Studientag zur Algorithmischen Mathematik

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1 Studientag zur Algorithmischen Mathematik Eulertouren, 2-Zusammenhang, Bäume und Baumisomorphismen Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 22. Mai 2011

2 Outline Eulertouren Charakterisierung im Fall ungerichteter Graphen Gerichtete Eulertouren Zweizusammenhang Operationen auf Multigraphen Bäume Charakterisierung von Bäumen Isomorphietest von Bäumen

3 Eulertouren Eine Eulertour ist ein geschlossener Spaziergang, der jede Kante genau einmal besucht.

4 Eulertouren Eine Eulertour ist ein geschlossener Spaziergang, der jede Kante genau einmal besucht. G ist eulersch : G hat Eulertour

5 Eulertouren Eine Eulertour ist ein geschlossener Spaziergang, der jede Kante genau einmal besucht. G ist eulersch : G hat Eulertour ist eulersch 4

6 Eulertouren Eine Eulertour ist ein geschlossener Spaziergang, der jede Kante genau einmal besucht. G ist eulersch : G hat Eulertour ist eulersch 4 ist nicht eulersch

7 Eulersche Graphen Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind (i) G ist eulersch. (ii) G ist zusammenhängend und v V : deg(v) ist gerade. (iii) G ist zusammenhängend und E ist kantendisjunkte Vereinigung von Kreisen.

8 Eulersche Graphen Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind (i) G ist eulersch. (ii) G ist zusammenhängend und v V : deg(v) ist gerade. (iii) G ist zusammenhängend und E ist kantendisjunkte Vereinigung von Kreisen. Beweis. (i) (ii): klar (genauso oft rein wie raus).

9 Eulersche Graphen Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind (i) G ist eulersch. (ii) G ist zusammenhängend und v V : deg(v) ist gerade. (iii) G ist zusammenhängend und E ist kantendisjunkte Vereinigung von Kreisen. Beweis. (i) (ii): klar (genauso oft rein wie raus). (ii) = (iii): Wähle v 0 V und laufe solange noch neue Kanten gefunden werden.

10 Eulersche Graphen Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind (i) G ist eulersch. (ii) G ist zusammenhängend und v V : deg(v) ist gerade. (iii) G ist zusammenhängend und E ist kantendisjunkte Vereinigung von Kreisen. Beweis. (i) (ii): klar (genauso oft rein wie raus). (ii) = (iii): Wähle v 0 V und laufe solange noch neue Kanten gefunden werden. Da deg(v) gerade ist, endet dieses Vorgehen in v 0.

11 Eulersche Graphen Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind (i) G ist eulersch. (ii) G ist zusammenhängend und v V : deg(v) ist gerade. (iii) G ist zusammenhängend und E ist kantendisjunkte Vereinigung von Kreisen. Beweis. (i) (ii): klar (genauso oft rein wie raus). (ii) = (iii): Wähle v 0 V und laufe solange noch neue Kanten gefunden werden. Da deg(v) gerade ist, endet dieses Vorgehen in v 0. Enferne die so gefundenen Kreise und fahre rekursiv fort, bis der Graph leer ist.

12 Eulersche Graphen Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind (i) G ist eulersch. (ii) G ist zusammenhängend und v V : deg(v) ist gerade. (iii) G ist zusammenhängend und E ist kantendisjunkte Vereinigung von Kreisen. Beweis. (i) (ii): klar (genauso oft rein wie raus). (ii) = (iii): Wähle v 0 V und laufe solange noch neue Kanten gefunden werden. Da deg(v) gerade ist, endet dieses Vorgehen in v 0. Enferne die so gefundenen Kreise und fahre rekursiv fort, bis der Graph leer ist. (iii) = (i): Setze Kreise zu Tour zusammen.

13 Beispiel:

14 Beispiel:

15 Beispiel:

16 Beispiel:

17 Beispiel:

18 Beispiel:

19 Beispiel:

20 Beispiel:

21 Beispiel:

22 Genauso oft rein wie raus Satz: Sei D = (V, A) ein gerichteter Graph. Äquivalent sind (1) D eulersch (2) D zusammenhängend und v V : deg + (v) = deg (v) (3) D zusammenhängend und A disjunkte Vereinigung von gerichteten Kreisen

23 Zweizusammenhang G = (V, E) heißt k-zusammenhängend (k 2), falls V k + 1 und beim Löschen von k 1 Knoten bleibt G zusammenhängend

24 Zweizusammenhang G = (V, E) heißt k-zusammenhängend (k 2), falls V k + 1 und beim Löschen von k 1 Knoten bleibt G zusammenhängend Beispiel ist 2-zusammenhängend.

25 Zweizusammenhang G = (V, E) heißt k-zusammenhängend (k 2), falls V k + 1 und beim Löschen von k 1 Knoten bleibt G zusammenhängend Beispiel ist 2-zusammenhängend. ist nicht 2-zusammenhängend.

26 Zweizusammenhang G = (V, E) heißt k-zusammenhängend (k 2), falls V k + 1 und beim Löschen von k 1 Knoten bleibt G zusammenhängend Beispiel ist 2-zusammenhängend. ist nicht 2-zusammenhängend. Schnittknoten

27 Ohrenzerlegungen Eine Ohrenzerlegung (C 0, P 1, P 2,..., P m ) besteht aus einem Kreis (C 0 ) und Pfaden (P i ) beliebiger Länge, die wie folgt angefügt werden:

28 C 0 P 2 Outline Eulertouren Zweizusammenhang Operationen auf Multigraphen Bäume Ohrenzerlegungen Eine Ohrenzerlegung (C 0, P 1, P 2,..., P m ) besteht aus einem Kreis (C 0 ) und Pfaden (P i ) beliebiger Länge, die wie folgt angefügt werden: erlaubt: P 1 P 3

29 Ohrenzerlegungen Eine Ohrenzerlegung (C 0, P 1, P 2,..., P m ) besteht aus einem Kreis (C 0 ) und Pfaden (P i ) beliebiger Länge, die wie folgt angefügt werden: erlaubt: C 0 P 2 P 1 P 3 nicht erlaubt: C 0 P 1 P 2 P 2 ist kein Ohr, da P 2 kein Pfad, sondern Kreis ist

30 Zweizusammenhang und Ohrenzerlegungen Satz Sei G = (V, E) Graph. Paarweise äquivalent sind: (i) G ist 2-zusammenhängend (ii) je zwei Knoten liegen auf gemeinsamem Kreis (iii) G hat Ohrenzerlegung

31 Zweizusammenhang und Ohrenzerlegungen Satz Sei G = (V, E) Graph. Paarweise äquivalent sind: (i) G ist 2-zusammenhängend (ii) je zwei Knoten liegen auf gemeinsamem Kreis (iii) G hat Ohrenzerlegung Beweis. (ii) (i): klar.

32 Zweizusammenhang und Ohrenzerlegungen Satz Sei G = (V, E) Graph. Paarweise äquivalent sind: (i) G ist 2-zusammenhängend (ii) je zwei Knoten liegen auf gemeinsamem Kreis (iii) G hat Ohrenzerlegung Beweis. (ii) (i): klar. (i) (ii): Induktion nach n :=dist(u, v).

33 Zweizusammenhang und Ohrenzerlegungen Satz Sei G = (V, E) Graph. Paarweise äquivalent sind: (i) G ist 2-zusammenhängend (ii) je zwei Knoten liegen auf gemeinsamem Kreis (iii) G hat Ohrenzerlegung Beweis. (ii) (i): klar. (i) (ii): Induktion nach n :=dist(u, v). u v x u v n 1 v

34 Zweizusammenhang und Ohrenzerlegungen Satz Sei G = (V, E) Graph. Paarweise äquivalent sind: (i) G ist 2-zusammenhängend (ii) je zwei Knoten liegen auf gemeinsamem Kreis (iii) G hat Ohrenzerlegung Beweis. (ii) (i): klar. (i) (ii): Induktion nach n :=dist(u, v). (i) (iii): Algorithmisch, siehe Kurstext.

35 Operationen auf Multigraphen I Einfügen einer Kante G + e := (V, E {e })

36 Operationen auf Multigraphen I Einfügen einer Kante G + e := (V, E {e }) Entfernen einer Kante G \ e := (V, E \ {e})

37 Operationen auf Multigraphen II Entfernen eines Knotens G \ v := (V \ {v}, {e E v / e})

38 Operationen auf Multigraphen II Entfernen eines Knotens G \ v := (V \ {v}, {e E v / e}) Unterteilen einer Kante e = (v, w) G%e := (V {u}, (E\{e}) {(v, u), (u, w)})

39 Operationen auf Multigraphen III Kontraktion einer Kante e = (v, w) G/e := ((V {u}) \ {v, w}, {e E e {v, w} = } {(u, x) (v, x) E} {(y, u) (y, w) E})

40 Charakterisierung von Bäumen Ein kreisfreier und zusammenhängender Graph T heißt Baum. Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind:

41 Charakterisierung von Bäumen Ein kreisfreier und zusammenhängender Graph T heißt Baum. Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind: 1. G ist Baum.

42 Charakterisierung von Bäumen Ein kreisfreier und zusammenhängender Graph T heißt Baum. Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind: 1. G ist Baum. 2. G ist kreisfrei und E = V 1.

43 Charakterisierung von Bäumen Ein kreisfreier und zusammenhängender Graph T heißt Baum. Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind: 1. G ist Baum. 2. G ist kreisfrei und E = V G ist zusammenhängend und E = V 1.

44 Charakterisierung von Bäumen Ein kreisfreier und zusammenhängender Graph T heißt Baum. Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind: 1. G ist Baum. 2. G ist kreisfrei und E = V G ist zusammenhängend und E = V v, w V :! v, w-weg in G.

45 Charakterisierung von Bäumen Ein kreisfreier und zusammenhängender Graph T heißt Baum. Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind: 1. G ist Baum. 2. G ist kreisfrei und E = V G ist zusammenhängend und E = V v, w V :! v, w-weg in G. 5. G kreisfrei und e / E : G + e hat Kreis.

46 Charakterisierung von Bäumen Ein kreisfreier und zusammenhängender Graph T heißt Baum. Satz Sei G = (V, E) ein Graph. Paarweise äquivalent sind: 1. G ist Baum. 2. G ist kreisfrei und E = V G ist zusammenhängend und E = V v, w V :! v, w-weg in G. 5. G kreisfrei und e / E : G + e hat Kreis. 6. G zusammenhängend und e E : G \ e unzusammenhängend.

47 Existenz von Blättern Der Beweis der äquivalenten Charakterisierung von Bäumen benutzt an mehreren Stellen das folgende Lemma.

48 Existenz von Blättern Der Beweis der äquivalenten Charakterisierung von Bäumen benutzt an mehreren Stellen das folgende Lemma. Ein Knoten v V heißt Blatt von V, wenn deg(v) = 1.

49 Existenz von Blättern Der Beweis der äquivalenten Charakterisierung von Bäumen benutzt an mehreren Stellen das folgende Lemma. Ein Knoten v V heißt Blatt von V, wenn deg(v) = 1. Lemma Ein Baum mit mindestens zwei Knoten hat mindestens zwei Blätter.

50 Existenz von Blättern Der Beweis der äquivalenten Charakterisierung von Bäumen benutzt an mehreren Stellen das folgende Lemma. Ein Knoten v V heißt Blatt von V, wenn deg(v) = 1. Lemma Ein Baum mit mindestens zwei Knoten hat mindestens zwei Blätter. Beweis. Sei P ein Pfad maximaler Länge in T, seien dessen Endknoten u und v. Dann ist u v und beide müssen Blätter des Graphen sein.

51 Isomorphietest von Bäumen Wenn Bäume gleich gezeichnet sind, sehen wir Ihnen an, ob Sie isomorph sind.

52 Isomorphietest von Bäumen Wenn Bäume gleich gezeichnet sind, sehen wir Ihnen an, ob Sie isomorph sind. Wir wollen also eine Vereinbarung treffen, wie ein Baum zu zeichnen ist.

53 Isomorphietest von Bäumen Wenn Bäume gleich gezeichnet sind, sehen wir Ihnen an, ob Sie isomorph sind. Wir wollen also eine Vereinbarung treffen, wie ein Baum zu zeichnen ist. Formal ordnen wir dafür jedem Baum einen Code zu.

54 Isomorphietest von Bäumen (()) () gepfl. Baum (()) korrekter Code (())

55 Isomorphietest von Bäumen (()) (()) () () gepfl. Baum (()) (()) korrekter Code (())

56 Isomorphietest von Bäumen (()) (()) () () gepfl. Baum Wurzelbäumen (()) (()) (sort. Kind. lex.) korrekter Code vorher nicht korrekt sortiert (()) (())

57 Isomorphietest von Bäumen (()) (()) ((())) () () (()) gepfl. Baum () Wurzelbäumen (()) (()) ((())) (sort. Kind. lex.) korrekter Code vorher nicht korrekt sortiert (()) (())

58 Isomorphietest von Bäumen (()) (()) ((())) () () (()) gepfl. Baum () Wurzelbäumen (()) (()) ((())) (sort. Kind. lex.) korrekter Code vorher nicht nicht korrekt korrekt sortiert gewurzelt Bäumen (()) (())

59 Isomorphietest von Bäumen (()) (()) ((())) () () (()) gepfl. Baum () Wurzelbäumen (()) (()) ((())) (sort. Kind. lex.) korrekter Code vorher nicht nicht korrekt korrekt sortiert gewurzelt Bäumen (()) (()) (()) (best. Zentrum)

60 Man zeigt induktiv Satz Bäume sind genau dann isomorph, wenn sie den gleichen Code haben. Hieraus erhalten wir folgendes Verfahren:

61 Man zeigt induktiv Satz Bäume sind genau dann isomorph, wenn sie den gleichen Code haben. Hieraus erhalten wir folgendes Verfahren: 1. Bestimme Zentrum

62 Man zeigt induktiv Satz Bäume sind genau dann isomorph, wenn sie den gleichen Code haben. Hieraus erhalten wir folgendes Verfahren: 1. Bestimme Zentrum 2. Erstelle rekursiv Codes für Unterbäume der Zentrumsknoten, lexikographisch geordnet.

63 Man zeigt induktiv Satz Bäume sind genau dann isomorph, wenn sie den gleichen Code haben. Hieraus erhalten wir folgendes Verfahren: 1. Bestimme Zentrum 2. Erstelle rekursiv Codes für Unterbäume der Zentrumsknoten, lexikographisch geordnet. 3. Zentrumsknoten mit kleinerem Code ist Wurzel

64 Beispiel a b z 1 z 2

65 Beispiel () a b z 1 z 2 () ()

66 Beispiel (()) (()()) () z 1 z 2 a b () ()

67 Beispiel (()) (()()) () z 1 z 2 a b () () Es gilt: c(z 1 ) c(z 2 ), also ist z 1 Wurzel und der Gesamtcode lautet ( (()()) () }{{}}{{} z 2 a }{{} b )

Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1)

Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1) Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1) 2 Kanten. Bew: Abzählen! Definition 111. Graphen mit n paarweise zyklisch verbundenen Kanten heißen Kreise (vom Grad n) und werden mit C n bezeichnet. Beispiel

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