Matching. Organisatorisches. VL-18: Matching. (Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Gerhard Woeginger. Tanzabend

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1 Organisatorisches VL-18: Matching (Datenstrukturen und Algorithmen, SS 2017) Gerhard Woeginger Vorlesung: Gerhard Woeginger (Zimmer 4024 im E1) Sprechstunde: Mittwoch 11:15 12:00 Übungen: Tim Hartmann, David Korzeniewski, Björn Tauer Webseite: SS 2017, RWTH Nächste Vorlesung: Donnerstag, Juli 6, Aula 1, zur gewohnten Zeit DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 1/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 2/37 Tanzabend Grundlegende Definitionen Matching Algorithmus für bipartites Matching Satz von Hall Satz von König Algorithmus für gewichtetes bipartites Matching... möchte gerne tanzen mit... Anna Cor, Dirk Bea Adrian, Bernhard, Cor, Dirk Carrie Bernhard, Edward Doris Adrian, Edward, Frank, Greg Eva Adrian, Bernhard, Frank, Harry Francis Edward, Greg Gwen Edward, Frank, Harry, Ivo Hilda John, Kurt Ingrid Greg, Harry, Ivo Jeanette Greg, Kurt, Lambert Katie John, Kurt, Lambert Laura Ivo, Kurt DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 3/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 4/37

2 Anna Adrian Anna Adrian Bea Bernhard Bea Bernhard Carrie Cor Carrie Cor Doris Dirk Doris Dirk Eva Edward Eva Edward Francis Frank Francis Frank Gwen Greg Gwen Greg Hilda Harry Hilda Harry Ingrid Ivo Ingrid Ivo Jeanette John Jeanette John Katie Kurt Katie Kurt Laura Lambert Laura Lambert DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 5/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 6/37 Tanzabend: Komplikationen (1) Jeanette will auf einmal nicht mehr mit Greg tanzen Dafür will Jeanette nun mit John tanzen Gwen möchte nun doch mit Greg tanzen Und so weiter... möchte gerne tanzen mit... Anna Cor, Dirk Bea Adrian, Bernhard, Cor, Dirk Carrie Bernhard, Edward Doris Adrian, Edward, Frank, Greg Eva Adrian, Bernhard, Frank, Harry Francis Edward, Greg Gwen Edward, Frank, Greg, Harry, Ivo, John Hilda John, Kurt Ingrid Greg, Harry, Ivo, John Jeanette John, Kurt, Lambert Katie John, Kurt, Lambert Laura John, Kurt Anna Bea Carrie Doris Eva Francis Gwen Hilda Ingrid Jeanette Katie Laura Adrian Bernhard Cor Dirk Edward Frank Greg Harry Ivo John Kurt Lambert DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 7/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 8/37

3 Tanzabend: Komplikationen (2) Einfache Erklärung Betrachte die vier Frauen Hilda, Jeanette, Katie und Laura. Diese vier wollen nur mit John, Kurt und Lambert tanzen. Anna Bea Carrie Doris Eva Francis Gwen Hilda Ingrid Jeanette Katie Laura Adrian Bernhard Cor Dirk Edward Frank Greg Harry Ivo John Kurt Lambert DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 9/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 10/37 Matchings (1) Definitionen Definition: Matching Es sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Eine Kantenmenge M E heisst Matching, falls je zwei verschiedene Kanten in M disjunkt sind (Für alle e, e M mit e e gilt e e = ) Ein Knoten v V wird von einem Matching M überdeckt, falls v e für eine Kante e M gilt. Definition: Bipartiter Graph Ein Graph G = (V, E) heisst bipartit, falls es eine Partition V = X Y der Knotenmenge gibt, sodass E X Y. Beispiel: Tanzabend mit X =Frauen und Y =Männer DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 11/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 12/37

4 Matchings (2) Problem: MATCHING Gegeben: Ein ungerichteter Graph G = (V, E) Gesucht: Ein Matching M E mit maximaler Kardinalität Problem: BIPARTITES MATCHING Gegeben: Ein ungerichteter bipartiter Graph G = (V, E) Gesucht: Ein Matching M E mit maximaler Kardinalität Algorithmus für BIPARTITES MATCHING In dieser Vorlesung werden wir uns hauptsächlich mit BIPARTITEN MATCHINGs beschäftigen. DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 13/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 14/37 Arbeitsplan Augmentierende Pfade (1) Arbeitsplan Wir beginnen mit dem leeren Matching M = Wir lassen das Matching M Schritt für Schritt wachsen Jeder Schritt erhöht die Kardinalität M um 1 Wenn wir stecken bleiben, ist M ein Matching maximaler Kardinalität Definition Es sei G = (V, E) ein Graph, und es sei M E ein Matching. Ein u-v-pfad heisst M-augmentierend, wenn die Endpunkte u und v nicht von M überdeckt werden, und wenn die Kanten abwechselnd zu E M und M gehören. = u v DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 15/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 16/37

5 Augmentierende Pfade (2) Augmentierende Pfade (3) u v Beobachtung Es sei G = (V, E) ein Graph; es sei M E ein Matching; es sei P ein M-augmentierender u-v-pfad. Wenn wir die Kanten in P M aus M entfernen, und die Kanten in P (E M) zu M dazugeben, so erhalten wir ein neues Matching M mit M = M + 1. u v Wichtiges Unterproblem Gegeben: Ein bipartiter Graph G = (V, E) mit Bipartition V = X Y ; ein Matching M E in G Gesucht: Ein M-augmentierender Pfad DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 17/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 18/37 Wie findet man einen augmentierenden Pfad? (1) Wie findet man einen augmentierenden Pfad? (2) Gegeben: bipartiter Graph G = (V, E) mit V = X Y ; Matching M Gesucht: Ein M-augmentierender Pfad Es seien X X und Y Y die nicht von M überdeckten Knoten Wir definieren einen gerichteten Hilfsgraphen: Knotenmenge X Y {s, t} Kante (s, x) für x X ; Kante (y, t) für y Y ; Kante (x, y) wenn {x, y} E M; Kante (y, x) wenn {x, y} M Beobachtung Gerichteter Pfad s u z 1 z 2 z k v t im Hilfsgraphen entspricht direkt einem M-augmentierenden Pfad u, z 1, z 2,..., z k, v im bipartiten G. Beobachtung Gerichteter Pfad s u z 1 z 2 z k v t im Hilfsgraphen entspricht direkt einem M-augmentierenden Pfad u, z 1, z 2,..., z k, v im bipartiten G. Satz Durch Anwendung von Breitensuche oder Tiefensuche im gerichteten Hilfsgraphen können wir in O( V + E ) Zeit einen M-augmentierenden Pfad im bipartiten Graphen G = (V, E) entdecken (oder feststellen, dass es keinen M-augmentierenden Pfad gibt). DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 19/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 20/37

6 Und wenn es keinen augmentierenden Pfad gibt? Zusammenfassung Satz Für ein Matching M E in einem bipartiten Graphen G = (V, E) gilt genau eine der beiden folgenden Aussagen: (a) M ist ein Matching mit maximaler Kardinalität (b) Es existiert ein M-augmentierender Pfad (a) (b): (a) (b): ist klar muss bewiesen werden Betrachte optimales Matching M mit maximaler Kardinalität Der Graph (V, M M ) besteht aus Kreisen und Pfaden Kreise haben gerade Länge Pfade haben gerade oder ungerade Länge Theorem In einem bipartiten Graphen G = (V, E) kann ein Matching mit maximaler Kardinalität in O( V E ) Zeit berechnet werden. Ein einzelner augmentierender Pfad kostet O( V + E ) Zeit Es muss höchstens V /2-mal augmentiert werden DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 21/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 22/37 Perfekte Matchings Definition: Perfektes Matching Ein Matching M in einem Graphen G = (V, E) heisst perfekt, falls M alle Knoten in V überdeckt. Der Satz von Philip Hall Hall Bedingung Für bipartite Graphen G = (X Y, E) lautet die Hall Bedingung: ( ) für alle S X gilt: N(S) S Notation: N(S)= Menge aller Nachbarn von Knoten v S Beobachtung Wenn ein bipartiter Graph G = (X Y, E) ein perfektes Matching hat, so erfüllt er die Hall Bedingung ( ). DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 23/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 24/37

7 Satz von Hall (1) Satz (Hall, 1935) Ein bipartiter Graph G=(X Y, E) mit X = Y hat perfektes Matching, genau dann wenn die Hall Bedingung ( ) erfüllt ist. Für den Beweis betrachten wir uns den gerichteten Hilfsgraphen genauer, und bauen den Suchbaum langsam und Schritt für Schritt auf. Start: Wähle Knoten x 1, der von M nicht überdeckt wird. Schritt k: Betrachte x 1,..., x k und y 1,..., y k 1 aus früheren Schritten Wegen ( ) existiert neues y k, das zu einem der x i benachbart ist Zeichne blauen Pfeil von y k zu einem Nachbarn x i Falls y k von M überdeckt: Zeichne roten Pfeil von y k zum Partner x k+1 in M; NEXT Falls y k von M nicht überdeckt: STOP Extrahiere M-augmentierenden Pfad Satz von Hall (2) > > > > > s x 1 y 1 x 2 y 3 x 4 V V > y 2 y 5 x 6 V > > > > x 3 y 4 x 5 y 6 x 7 V V V > > y 7 x 8 y 8 x 9 y 9 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 25/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 26/37 Vertex Cover Satz von Dénes König Definition: Vertex Cover Es sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Eine Knotenmenge C V heisst Vertex Cover, falls jede Kante e E zu mindestens einem Knoten in C inzident ist. ν(g) := Kardinalität des grössten Matchings in G τ(g) := Kardinalität des kleinsten Vertex Covers in G Beobachtung Jeder Graph G = (V, E) erfüllt ν(g) τ(g). Anmerkung: Strikte Ungleichheit möglich; zum Beispiel ν(c 5 ) < τ(c 5 ) DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 27/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 28/37

8 Satz von König Satz (König, 1931) In einem bipartiten Graphen G = (X Y, E) gilt ν(g) = τ(g). Betrachte grösstes Matching M in G. Für jede Kante {x, y} M mit x X und y Y : Falls y im Hilfsgraphen von s aus erreichbar: y C Falls y im Hilfsgraphen von s nicht erreichbar: x C Betrachte beliebige Kante e = {x, y } E Dann e M, oder {x, y } M, oder {x, y } M In jedem dieser Fälle erhalten wir entweder x C oder y C oder wir finden einen augmentierenden Pfad im Hilfsgraphen Algorithmus für GEWICHTETES BIPARTITES MATCHING DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 29/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 30/37 Gewichtetes Matching (1) Problem: GEWICHTETES MATCHING Gegeben: Graph G = (V, E); Kantengewichte w : E R Gesucht: Ein Matching M E mit maximalem Gewicht w(m) Problem: GEWICHTETES BIPARTITES MATCHING Gegeben: bipartiter Graph G = (V, E); Kantengewichte w : E R Gesucht: Ein Matching M E mit maximalem Gewicht w(m) Notation: w(m) := e M w(e) versus Gewichtetes Matching (2) Definition Es sei G = (V, E) ein bipartiter Graph mit Kantengewichten w : E R. Ein Matching M E heisst k-extrem, wenn M = k und w(m ) w(m) für alle Matchings M E mit M = k Arbeitsplan: M 0 = ist 0-extremes Matching Für k 1: Konstruiere k-extremes Matching M k aus (k 1)-extremem M k 1 Output = Matching M k mit grösstem Gewicht DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 31/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 32/37

9 Vom (k 1)-extremen zum k-extremen Matching (1) Vom (k 1)-extremen zum k-extremen Matching (2) Sei G = (V, E) ein bipartiter Graph mit Kantengewichten w : E R Sei M k 1 ein (k 1)-extremes Matching Wir definieren für jede Kante e E eine reelle Länge l(e) = w(e), wenn e M k 1 l(e) = w(e), wenn e / M k 1 Satz Es sei P ein M k 1 -augmentierender Pfad mit minimaler Länge l(p). Die symmetrische Differenz M k 1 P ist k-extremes Matching M k. Der Graph (V, M k 1 M k ) besteht aus Kreisen und Pfaden Kreise haben gerade Länge Pfade haben gerade oder ungerade Länge Genau wie auf der letzten Folie: Sei G = (V, E) ein bipartiter Graph mit Kantengewichten w : E R Sei M k 1 ein (k 1)-extremes Matching Fast genau wie im ungewichteten Fall: Wir definieren gerichteten Hilfsgraphen mit: Knotenmenge X Y {s, t} Kante (s, x) mit Länge 0 für x X ; Kante (y, t) mit Länge 0 für y Y ; Kante (x, y) mit Länge w({x, y}) wenn {x, y} E M k 1 ; Kante (y, x) mit Länge w({x, y}) wenn {x, y} M k 1 Satz Der Hilfsgraphen enthält keinen Kreis mit negativer Länge. Ergo: Bellman-Ford ist anwendbar DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 33/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 34/37 Gewichtetes Matching: Hauptresultat Schlussbemerkungen In dieser Vorlesung haben wir schnelle Algorithmen für BIPARTITES MATCHING und GEWICHTETES BIPARTITES MATCHING entwickelt. Theorem In einem kanten-gewichteten bipartiten Graphen G = (V, E) kann ein Matching mit maximalem Gewicht in O( V 2 E ) Zeit berechnet werden. Es muss höchstens V -mal augmentiert werden Eine Augmentation kostet O( V E ) Zeit mit Bellman-Ford Die Literatur enthält allgemeinere Resultate: Theorem In einem (nicht notwendigerweise bipartiten) Graphen G = (V, E) kann ein Matching mit maximaler Kardinalität in O( V E ) Zeit berechnet werden. Theorem In einem (nicht notwendigerweise bipartiten) Graphen G = (V, E) mit Kantengewichten w : E R kann ein Matching mit maximalem Gewicht in O( V 2 E ) Zeit berechnet werden. DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 35/37 DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 36/37

10 Organisatorisches Nächste Vorlesung: Donnerstag, Juli 6, Aula 1, zur gewohnten Zeit Webseite: DSAL/SS 2017 VL-18: Matching 37/37

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