Gleichungsbasierte Modellierung

Transkript

1 1 Gleichungsbasierte Modellierung Die Benutzung von Gleichungen zur Geometrischen Modellierung wurde bereits von Sutherland eingeführt. Fortgeführt wurde sie durch die Arbeiten von Light und Gossard. Wie in der folgenden Abbildung gezeigt, kann eine Geometrie definiert werden durch N charakteristische Punkte. Diese Charakteristik kann beschrieben werden durch einen Vektor: X=(x1,y1,x2,y2,...,xn,yn) Zusätzlich wird die Konstruktion bestimmt durch explizite oder implizite (wie z.b. rechter Winkel) Dimensionen. Diese seien gegeben durch einen Vektor: D=(d1,d2,...,dk) Das Constraint System kann dann beschrieben werden durch m Gleichungen über dem Koordinatenvektor und dem Dimensionsvektor: F i (X,D)=0 i=1,...,m Von diesen m Gleichungen beschreiben 3 Gleichungen Lage und Drehung des Objekts, die restlichen m-3 beschreiben die Position der n Punkte zueinander.

2 2 Gleichungen für einige geometrische Bedingungen Horizontaler Abstand X1-X2-D=0 Vertikaler Abstand Y1-Y2-D=0 Abstand (X1-X2)²+(Y1-y2)²-D²=0 Winkel der Linien von P1 nach P2 und P1 nach P3 ((x2-x1)*(x3-x1)+(y2-y1)*(y3-y1))/(länge(p1,p2)*länge(p1,p3))-cos(phi)=0 Dieses nichtlineare Gleichungssystem kann durch eine Iteration gelöst werden. Newton-Raphson-Verfahren Um diese Iteration durchzuführen wird das Newton-Raphson-Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme benutzt. Die Lösung eines Gleichungssystems zu finden ist äquivalent dem Problem die Nullstellen einer Menge von Funktionen mit mehreren Variablen zu finden. Im Folgenden wird vorausgesetzt, dass das Gleichungssystem genauso viele Variablen besitzt wie es Gleichungen hat. Zunächst wird der Fall betrachtet die Nullstelle einer allgemeinen nichtlinearen Funktion f : D -> R zu finden. Wenn f stetig differenzierbar ist kann die Stelle f(z) ausgehend von f(x0) über ein Taylor Polynom approximiert werden. f(z) = f(x 0 ) + f' (x 0 )(z-x 0 ) + R(z) Unter Fortlassung des Restgliedes R(z) lässt sich mit: f(x 0 ) + f'(x 0 )(x 1 -x 0 ) = 0 eine Näherung x 1 für eine Nullstelle berechnen: Aus der Gleichung folgt nämlich: x t+1 = x t - f(x t ) / f'(x t )

3 3 Bildquelle: Die Näherung lässt sich natürlich nur berechnen, wenn die Ableitung f'(x t )<>0 ist und der Startwert hinreichend nahe an der Nullstelle liegt. Des Weiteren erhält man von einem Startwert ausgehend nur eine Nullstelle. Verallgemeinert man dies auf die Lösung eines Gleichungssystems f(x)=0 mit F=(f 1,...,f n ) und X=(x 1,...,x n ) so erhält man die Gleichung: F(X t ) + F'(X t )(X t +1 - X t ) = 0 über die sich die Näherung X i+1 aus X i berechnen lässt. Die Berechnung einer neuen Näherung erfordert die Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems: F'(X t ) X = - F(X t ) F'(X t ) ist die Jacobi-Matrix der Partiellen Ableitungen δf i /δx j für i,j=1...n an der Stelle X t. X = ( x 1,..., x n ) ist der zu bestimmende Vektor aus dem sich mit X t +1 = X t + X die neue Näherung berechnen lässt. - F(X t ) ist der Vektor der Restwerte, d.h. der noch vorhandenen Fehler. Das System besitzt nur dann eine Lösung, die Gleichungen nicht linear abhängig sind, d.h. die Matrix F'(X t ) 0 ist. Bei komplizierten Funktionen ist es i.a. nicht möglich die Ableitungen zu berechnen. Dann benutzt man statt der Differentialquotienten δf i /δx j die Differenzenquotienten: f i / x j (X t )=(f i (x it,...,f nt )-f i (x it,...,x jt -h,...,x nt )) / h

4 4 um die Jacobi Matrix aufzustellen. Der Differenzenquotient f i / x j (X t ) kann dadurch erzeugt werden, indem man zunächst A=f i (x it,...,f nt ) berechnet wird. Dann wird B=f i (x it,...,x jt +delta,...,x nt )) berechnet. (B-A)/delta ergibt den Differenzenquotienten f i / x j (X t ). Die Berechnung von A und B erfolgt durch auswerten des DAG. Intervallschachtelung (regula falsi) Hat man den Nullpunkt nur einer Funktion zu berechnen, kann man auch die Intervallschachtelung (regula falsi) benutzen. Dabei sei eine Gleichung der Form f(x) = 0 zu lösen. Hat man eine Stelle a mit f(a)<0 sowie eine Stelle b mit f(b)>0 so ist, sofern die Funktion f stetig ist, durch a und b die Nullstelle eingeschachtelt. Die Nullstelle muss also zwischen a und b liegen. Man berechnet f für den Mittelpunkt zwischen a und b also f((a+b)/2)). Es sei x=(a+b)/2. Ist nun f(x) positiv, so verwendet man im nächsten Schritt a und x, ansonsten x und b, um das Verfahren erneut durchzuführen. Dies wiederholt man nun so lange, bis sich durch erneute Anwendung des Verfahrens hinreichend viele Stellen der zuletzt bestimmten Näherungslösung nicht mehr ändern. Dieses Verfahren kann auch noch erweitert werden für Gleichungssysteme mit 2 Variablen. Gegeben seien die Funktionen: F(x,y) und G(x,y). Gesucht werden x und y, sodass F(x,y)=0 und G(x,y)=0 ist. Für x und y sei ein Intervall so gegeben, das x1<=x<=x2 und y1<=y<=y2 ist und es soll die Lösung in diesem Intervall liegen..

5 5 Für die Umrandung und für die Mittellinien des Rechtecks wird F und G berechnet. Die Funktionswerte bilden Linien in einer Fläche von F und G In der Fläche der Funktionswerte erhält man ebenfalls eine Umrandung, die durch die Mittellinien in 4 Umrandungen geteilt wird. Es wird jetzt der Teil ausgewählt, in dem der Punkt F=0 und G=0 liegt. Im Beispiel wäre dies x1<=x<=(x1+x2)/2 y1<=y<=(y1+y2)/2 Mit diesem Teilintervall wird nun analog verfahren, bis das Intervall genügend klein ist. Die Werte von F und G müssen entlang der Randlinien mit genügend kleinem Abstand berechnet werden, damit auch bei Benutzung der Sekanten, für den Nullpunkt von F und G immer der richtige Teil ausgewählt wird. Damit das Gleichungssystem hat Lösung hat, darf die Determinante der Jacobimatrix nicht 0 sein, da man die inverse Matrix bilden muss. Das bedeutet, die Matrix muss quadratisch sein, d.h. man hat so viele Gleichungen wie Variablen. Hat man zuwenig Gleichungen, muss man für einige Variablen den alten Wert einsetzen, bis man genügend Gleichungen hat. Hat man mehr Gleichungen als Variablen so ist das System überbestimmt und kann nicht gelöst werden. Aber auch wenn die die Anzahl der Variablen und die Anzahl der Gleichungen gleich sind, kann die Matrix singulär sein, wenn ein teil der Matrix überbestimmt und ein Teil unterbestimmt ist. Dies ist z.b. dann der fall wenn Bedingungen redundant sind, d.h. eine Bedingung genau aus der anderen folgt. Die Zeilen der Jacobi-Matrix sind dann linear abhängig. Das Gleichungssystem kann direkt gelöst werden, wenn in der Jacobimatrix nach einer geeigneten Zeilen Permutation nur die obere oder untere Dreiecksmatrix besetzt ist.

6 6 Bisweilen kann die Lösung des gesamten Gleichungssystems zurückgeführt werden auf die sequentielle Lösung von zwei Teilsystemen. a1,1...a1,n x ai,1...ai+1,n xi 0 ai+1,1...ai+1,n ai+1,n+1...ai+1,m xi+1 = bi aj,1...aj,n aj,n+1....aj,m xj bj Mit den ersten i Gleichungen können die Variablen x1 bis xi gelöst werden. Diese werden in die unteren Gleichungen eingesetzt und man bekommt ein Gleichungssystem für die Variablen xi+1 bis xj.