Universität des Saarlandes

Transkript

1 Universität des Saarlandes FR 6.2 Informatik Prof. Dr. Kurt Mehlhorn WiSe 2015/2016 Übungen zu Ideen der Informatik Beispielklausur Abgabeschluss: Bitte beachten Sie, dass der Umfang dieser Beispielklausur nicht dem Umfang der End- und Nachklausur entspricht. Diese Beispielklausur bemüht sich darum, in der Art und Weise der Aufgabenstellungen, ähnlich zur End- und Nachklausur zu sein. Selbstverständlich sind Themen, die in den kommenden Wochen noch in der Vorlesung behandelt werden, genauso für die End- und Nachklausur relevant, wie alle bereits behandelten. Aufgabe 1 (10 Punkte) a) Erklären Sie das Teile und Herrsche - Prinzip anhand von Binärsuche. (3 Punkte) b) Erörtern Sie die Voraussetzung für die Anwendbarkeit von Binärsuche und nennen Sie die Laufzeit des Verfahrens. (2 Punkte) c) Demonstrieren Sie den Algorithmus anhand des folgenden Beispiels [Neon, Argon, Helium, Xenon, Radon, Krypton] indem Sie das einzige radioaktive Edelgas (Radon) suchen. (Denken Sie daran nötigenfalls die Voraussetzung aus b) zu schaffen.) Illustrieren Sie sämtliche Schritte! (3 Punkte) d) Welchen Aufwand müssen Sie im Allgemeinen betreiben um die Voraussetzung aus b.) zu schaffen? (2 Punkte) Lösung: a) Teile und Beherrsche zerlegt ein Problem in ein oder mehrere Teilprobleme der gleichen Art und löst diese dann rekursiv. Triviale Probleme werden direkt gelöst. Bei der Binärsuche nach x in einer sortierten Folge L bedeutet das folgendes. Wenn L leer ist (triviales Problem), dann erklären wir die Suche erfolglos. Wenn L nicht leer ist und n Elemente hat, vergleichen wir x mit L[m], wobei m = n/2 (notfalls aufrunden). Falls x = L[m] ist die Suche erfolgreich. Falls x < L[m], setzen wir die Suche auf L[1..m 1] fort. Falls x > L[m], setzen wir die Suche auf L[m + 1..n] fort. b) Die Folge L muss aufsteigend sortiert sein. Binärsuche braucht dann eine logarithmische Anzahl von Vergleichen, nämlich k Vergleiche auf einer Folge der Länge n = 2 k 1.

2 c) Wir sortieren und erhalten [Argon, Helium, Krypton, Neon, Radon, Xenon] Die Liste hat 6 Elemente. Wir vergleichen Radon mit dem 3ten Element der Liste und erhalten Krypton < Radon. Daher suchen wir in [Neon, Radon, Xenon] weiter. Die Liste hat nun 3 Elemente und wir vergleichen Radon mit dem 2ten Element. Die Suche endet erfolgreich. d) Sortieren durch Mischen sortiert n elemente mit n log n Vergleichen. Aufgabe 2 (5 Punkte) a) Nennen Sie eine Methode zur von Lösung linearer Optimierungs Problemen. (1 Punkt) b) Auf welchen Graphen funktioniert Dijkstra s Algorithmus und was muss man bei den Kantengewichten beachten? (1 Punkt) c) Nennen Sie ein asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren. (1 Punkt) d) Nennen Sie eine Errungenschaft von Alan Turing. (1 Punkt) e) Mit welchem Algorithmus kann man die Wichtigkeit von Webseiten berechnen? (1 Punkt) Lösung: a) Fourier-Motzkin oder Simplexmethode. b) Gerichtete Graphen mit nichtnegativen Kantengewichten. c) RSA oder El-Gamal Verfahren. d) Erfinder der Turingmaschine, Brechen der Verschlüsselung der deutschen Wehrmacht, Erklärung der Musterbildung in der Biologie. e) Pagerankalgorithmus. Dazu erstellt man ein Gleichungssystem für die Wichtigkeit von Webseiten und löst es entweder iterativ oder mit Gausselimination.

3 Aufgabe 3 (10 Punkte) Der folgende Algorithmus nennt sich Breitensuche. Als Eingabe dient ein Startknoten s und ein ungerichteter Graph G = (V, E), wobei V die Knoten- und E die Kantenmenge bezeichnen. Algorithmus 1 : Breitensuche Eingabe : G = (V, E) sowie ein Startknoten s 1 färbe alle Knoten weiß 2 färbe s schwarz 3 L = eine leere Liste 4 für jeden Nachbarn w von s tue 5 hänge (s, w) ans Ende von L an. 6 solange L nicht leer ist tue 7 Sei (u, v) der erste Eintrag in L 8 wenn v weiß ist dann 9 färbe v schwarz 10 für jeden Nachbarn w von v tue 11 Hänge (v, w) an L an. 12 Lösche den ersten Eintrag aus L a) Führen Sie den Algorithmus auf dem folgenden Graphen aus. Beginnen Sie am Knoten a. Wenn Sie über die Nachbarn eines Knoten iterieren, so tun Sie dies immer in alphabethischer Reihenfolge. Markieren Sie in der Abbildung die schwarzen Knoten und die Reihenfolge, in der sie schwarz gefärbt wurden. (5 Punkte) d f e a c f b g b) Überlegen Sie sich eine Abschätzung an den Aufwand des Algorithmus abhängig von n = V und m = E. Überlegen Sie sich dazu, wie oft eine Kante zu L hinzugefügt werden kann und wieviel Aufwand der Algorithmus für jede Kante in L betreibt. (5 Punkte)

4 Lösung: a) Ich gebe die Schritte an, wie sie nacheinander ausgeführt werden. (a) Alle Knoten werden weiß gefärbt. (b) a wird schwarz gefärbt. (c) L = leere Liste (d) a hat nur einen Nachbarn, nämlich c. Ich hänge (a, c) an L an. Also L = [(a, c)]. (e) L ist nicht leer, ich trete in dem Rumpf der Schleife ein. (f) Das erste Element von L ist (a, c) (g) c is weiß; ich trete also in den Rumpf der inneren Schleife ein. (h) c wird nun schwarz gefärbt. (i) c hat die Nachbarn a, b und e. Ich hänge (c, a), (c, b) und (c, e) an L an und erhalte L = [(a, c), (c, a), (c, b), (c, e)]. (j) Ich lösche den ersten Eintrag von L und erhalte L = [(c, a), (c, b), (c, e)]. (k) L ist nicht leer, ich trete also wieder in den Rumpf der Schleife ein. (l) Der erste Eintrag von L ist (c, a). (m) Da a bereits scharz ist, trete ich nicht in dem Rumpf der inneren Schleife ein. (n) Ich lösche den ersten Eintrag von L und erhalte L = [(c, b), (c, e)]. (o) L ist nicht leer, ich trete in dem Rumpf der Schleife ein. (p) Das erste Element von L ist (c, b) (q) b is weiß; ich trete also in den Rumpf der inneren Schleife ein. (r) b wird nun schwarz gefärbt. (s) b hat die Nachbarn c, und g. Ich hänge (b, c), (b, g) an L an und erhalte L = [(c, b), (c, e), (b, c), (b, g)]. (t) Ich lösche den ersten Eintrag von L und erhalte L = [(c, e), (b, c), (b, g)]. (u) L ist nicht leer, ich trete also wieder in den Rumpf der Schleife ein. (v) Der erste Eintrag von L ist (c, e). (w) e is weiß; ich trete also in den Rumpf der inneren Schleife ein. (x) e wird nun schwarz gefärbt. (y) e hat die Nachbarn c, d und f. Ich hänge (e, c), (e, d) und (e, f) an L an und erhalte L = [(c, e), (b, c), (b, g)(e, c), (e, d), (e, f)]. (z) Ich lösche den ersten Eintrag von L und erhalte L = [(b, c), (b, g)(e, c), (e, d), (e, f)]. (a) L ist nicht leer, ich trete also wieder in den Rumpf der Schleife ein. (b) Der erste Eintrag von L ist (b, c). (c) Da c bereits scharz ist, trete ich nicht in dem Rumpf der inneren Schleife ein. (d) Ich lösche den ersten Eintrag von L und erhalte L = [(b, g)(e, c), (e, d), (e, f)].

5 (e) L ist nicht leer, ich trete in dem Rumpf der Schleife ein. (f) Das erste Element von L ist (b, g) (g) g is weiß; ich trete also in den Rumpf der inneren Schleife ein. (h) g wird nun schwarz gefärbt. (i) g hat die Nachbarn b, und f. Ich hänge (g, b), (g, f) an L an und erhalte L = [(b, g)(e, c), (e, d), (e, f), (g, b), (g, f)]. (j) Ich lösche den ersten Eintrag von L und erhalte L = [(e, c), (e, d), (e, f), (g, b), (g, f)]. (k) L ist nicht leer, ich trete also wieder in den Rumpf der Schleife ein. (l) Der erste Eintrag von L ist (e, c). (m) Da c bereits scharz ist, trete ich nicht in dem Rumpf der inneren Schleife ein. (n) Ich lösche den ersten Eintrag von L und erhalte L = [(e, d), (e, f), (g, b), (g, f)]. (o) L ist nicht leer, ich trete in dem Rumpf der Schleife ein. (p) Das erste Element von L ist (e, d) (q) d is weiß; ich trete also in den Rumpf der inneren Schleife ein. (r) d wird nun schwarz gefärbt. (s) d hat den Nachbarn e..ich hänge (d, e) an L an und erhalte L = [(e, d), (e, f), (g, b), (g, f), (d, e)]. (t) Ich lösche den ersten Eintrag von L und erhalte L = [(e, f), (g, b), (g, f), (d, e)]. (u) L ist nicht leer, ich trete in dem Rumpf der Schleife ein. (v) Das erste Element von L ist (e, f) (w) f is weiß; ich trete also in den Rumpf der inneren Schleife ein. (x) f wird nun schwarz gefärbt. (y) f hat die Nachbarn e und g. Ich hänge (f, e) und (f, g) an L an und erhalte L = [(e, f), (g, b), (g, f), (d, e), (f, e), (f, g)]. (z) Ich lösche den ersten Eintrag von L und erhalte L = [(g, b), (g, f), (d, e), (f, e), (f, g)]. (a) L ist nicht leer, ich trete in dem Rumpf der Schleife ein. (b) Das erste Element von L ist (g, b) (c) b ist schwarz. Ich trete also nicht in den Rumpf der inneren Schleife ein. (d) Ich streiche das erste Element von L und erhalte L = [(g, f), (d, e), (f, e), (f, g)]. (e) L ist nicht leer, ich trete in dem Rumpf der Schleife ein. (f) Das erste Element von L ist (g, f) (g) f ist schwarz. Ich trete also nicht in den Rumpf der inneren Schleife ein. (h) Ich streiche das erste Element von L und erhalte L = [(d, e), (f, e), (f, g)]. (i) L ist nicht leer, ich trete in dem Rumpf der Schleife ein. (j) Das erste Element von L ist (d, e) (k) e ist schwarz. Ich trete also nicht in den Rumpf der inneren Schleife ein.

6 (l) Ich streiche das erste Element von L und erhalte L = [(f, e), (f, g)]. (m) L ist nicht leer, ich trete in dem Rumpf der Schleife ein. (n) Das erste Element von L ist (f, e) (o) e ist schwarz. Ich trete also nicht in den Rumpf der inneren Schleife ein. (p) Ich streiche das erste Element von L und erhalte L = [(f, g)]. (q) L ist nicht leer, ich trete in dem Rumpf der Schleife ein. (r) Das erste Element von L ist (f, g) (s) g ist schwarz. Ich trete also nicht in den Rumpf der inneren Schleife ein. (t) Ich streiche das erste Element von L und erhalte L = []. (u) L ist leer und der Algorithmus endet. Alle Knoten werden schwarz gefärbt und zwar in der Reihenfolge: a, c, b, e, g, d, f. Anmerkung KM: Die Ausführung dieses Programms ist zu lang. Das nächste Mal nehmen wir einen kleineren Graphen oder ein schnelleres Programm. Etwa. Algorithmus 2 : Breitensuche Eingabe : G = (V, E) sowie ein Startknoten s 1 färbe alle Knoten weiß 2 L = eine Liste bestehend aus dem Element s. solange L nicht leer ist tue 3 Sei v der erste Eintrag in L 4 wenn v weiß ist dann 5 färbe v schwarz 6 für jeden Nachbarn w von v tue 7 Falls w weiß ist und nicht bereits in L enthalten ist, hänge w an L an. 8 Lösche den ersten Eintrag aus L b) Jede Kante wird zweimal zu L hinzugefügt und zwar einmal in jeder Richtung. Ein Knoten kann nur einmal von weiß nach schwarz umgefärbt werden. Wenn wir einen Knoten umfärben, nehmen wir alle ausgehenden Kanten in L auf. Also wird jede Kante zweimal zu L hinzugefügt und zwar einmal in jeder Richtung. Wenn wir eine Kante aus L entfernen, überprüfen wir die Farbe eines Endpunkts. Falls der Knoten umgefärbt wird, dann laufen wir über wie oben erwähnt über die Nachbarn. Also ist der Aufwand proportional zur Anzahl der Knoten und Kanten.