damit eine Kriterium gefunden, das bei der Auswahl der Spalte eine Zunahme des Zielfunktionswerts garantiert. Zusammen mit der zuvor behandelten Strategie bei der Auswahl der Zeile lässt sich der Simplex-Algorithmus wie folgt formulieren. Voraussetzung: Das Ausgangstableau stellt eine zulässige Basislösung dar, d. h. alle Einträge b i sind positiv.

14 .3 Simplexverfahren. Schritt: Sind alle Einträge in der z-zeile positiv, so lässt sich durch einen Austauschschritt keine Zunahme des Zielwerts zw erreichen, d. h. die Basislösung ist bereits optimal. Ansonsten bestimmen wir diejenige Spalte q mit dem kleinsten (negativen) Wert in der z-zeile. Stehen mehrere Spalten zur Wahl, so wählen wir eine beliebige Spalte aus. Die ausgewählte Spalte ergibt die Pivotspalte. Die zugehörige Variable x q wird neu in die Basis aufgenommen. 2. Schritt: Sind in der Pivotspalte alle Elemente negativ, so würde ein Austausch zu einem unzulässigen Punkt führen. Der Algorithmus ist in einer solchen Situation abzubrechen. Ansonsten betrachten wir für positive a iq die Quotiienten b k a kq ; a kq > 0. Die Zeile p mit kleinstem Quotienten wird Pivotzeile. Die zur Zeile p gehörende Basisvariable verlässt die Basis. 3. Schritt: Wir führen nun zum Pivotelement a pq gehörigen Austauschschritt durch. a) Die Pivotzeile ist durch das Pivotelement a pq zu dividieren. b) Die vom Pivotelement verschiedenen Elemente der Pivotspalten werden Null. c) Die übrigen Elemente des Tableaus werden mittels der Rechteckregel transformiert. a ik = a ik a qka ip a pq Diese Regel ist auch auf die b-spalte und die z-zeile anzuwenden. Wir wenden nun den Algorithmus auf unser Ausgangsbeispiel an. BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z S ( ) : g 4 g 5 bzw. A(0 0) Begründung für die Auswahl des Pivotelements a 32 = 5 : Der kleinste Eintrag in der z-zeile ist -32, d. h. die zweite Spalte ist auszuwählen. Die Quotienten zwischen b-spalte und Elementen der Pivotspalte ergeben: = 80, = 40, = 30. Damit ist die dritte Zeile auszuwählen. BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z S 2 ( ) : g 3 g 4 bzw. E(0 30)

15 2 Lineare Optimierung Begründung für die Auswahl des Pivotelements a 2 = 2 : Der einzige negative Eintrag in der z-zeile ist 6, d. h. die erste Spalte ist auszuwählen. Die Quotienten zwischen 5 b-spalte und Elementen der Pivotspalte ergeben: = 3, = 25, 30 = 75. Damit ist 0.4 die zweite Zeile auszuwählen. BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z S 3 ( ) : g 2 g 3 bzw. D(25 20) Im letzten Tableau sind alle Elemente der z-zeile positiv, d. h. ein weiterer Austauschschritt würde zu einer Verringerung des Zielwerts führen. Wir haben damit die optimale Lösung gefunden. Die obigen Umformungen lassen sich mittels der Skizze auf Seite 2 veranschaulichen. Wie kann man nun sicher sein, dass der Algorithmus stets den optimalen Punkt findet? Dazu wollen wir uns zunächst Gedanken über die Struktur des zulässigen Bereichs eines linearen Ungleichungssystems machen. Der auf Seite 2 skizzierte zulässige Bereich hat die Eigenschaft, dass mit zwei Punkten aus dieser Menge auch die gesamte Verbindungsgerade zur Menge gehört. Eine solche Menge nennt man konvex. Beim Nachweis für die Existenz eines optimalen Punkts spielt diese Eigenschaft eine zentrale Rolle. Ist das zulässige Gebiet nicht konvex, so kann der oben beschriebene Algorithmus nicht in allen Fällen den optimalen Punkt finden. Läuft z. B. im nebenstehend skizzierten Bereich der Algorithmus in den Punkt P, so kann er sich nicht mehr von diesem Punkt lösen um den eventuell besseren Punkt P zu erreichen. Der Algorithmus hat zwar ein relatives, aber nicht das absolute Optimum erreicht. Lineare Ungleichungssysteme mit beliebig vielen Variablen bestimmen ein konvexes Gebiet. Dazu die folgende Überlegung: x 2 c x + c 2 x 2 = const. P P x Erfüllt x und y die Ungleichung a x = n i= a i x i c a y = n a i y i c i=

16 .4 Bestimmung einer zulässigen Basislösung 3 so auch der Verbindungsvektor z = x + ( λ) ( y x ) = ( λ) x + λ y ; 0 λ a z = ( λ) a x + λ a y ( λ)c + λc = c D. h. der durch eine lineare Ungleichung bestimmte Bereich ist konvex. Da der Schnitt konvexer Mengen wieder konvex ist, ist der zulässige Bereich eines Ungleichungssystems interpretiert als Schnittmenge der zu den einzelnen Ungleichungen gehörenden Mengen stets eine konvexe Menge. Wenn einige Zusatzbedingungen erfüllt sind, kann man zeigen, dass eine lineare Zielfunktion in einem konvexen Gebiet stets ein globales Optimum besitzt. Auf Problemsituationen gehen wir in Abschnitt.5 ein..4 Bestimmung einer zulässigen Basislösung Ausgangspunkt des Simplex-Algorithmus ist die Kenntnis einer zulässigen Basislösung. Bei unseren bisher betrachteten Beispielen war der Nullpunkt im zulässigen Bereich und konnte daher als Startpunkt für den Simplex-Algorithmus benutzt werden. Dies ist immer dann der Fall, wenn bei den zu betrachtenden Ungleichungen a i x + a i2 x a in x 2 b i alle b i positiv sind. Treten jedoch Ungleichungen der Form 2x + x 2 7 2x x 2 7 auf, so erhält man in der b-spalte negative Einträge und der Nullpunkt gehört nicht zum zulässigen Bereich. Wir wollen uns die Problematik an einem einfachen Beispiel klarmachen. Die Zielfunktion z = x + 3x 2 ist unter den folgenden Nebenbedingungen zu maximieren. g : x + 2x 2 8 g 2 : 2x + x 2 7 g 3 : x + x 2 6 x,2 0 x 2x 2 + x 3 = 8 2x x 2 + x 4 = 7 x + x 2 + x 5 = 6 x i 0

17 4 Lineare Optimierung BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z Um zu einem zulässigen Punkt zu kommen, müssen wir erreichen, dass sämtliche Einträge in der b-spalte positiv werden. Wir wählen zunächst die erste Zeile als Pivotzeile aus. Befinden sich in dieser Zeile negative Einträge, so ist sichergestellt, dass der Austauschschritt zu einem positiven b- Glied führt. (Die Elemente der Pivotzeile werden durch das Pivotelement dividiert!) Zwischen den in der ersten Zeile stehenden Elementen und 2 entscheiden wir uns für ; hier wird analog zur Strategie beim direkten Simplex-Algorithmus der Quotient zwischen Zeilenglied und entspechendem Eintrag in der z- Spalte minimal. Der nach dem ersten Austauschschritt verbleibende negative Eintrag 2 in der b-spalte wird durch den Austausch x 5 x 2 beseitigt. Wir haben nun einen Punkt des zulässigen Bereichs erreicht. Da jedoch ein Koeffizient der z-zeile noch negativ ist, muss der originäre Simplex-Algorithmus angewandt werden. BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x 0 0 y x x P 3 ( 5) z g x + 3y = 6 In der nebenstehenden Skizze können die Iterationsschritte nachvollzogen werden. Die ersten beiden P 2 (4 2) Schritte P 0 P P 2 führen zu einer zulässigen Basislösung. P 0 x Die Optimierung der Zielfunktion g 2 g 3 P (8 0) erfolgt im dritten Schritt. P 2 P 3

18 .4 Bestimmung einer zulässigen Basislösung 5 Die am vorangegangenen Beispiel deutlich gewordene Strategie verläuft analog zum originären Simplex-Algorithmus, wenn man die Bedeutung der z-zeile und b-spalte miteinander vertauscht. Entsprechend verändert sich auch die Reihenfolge bei der Wahl von Pivotzeile und Pivotspalte. Man nennt deshalb diese Strategie zur Bestimmung einer zulässigen Basislösung dualer Simplex-Algorithmus. Voraussetzung: Das Ausgangstableau stellt eine Basislösung dar.. Schritt: Sind alle Einträge in der b-zeile positiv, so liegt bereits eine zulässige Basislösung vor. Ansonsten bestimmen wir diejenige Zeile p mit dem kleinsten (negativen) Wert in der b-spalte. Stehen mehrere Spalten zur Wahl, so wählen wir eine beliebige Spalte aus. Die ausgewählte Zeile ergibt die Pivotzeile. Die zur Zeile p gehörende Basisvariable verlässt die Basis. 2. Schritt: Sind in der Pivotzeile alle Elemente positiv, so besitzt das Problem keine zulässige Basislösung. Der Algorithmus ist in einer solchen Situation abzubrechen. Ansonsten betrachten wir für negative a pi die Quotienten z i a pi ; a pi < 0. Die Spalte q mit kleinstem Quotienten wird Pivotspalte. Die zugehörige Variable x q wird neu in die Basis aufgenommen. 3. Schritt: Wir führen nun zum Pivotelement a pq gehörigen Austauschschritt durch. a) Die Pivotzeile ist durch das Pivotelement a pq zu dividieren. b) Die vom Pivotelement verschiedenen Elemente der Pivotspalten werden Null. c) Die übrigen Elemente des Tableaus werden mittels der Rechteckregel transformiert. a ik = a ik a qka ip a pq Diese Regel ist auch auf die b-spalte und die z-zeile anzuwenden. An einem abschließenden Beispiel soll die Effizienz des Verfahrens demonstriert werden. Beispiel.4: Zielfunktion: z = z(x, x 2, x 3 ) = 4x + 5x 2 + 9x 3! = Max x + x 2 3x 3 () Ungleichungssystem: x + 3x 2 x 3 3 (2) 3x x 2 x 3 3 (3) 3x 5x 2 + 3x 3 3 (4) 5x + 3x 2 + 3x 3 3 (5) x + x 2 + x 3 (6) x i 0 (7), (8), (9)

19 6 Lineare Optimierung Das zulässige Gebiet wird durch Ebenen begrenzt. Die Eckpunkte des Gebiets ergeben sich als Schnitt von jeweils drei Ebenen unter Beachtung der übrigen Ungleichungen. Bei neun Ungleichungen im IR 3 sind 3 aus 9, d.h. ( 9 3) = 84 Möglichkeiten zu untersuchen. Unser Simplex-Algorithmus liefert nach vier Schritten bereits den optimalen Punkt. Es ergeben sich die folgenden Eckpunkte: A(0 0 0), B( 0 0), C(0 0), D(0 0 ), E(3 3 3) BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 b i x x x x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 b i x x x x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 b i x x x x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 b i x x x x x x z Der Ursprung A(0 0 0) ist unzulässig, da das letzte Element der b-spalte negativ ist. Zur Auswahl der Spalte betrachtet man die Quotienten 4 = 4, 5 = 5, 9 = 9 a 6, = : Pivotelement B( 0 0) ist zulässiger Punkt. Die dritte Spalte wird Pivotspalte. Die Quotienten 8 8 =, = lassen die Wahl zwischen fünfter und sechster Zeile. a 5,3 = 8 : Pivotelement C(0 0) ist zulässiger Punkt. Es gibt noch einen negativen Eintrag in der z-zeile. Die Quotienten = 8, 0 3 = 0 bestimmen das Pivotelement. a 4,9 = 3 : Pivotelement D(0 0 ) ist zulässiger Punkt. Das zweite Element der z-zeile ist negativ. Die Quotienten 4/ 4 3 = 3, 4/ 4 3 = 3 lassen die Wahl zwischen zweiter und dritter Zeile. a 2,2 : Pivotelement

20 .5 Sonderfälle 7 BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 b i x x x x x x z Der Punkt E(3 3 3) ist bereits der optimale Punkt, da alle Einträge in der z-zeile positiv sind. Ein weiterer Austauschschritt würde zu einem kleineren Wert der Zielfunktion führen. Der optimale Wert der Zielfunktion ergibt sich aus dem Eintrag im Kreuzungspunkt von z-zeile und b-spalte mit Sonderfälle Im Folgenden untersuchen wir einige Sonderfälle, die beim Lösen linearer Optimierungsprobleme auftreten können. Wir versuchen vor allem aufzuzeigen, woran diese bei der Anwendung des Simplex-Algorithmus erkennbar sind. Die verschiedenen Fälle wollen wir uns an ausgewählten Beispielen klarmachen und im Zweidimensionalen durch eine Skizze verdeutlichen..5. Probleme, die keine Lösung besitzen Beispiel.5: x + x 2 0 (A) x x 2 0 (B) x + 4x 2 25 (C) x i 0 z = 2x + x 2! = Max. Wir versuchen mittels des dualen Simplex-Algorithmus eine zulässige Lösung zu finden: BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z In der ersten Zeile der b-spalte befindet sich noch ein negativer Wert. Die als Pivotelement in Frage kommenden Werte sind alle positiv. Somit kann kein weiterer Austauschschritt durchgeführt werden und der Algorithmus bricht ab.

21 8 Lineare Optimierung Die Geltungsbereiche der drei Ungleichungen (A, B, C) sind in der nebenstehenden Skizze verschieden schraffiert. Sie macht deutlich, dass alle drei Ungleichungen nicht gleichzeitig erfüllbar sind. Beobachtung: Sich widersprechende Ungleichungen machen sich dadurch bemerkbar, dass der duale Simplex- Algorithmus zur Bestimmung einer zulässigen Ausgangslösung abbricht. x 2 A P 2 C P 3 P B x.5.2 Probleme mit unbeschränktem zulässigem Bereich Bei solchen Bereichen kann eine endliche optimale Lösung nicht garantiert werden. Beispiel.6: x + x 2 0 (A) x x 2 0 (B) x i 0 z = x + 2x 2! = Max. BV x x 2 x 3 x 4 b i x x z BV x x 2 x 3 x 4 b i x x z Das umgeformte Tableau ist nicht optimal, da die z-zeile noch den negativen Wert 3 enthält. Trotzdem kann in der ersten Spalte kein Pivotelement bestimmt werden, da dort keine positiven Koeffizienten stehen. Die Variable x kann beliebig vergrößert werden; dabei wächst auch die Zielfunktion z = x 2x 2 unbeschränkt an. Verändern wir die Zielfunktion, so lässt sich ein optimaler Wert bestimmen! Beispiel.7: x + x 2 0 (A) x x 2 0 (B) x i 0 BV x x 2 x 3 x 4 b i x x z z = 2x + x 2! = Max. BV x x 2 x 3 x 4 b i x x z Das Tableau ist optimal; es existiert ein Optimum in der Ecke P (0 0). Dort ist z = 0

22 .5 Sonderfälle 9 Der Geltungsbereiche der zwei Ungleichungen (A, B) ist in der nebenstehenden Skizze schraffiert. Er ist unbeschränkt und kann für manche Zielfunktionen (z (x, x 2 )) zu beliebig großen Werten führen. Für andere Zielfunktionen (z 2 (x, x 2 )) kann dagegen ein Optimum existieren. Beobachtung: Bei unbeschränkten zulässigen Gebieten kann der Simplex- Algorithmus abbrechen, ohne eine optimale Lösung gefunden zu haben. x 2 z 2 = 2x + x 2 A P z = x + 2x 2 B x Eine solche Situation zeigt sich darin, dass es zwar noch negative Einträge in der z-zeile vorliegen, aber trotzddem kein weiterer Austauschschritt vollzogen werden kann. (Z. B. wenn in der zugehörigen Spalte nur negative Einträge stehen.) In der Praxis dürften häufig Eingabefehler die Ursache für solche Verhaltensweisen sein..5.3 Probleme mit mehreren optimalen Basislösungen Beispiel.8: 4x + 3x 2 48 (A) 4x + x 2 40 (B) x + 3x 2 30 (C) x i 0 BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z z = 4x + 3x 2! = Max. BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z Mit dem Punkt P (9 4) wurde ein optimaler Punkt gefunden. Wegen der 0 in der vierten Spalte der Zielfunktionszeile kann ein weiterer Austauschschritt vorgenommen werden, ohne dass sich der Wert der Zielfunktion ändert. Wir tauschen noch x 4 gegen x 5 aus und erhalten einen weiteren optimalen Wert.

23 20 Lineare Optimierung BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z Durch diesen weiteren Austauschschritt ergab sich eine weitere zulässige Lösung P 2 (6 8) mit demselben Wert für die Zielfunktion. Ein weiterer möglicher Austauschschritt (grau unterlegt) ergäbe wieder die ursprüngliche Lösung P (9 4). Aus nebenstehender Skizze wird deutlich, dass die Begrenzungsgerade für die Ungleichung (A) parallel zur Isoquante der Zielfunktion verläuft. Damit sind die Punkte auf der Strecke zwischen P und P 2 ebenfalls optimal. Beobachtung: Sind im Optimaltableau Zielfunktionskoeffizienten von Nichtbasisvariablen Null, so existieren mehrere optimale Lösungen. Man erhält die Eckpunkte durch weitere Austauschschritte. Alle Konvexkombinationen optimaler Punkte sind wieder optimal. C x 2 B A P 2 z = const. P x.5.4 Probleme mit degenerierter optimaler Basislösung Es sind Fälle denkbar, dass für einen optimalen Eckpunkt mehrere Tableaus existieren. Damit erhält man kein wohlbestimmtes Ende des Simplex-Algorithmus. Beispiel.9: 4x + 3x 2 48 (A) 4x + x 2 40 (B) x + 3x 2 30 (C) x + x 2 4 (D) x i 0 z = 3x + 4x 2! = Max. BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x x z

24 .5 Sonderfälle 2 BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x x z Aus nebenstehender Skizze wird deutlich, dass die Begrenzungsgerade für die Ungleichung (A, C, D) sich im Punkt P 2 schneiden. Deswegen erhalten wir für den Punkt P 2 (6 8) drei verschiedene Zustände des Tableaus. Beobachtung: Nimmt im Optimaltableau eine Basisvariable den Wert Null a an (b-spalte besitzt eine Null!), so kann man zum selben Schnittpunkt weitere Zustände des Tableaus mit optimalem Wert der Zielfunktion erzeugen. Dadurch besteht die Gefahr, dass der Algorithmus in einen Zyklus gerät. Dies muss gegebenenfalls beim Programmieren abgefangen werden. Die erste Komponente der b-spalte ist Null. Damit kann ein weiterer Austauschschritt durchgeführt werden, ohne dass sich der Wert der Zielfunktion ändert. Tauschen wir x 3 gegen x 6 aus, so ergibt ein weiterer optimaler Punkt mit denselben Werten für x, x 2. Das obere Tableau kann als Schnitt der Geraden C und D gedeutet werden, während sich das untere Tableau als Schnitt von A und C interpretieren lässt. Die jeweils andere Schlupfvariable nimmt dort den Wert Null an. Dies bedeutet, dass ein Schnittpunkt mit mehr als zwei Geraden vorliegt. Tauschen wir nochmals x 5 gegen x 6 aus, so erhält man wieder eine optimale Lösung. Der negative Koeffizient in der z-zeile stört nicht, da er bei einer Nichtbasisvariablen steht. Das entstehende Tableau ergibt sich beim Schnitt der Geraden A und D. x 2 A B C P 2 P z = 50 D x a Hat eine Basisvariable den Wert Null, so ist eine weitere Ungleichung zusätzlich genau erfüllt.

25 22 Lineare Optimierung.6 Ergänzungen.6. Gleichungen Kommen bei einem Optimierungsproblem auch Gleichungen vor, so sind verschiedene Lösungsmöglichkeiten offen. Zunächst kann man diese linearen Gleichungen dazu benutzen, die Anzahl der Variablen zu reduzieren. Diese Transformation der Variablen kann dazu führen, dass die Voraussetzung x i 0 verletzt wird und dann noch eine zusätzliche Verschiebung des Koordinatensystems notwendig macht. Als zweite Möglichkeit bietet sich an, die Gleichung zunächst wie eine Ungleichung zu behandeln und bei der Anwendung des Simplex-Algorithmus die zugehörige Schlupfvariable zur Nichtbasisvariablen zu erklären. Diese wird dann stets Null gesetzt und so die Gleichung erfüllt. Die geringste Abweichung vom gewohnten Vorgehen ergibt sich bei folgendem Trick: Man behandelt die Gleichung wie eine Ungleichung und bewertet sie künstlich in der Zielfunktion mit einem großen negativen Wert. Dies soll an folgendem Beispiel erläutert werden. Beispiel.0: 5x + 2x 2 + 3x 3 96 (A) x + 5x 2 96 (B) x + x 2 24 (C) x x 3 = 4 (D) x i 0 z = 5x + 8x 2 + x 3! = Max. Nach Einführung der Schlupfvariablen x 4... x 7 ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem: 5x + 2x 2 + 3x 3 + x 4 = 96 (A) x + 5x 2 + x 5 = 96 (B) x + x 2 + x 6 = 24 (C) x x 3 + x 7 = 4 (D) x i 0 Um den Simplex-Algorithmus zu zwingen die Variable x 7 zu Null zu machen, modifizieren wir die Zielfunktion wie folgt: z = 5x + 8x 2 + x 3 00x 7! = Max. Der übliche Simplex-Algorithmus ergibt das gesuchte Optimum. BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x x x x z

26 .6 Ergänzungen 23 BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 b i x x x x z Opportunitätskosten Zum Abschluss wollen wir das Resultat einer linearen Optimierungsaufgabe interpretieren. Die Bedeutung der Koeffizienten soll an folgendem Beispiel im Abschlusstableau veranschaulicht werden. Beispiel.: x + x 2 8 (A) 2x + x 2 4 (B) x + 2x 2 4 (C) x i 0 z = 4x + 3x 2! = Max. BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z Wir wollen nun die Koeffizienten der z-zeile des Schlusstableaus interpretieren. Zu den Schlupfvariablen x 3, x 4, x 5 gehören die Koeffizienten 2,, 0. Dies bedeutet, dass die Un-

27 24 Lineare Optimierung gleichungen (A) und (B) aktiv sind, während (C) keine Rolle spielt. Hätte x 3 den Wert, so erhöhte sich der Wert der Zielfunktion um 2. Dies bedeutet, dass eine Erhöhung der Grenze für die Ungleichung (A) um eine Einheit einen Zuwachs für die Zielfunktion um zwei Einheiten nach sich zieht. In der nachfolgenden Skizze ist die zu dieser Veränderung gehörende Vergrößerung des zulässigen Gebiets dunkel schraffiert. Die zur Zielfunktion gehörende Gerade 4x + 3x 2 = 30 kann vom Punkt P in den Punkt P verschoben werden. Entsprechend ergäbe sich bei der Erhöhung der Grenze für die Ungleichung (B) ein Zuwachs von einer Einheit für die Zielfunktion. Dies führt jedoch nur so lange zu einer Erhöhung der Zielfunktion, wie die übrigen Restriktionen nicht greifen. In unserem Beispiel hätte eine Erhöhung der Restriktion (A) um mehr als 4 keine Auswirkung mehr. 3 In der Skizze würde dies eine Parallelverschiebung von (A) in den Punkt P bedeuten. Wird umgekehrt die Restriktion (A) um eine Einheit verkleinert, so vermindert sich die Zielfunktion um 2. Man nennt diese Größen, die als entgangener Gewinn gedeutet werden können, Opportunitätskosten. A x 2 z B z 2 Begrenzungsgeraden mod. Begrenzungsgeraden Zielfunktion C P 2 P 2 P P C P Ã x

28 .6 Ergänzungen 25 Die zur nichtaktiven Ungleichung (C) gehörende Variable x 5 hat den Wert 4 (dritte Komponente der b-spalte). Dies bedeutet, dass eine Verkleinerung der Grenze für die Ungleichung (C) um vier Einheiten keinen Einfluss auf die optimale Lösung hat. In der Skizze ist diese Begrenzung mit C gekennzeichnet. Erhöhung von (A) um Einheit BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z Verminderung von (A) um 0.5 Einheiten BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z Erhöhung von (A) um 2 Einheiten BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z Verminderung von (C) um 4 Einheiten BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x z

29 26 Lineare Optimierung Wir formuliern allgemein: Die Zielfunktionskoeffizienten der Nichtbasisvariablen im optimalen Simplextableaugeben an, um wieviele Einheiten sich der Zielfunktionswert ändert, wenn bei einer Entscheidungsvariablen eine Einheit eines bisher nicht produzierten Erzeugnisses produziert wird. bei einer Schlupfvariablen eine bisher voll ausgelastete Restriktion um eine Einheit verändert wird. (unter Beachtung der übrigen Beschränkungen!) Beispiel.2: Ein Unternehmen stellt drei Produkttypen I, II, II her. Zur Produktion wird ein Rohstoff verwendet; jedes Produkt muss zwei Fertigungsstellen durchlaufen. Rohstoffmenge und die beiden Fertigungsstellen sind durch Kapazitätsschranken begrenzt. Verfügbare Kapazitäten und die Deckungsbeiträge für die Produkte sind der folgenden Tabelle zu entnehmen: Produkttyp verfügbare I II III Kapazität Fertigungsstelle A 4 h /ME 22 h /ME 2 7 h /ME 3 80 h Fertigungsstelle B h 2 /ME 4 h 2 /ME 2 h 2 /ME 3 30 h 2 Rohstoff kg/me 5 kg/me 2 2 kg/me 3 30 kg Deckungsbeiträge 8 C/ME 35 C/ME 2 3 C/ME 3 Die Entscheidungsvariablen x, x 2, x 3 bezeichnen produzierten Mengen in Mengeneinheiten ME i 3. Damit ergibt sich das folgende Optimierungsproblem: z = 8x + 35x 2 + 3x 3! = Max unter den Nebenbedingungen: 4x + 22x 2 + 7x 3 80 x + 4x 2 + x 3 30 x + 5x 2 + 2x 3 50 x i 0 Der Simplexalgorithmus führt zu den folgenden Tableaus. 3 Die Mengeneinheiten (ME) werden entsprechend dem Produktionstyp indiziert. Damit ist aus der Angabe einer Einheit sofort ewrsichtlich, um welches Produkt es sich handelt. Analog sind die übrigen Einheiten-Indicex zu verstehen (z. B. 2 h = 2 Stunden in der Fertigungsstelle usw.).

30 .6 Ergänzungen 27 BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z Zur Deutung der Koeffizienten der Zielfunktionszeile schreiben wir die letzte Zeile des Tableaus als Gleichung: 2x 2 + 3x 5 + 5x 6 + z = 340 z = 340 2x 2 3x 5 5x 6 Verändert man nun irgendeine Nichtbasisvariable um eine Einheit, so verändert sich der Deckungsbeitrag z genau in Höhe des entsprechenden Zielfunktionskoeffizienten. Im folgenden Tableau erhöhen wir die Schranken für die beiden letzten Bedingungen um Einheit. Rechentechnisch bedeutet dies für die Variablen x 5 und x 6 den Wert. BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z

31 28 Lineare Optimierung Der optimale Wert hat sich auf z = ( ) 5 ( ) = 348 erhöht. Führen wir einen weiteren Austauschschritt durch, um zu Erzwingen, dass sich x 2 0 ergibt, so erhalten wir: BV x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b i x x x z Für die zulässigen Produktionsmengen erhielten wir x = 0, x 2 =, x 3 3 = 5. Der Wert 3 der Zielfunktion hat sich um den entsprechenden Betrag vermindert: z = =

32 29 2 Transportprobleme Transportmodelle stellen eine spezielle, aber sehr wichtige Klasse von linearen Optimierungsaufgaben dar. Es handelt sich dabei nicht nur um Probleme auf dem Transportsektor, sondern um einen formalen Typ von Optimierungsaufgaben, die sich auch in anderen Bereichen (z. B. Produktionsplanung) ergeben. Zur Optimierung von Transportmodellen ist das zuvor behandelte Verfahren, das Simplex- Verfahren, relativ aufwendig. Unter Ausnutzung der speziellen Struktur verwendet man Spezialverfahren, die mit weniger Aufwand das Optimum ergeben. 2. Problemstellung Ein Gut ist an m Standorten in den Mengen a, a 2,... a m vorhanden und soll zu n Orten in den Mengen b, b 2,... b n transportiert werden. Dabei wird zunächst unterstellt, dass die Summe der Bestände genau der Summe der Bedarfsmengen entspricht. Die Transportkosten sollen linear mit den versandten Mengen ansteigen. Die Kosten für den Transport je Einheit des Guts von jedem Liefer- zu jedem Bedarfsort seien bekannt. Gesucht ist derjenige Transportplan, der zu minimalen Kosten führt. Für die mathematische Formulierung des Problems führen wir folgende Größen ein: a i : Bestand am Lieferort i ; i =, 2,... m b j : Bedarf am Bedarfsort j ; j =, 2,... n c ij : Transportkosten je Einheit vom Lieferort i zum Bedarfsort j x ij : Transportmenge vom Lieferort i zum Bedarfsort j (Entscheidungsvariable) K : gesamte Transportkosten (Entscheidungskriterium) Die zu minimierende Zielfunktion ergibt sich als Summe der Produkte aus Transportkosten je Einheit und transportierte Menge auf allen möglichen Routen. K = m i= n j= c ij x ij! = Min Die Annahme, dass im gesamten System die verfügbare Menge der benötigten Menge entspricht, wird durch die folgende Beziehung zwischen den Größen a i und b j wiedergegeben: m a i = i= n j= b j ( ) Diese Gleichgewichtsbedingung wird implizit eingehalten, wenn sicher gestellt wird, dass von jedem Lieferort genau die dort verfügbare Menge abtransportiert und an jedem Be-

33 30 2 Transportprobleme darfsort genau die dort benötigte Menge angeliefert wird. Daraus ergibt sich für jeden Liefer- bzw. Bedarfsort eine Gleichung der folgenden Art. n x ij = a i ; i =, 2,... m : Lieferort j= m x ij = b j ; j =, 2,... n : Bedarfsort i= Wegen der Gleichgewichtsbedingung ( ) sind die obigen (n+m) Gleichungen linear abhängig, d. h. es genügt, wenn wir nur (n + m ) dieser Nebenbedingungen berücksichtigen. Da nur nichtnegative Mengen sinnvoll sind, muss zusätzlich gelten: x ij 0 ; i =, 2,... m, j =, 2,... n Es handelt sich um ein spezielles lineares Optimierungsproblem. Dies soll an folgendem Zahlenbeispiel verdeutlicht werden. Wir wollen annehmen, dass von drei Fabrikationsstätten eines Unternehmens vier Abnehmer zu beliefern sind. In der nachstehenden Tabelle sind die Transportkosten je Mengeneinheit auf jeder möglichen Route sowie die Produktions- und Bedarfsmengen festgehalten. Abnehmer Nr Fabrik Nr. Transportkosten/Einheit Kapazität Bedarf Die Summe der Produktionsmengen beträgt ebenso wie die Summe der Verbrauchsmengen 38 Einheiten. Mit den angegebenen Daten lässt sich das folgende Transportmodell formulieren: Die Funktion K = 5x + 5x 2 + 2x 3 + 7x 4 + 8x 2 + 3x 22 + x x x 3 + 4x x x 34 ist zu minimieren unter den Nebenbedingungen x + x 2 + x 3 + x 4 = 9 x 2 + x 22 + x 23 + x 24 = 5 x 3 + x 32 + x 33 + x 34 = 4 Fabrik-Restriktionen